高考数学导数讲义
导数的定义、运算和运用（一）
考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）
【例】函数在闭区间内的平均变化率为
A. B. C. D.
【解析】∵f（1+△x）=2（1+△x）2+1=2（△x）2+4△x+3，f（1）=2，∴该函数在区间[1，1+△x]上的平均变化率为
【例】若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
。故选D。
【练1】若，则等于（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．
【练2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析1】根据导数的定义知
===-1
【解析2】
考向二：导数几何意义（在/过某点切线）
【例】曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，由点斜式知切线方程为：，即.
【例】过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． 或 B．
C．或 D．
【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即
【例】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【练1】已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 .
【练2】曲线的一条切线平行于直线，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【练3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【解析1】将求导得，设切点为，的方程为，因为直线l过点，所以.又，所以.所以切线方程为.
【解析2】设切点，则，于是，因为切线平行于直线，所以，即.则，切线方程为：或分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为或
【解析3】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得
，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
考向三：常用函数导数与导数的四则运算
【例】函数的导数是 （ ）
A. B. C. D .
【解析】
所以
【例】若，则等于 （ ）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 0
【解析】∵，∴，∴，∴ ，∴
【练1】已知函数，则 ( )
A．-1 B．-3 C.2 D．-2
【练2】已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【练3】设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【练4】等比数列中， ，函数，则
A. B. C. D.
【解析1】根据题意，由于函数
【解析2】注意到是常数,所以,令得
【解析3】由曲线在点处的切线的斜率为; 又直线的斜率为 ,由它们垂直得
【解析4】因为,
所以.
考向四：导数运用：
函数图像
【例】函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是 ( )
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
f(x)
【解析】先根据导函数f'（x）的图象得到f'（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排除A,B,C,只能选D.
【例】已知函数的定义域为，部分对应值如下表，
的导函数的图象如右图所示.当时，函数的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据导函数图象，知是函数的1极小值点，函数的大致图象如图所示，由于，，所以的零点个数为4个
【练1】定义在R上的函数满足,为的导函数，已知的图象如右图所示，若两个正数满足,则的取值范围是（ ）
A． （-∞, -3） B．（-∞, ）∪（3,+∞） C． D．
【练2】在同意直角坐标系中，函数的图像不可能的是（ ）
【练3】已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
【解析1】由导数图像可知，函数减，函数增，，即，即,等价于，如图：
表示可行域内的点到连线的斜率的取值范围,所以取值范围为
【解析2】当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.
【解析3】=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x-1)，显然a≠0，①：若a<0,则f(x)在()，(1,+
)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，因此若要使f(x)图像过四个象限，需；②：若a>0,则f(x)在()，(1,+)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使f(x)图像过四个象限，需，综上，a的取值范围是()．
单调性极值最值零点
【例】函数的单调递减区间为（ ）
A． B. C. D.
【解析】根据题意，对于函数，由于（x>0），可知，当y’<0时，则可知0
0，因此函数f(x)在0,1]上单调递增，
所以x∈0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.
根据题意可知存在x∈1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，
即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈1,2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
【解析5】：基本法：由三次函数的值域为R知，f(x)＝0必有解，A项正确；因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可由y＝x3平移得到，所以y＝f(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若y＝f(x)有极值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x－x1)(x－x2)，所以f(x)在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则x2为极小值点，所以C项错误，D项正确．选C.
【错误解析6】由单调递减得：，故在上恒成立。而是一次函数，在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可。即
，
由得：。所以，. 选C。
【错误原因】当且仅当时取到最大值，而当，不满足条件。
【正确解析6】同前面一样满足条件。由条件得：。于是，。当且仅当时取到最大值。经验证，满足条件。故选。
简单函数构造
【例】函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，所以为减函数，又所以根据单调性的解集是
【例】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，不等式成立， 若， ，，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【解析】设时函数递减，函数是定义在R上的奇函数，所以是偶函数时递增，，结合图像可知
【例】已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意得，因为函数对定义域内的任意都有=，所以函数关于对称，又当时其导函数满足，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，又在上单调递增，所以
【例】设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 因为对任意 ，
所以，=
所以，函数为奇函数；又因为，在上，
所以，当时 ， 即函数在上为减函数，
因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以，
所以，
所以，实数的取值范围为故选B.
