高考数学第九章平面解析几何第4课时圆的方程更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程 ‎1. 方程x2+y2-6x=0表示的圆的圆心坐标是________;半径是__________.‎ 答案:(3,0) 3‎ 解析:(x-3)2+y2=9,圆心坐标为(3,0),半径为3.‎ ‎2. 以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是_________.‎ 答案:(x-1)2+(y-2)2=25‎ 解析:设P(x,y)是所求圆上任意一点.∵ A、B是直径的端点,∴·=0.又=(-3-x,-1-y),=(5-x,5-y).由·=0(-3-x)·(5-x)+(-1-y)(5-y)=0x2-2x+y2-4y-20=0(x-1)2+(y-2)2=25.‎ ‎3. (必修2P111练习8改编)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是________.‎ 答案:∪(1,+∞)‎ 解析:由(4m)2+4-4×5m>0得m<或m>1.‎ ‎4. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为______________.‎ 答案:x2+(y-2)2=1‎ 解析:设圆的方程为x2+(y-b)2=1,此圆过点(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2.故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.‎ ‎5. (必修2P112习题8改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是________.‎ 答案:(-1,1)‎ 解析:∵ 点(1,1)在圆的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1.‎ ‎1. 圆的标准方程 ‎(1) 以(a,b)为圆心,r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.‎ ‎(2) 特殊的,x2+y2=r2(r>0)的圆心为(0,0),半径为r.‎ ‎2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变形为 +=.‎ ‎(1) 当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;‎ ‎(2) 当D2+E2-4F=0时,该方程表示一个点;‎ ‎(3) 当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.‎ ‎3. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤为:‎ ‎(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程;‎ ‎(2) 根据条件列出关于a,b,r的方程组或关于D,E,F的方程组;‎ ‎(3) 求出a,b,r或D,E,F的值,从而确定圆的方程.‎ ‎4. 点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:‎ ‎(1) 若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.‎ ‎(2) 若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.‎ ‎(3) 若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)20,即有4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)‎ ‎>0-r.‎ ‎∴点P在圆外.‎ 已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点,且=6,求圆C的方程.‎ 解:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心C(a,b),由题意得解得 故C(0,-1)到直线3x+4y-11=0的距离d==3.‎ ‎∵AB=6,∴r2=d2+=18,‎ ‎∴圆C的方程为x2+(y+1)2=18.‎ 例3 在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.‎ ‎(1) 求实数b的取值范围;‎ ‎(2) 求圆C的方程;‎ ‎(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.‎ 解:(1) 令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b),令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.‎ ‎(2) 设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b,令x=0,得y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得E=-b-1,所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0.‎ ‎(3) 圆C必过定点(0,1),(-2,1).‎ 证明:将(0,1)代入圆C的方程,得左边= 02+ 12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0,所以圆C必过定点(0,1);同理可证圆C必过定点(-2,1).‎ 已知直线l1、l2分别与抛物线x2=4y相切于点A、B,且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R).‎ ‎(1) 求直线l1、l2的方程;‎ ‎(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q,且l1、l2交于点R,经过P、Q、R三点作圆C.‎ ‎①当a=4,b=-2时,求圆C的方程;‎ ‎②当a,b变化时,圆C是否过定点?若是,求出所有定点坐标;若不是,请说明理由.‎ 解:(1) A,B,记f(x)=,f′(x)=,则l1的方程为y-=(x-a),即y=x-;‎ 同理得l2的方程为y=x-.‎ ‎(2) 由题意a≠b且a、b不为零,‎ 联立方程组可求得P,Q,R.