【练1】若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）
A． B． C． D．
【练2】设是定义在R上的奇函数，且,当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是 （ ）
A.(2,0) ∪(2,+∞) B.(2,0) ∪(0,2) C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,2)∪(0,2)
【练3】已知实数满足其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【练4】设奇函数定义在上，其导函数为，且，， ,则关于的不等式的解集为 ．
【解析1】设，则，因为恒成立，所以，即函数在R上单调递增．因为，所以．所以有，即．所以，即不等式的解集是，故选B．
【解析2】不等式的解集就是的解集，由恒成立得，,函数为单调递减函数，，当时，,,时，,根据奇函数，知，当时，时，，故选D．
【解析3】实数满足，，
因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线
平行于直线的切线，
，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值
【解析4】令.因为在上为奇函数,所以可得.即在上函数为偶函数.,
当时,所以当时, .即在上函数单调递增.
因为偶函数图像关于轴对称,所以在上函数单调递减.
将变形可得,即.根据的单调性及奇偶性可得且.即所求解集为.
考向五：导数实际应用题
【例】用边长为的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
【解析】设水箱底边长为，则水箱高为．
水箱容积．
．
令，得（舍）或．
当在内变化时，导数的正负如下表：
＋
－
因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．
将代入，得最大容积．
【练1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比，已知当速度为每小时千米时，每小时消耗煤之价格为元，其他费用每小时要元，问火车行驶的速度如何时，才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。（已知火车的最高速度为每小时千米）
【练2】某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) （1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．
【解析1】设甲、乙之间的距离为千米，每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间的比例系数为，火车行驶速度为千米/小时，总费用为元。则。由题意得：，∴，∴，令得，经检验，当时函数取极小值。又，当时函数取最小值，∴车行的速度为千米/小时，火车从甲城到乙城的费用最省。
【解析2】（1）y =
=．
（2）当时，y≥
当且仅当，即x =时取等号
即当x =时，
当时，，故y = f (x)在(0，20]上是减函数，
故当x = 20时，=153 + 180a
含参导数讨论单调区间
【例】已知（），讨论的单调区间
【解析】
，在上单增，在上单减
，在和上单增，在上单减
，在上单增
，在和上单增，在单减
【例】设，讨论函数的单调区间
【解析】
【例】(1)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(2)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
【解析】⑴证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时， ∴
⑵
由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增
记，在时，，∴单调递增∴．
【练1】已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（1）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（2）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【练2】已知函数，．讨论的单调性
【练3】设，集合，，
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在D内的极值点
【练4】设函数，其中，
记的最大值为．
（1）求；（2）求；（3）证明．
【解析1】
（2）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，．
【解析2】=
当时，的增区间为，减区间为
当时，在单减
当时，的增区间为，减区间为,
综上，时，的增区间为，减区间为；
时，在单减；
时，的增区间为，减区间为；
【解析3】
【解析4】（1）．
（2）当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，
，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
恒成立问题
直接讨论
【例】已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．
(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；
(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝所以f′(x)＝
由于－1≤x≤1，
(i)当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x－3a，
此时f(x)在(－1，1)上是增函数，
因此，M(a)＝f(1)＝4－3a，m(a)＝f(－1)＝－4－3a，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.
(ii)当－10，t(a)在上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，因此－2≤3a＋b≤0.
(iii)当0，且时，．
【解析】（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，
（2）由（1）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当时，当时，
从而当
【例】已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（3）如果，且，证明
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内为增函数，所以>,即>2.
【练】已知.
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）证明：对一切，都有成立.
【解析】（1）当时，，由得.
当时，在上，在上. 因此在处取得极小值，也是最小值. 故. 由于，，因此.
当时，，因此在上单调递增，故，.
（2）问题等价于证明，. 由（1）知时，
的最小值是，当且仅当时取等号. 设，则，易知，当且仅当时取到. 从而可知对一切，都有.
用已知函数
【例】
【解析】
【例】已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值，并证明.
【解析】（1）的定义域为.
当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，
无单调递减区间.
当时，由得，由得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
由（1）知，当时，在上单调递增，所以在上的
最小值为. 所以（）
所以，即（）.
所以
整体代换
【例】已知函数，设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为 C 2 在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则
即
则
，
设 ①
令则
∵ ∴
所以上单调递增，故 ， 则
这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
【例】设函数设是函数图象上任意不同两点，线段AB中点为C，直线AB的斜率为k.证明：.
【解析】又
所以 ，即证
不妨设，即证：，
即证：，设，即证：，
也就是要证：，其中
事实上：设，
则
所以在单调递增，因此，即结论成立．
【练】己知函数若 ，正实数 满足 ，证明:
【解析】当时，
由，即
从而
令，则由得，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以，所以，
因此成立．
【练】已知函数，．
如果是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：．
【解析】由题意知，
两式相减，整理得所以
又因为，所以
令则，
所以在上单调递减，故，
又，所以．
【练】已知函数（）.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）若函数有两个零点，，判断的符号，并证明.
【解析】分析：（2）不妨设， ，，化简的表达式为的函数式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此判断的正负.
（2）函数的定义域是.若，则.
令，则.又据题设分析知，∴，.
又有两个零点，且都大于0，∴，不成立.
据题设知
不妨设，，.所以.
所以.又,
所以
引入（）,则.
所以在上单调递减. 而,所以当时,.
易知,,所以当时,;当时,.
放缩
【例】已知函数．
（1）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）当时，证明：．
【解析】（1）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，在上单调递减，（舍去），
②当时，在上单调递减，在上单调递增
∴，满足条件．
③当时，在上单调递减，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3．
（2）令，由（2）知，．令
，
当时，，在上单调递增
∴，
即
【例】设函数。
（1）若在定义域内为增函数，求的取值范围；
（2）设，当时，
求证：① 在其定义域内恒成立；
求证：② 。
【解析】（1）在定义域为
要在定义域内为增函数，则在上恒成立。
∴
而，∴。经检验适合
（2）①，当时，，，
∴
在处取得极大值，也是最大值。
而，∴，在上恒成立，
因此，∴
②，∴，∴
∴
=
= =
【例】已知函数，e为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：，；
（3）当时，求证：．
【解析】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）证明：由（1）知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，
因为当时，，，
所以当时，，
所以，
所以对，都有；
（3）当时，，由（2）知：
即，
∴，从而，
，…，，
将以上各式相加，得：，
即：，
即：，化简得：，
即．
定积分与微积分基本定理
知识网络
知识要点梳理
知识点一：定积分的概念
定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
知识点二：定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则
；
若函数在区间上是偶函数，则.
知识点三：微积分基本定理
如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.
一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.
说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
知识点四：定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.
在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；
在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.
知识点五：应用
（一）应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积：；
2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积：；
3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.
（二）利用定积分解决物理问题
①变速直线运动的路程:作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.
②变力作功:物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.
1．已知 ，则k=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】,所以.故选D.
2．设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】先作出函数的图象如下，由定积分的意义知的值为的图象与轴和直线所围成的区域的面积，所以，故选A.
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】
4．如图，函数的图象过矩形OABC的顶点B，且OA=4．若在矩形OABC内随机地撒100粒豆子，落在图中阴影部分的豆子有67粒，则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为（ ）
A．2.64 B．2.68 C．5.36 D．6.64
【解析】由题意，AB=2，SOABC=8，符合几何概型，
设阴影部分的面积为S，则，解得S=5.36，故选：C．
5．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D/
【解析】，，∴，排除C，D，
由图象可知：表示的面积最小，故．
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【解析】设，，，显然当时，，
令，∴，，，
∴，∴在上单调递增，，∴在上单调递增，∴，∴，∴当时，，
∴，故选B．
7．（ ）
A． B． C． D．
【解析】
8．计算积分______________．
【解析】根据定积分的基本原理可得，故答案填.
9．计算定积分= ．
【解析】的几何意义表示单位圆面积的四分之一，所以，，所以原定积分=+
10．如图，阴影部分的面积是___________．
【解析】由题意得，阴影部分的面积为
．
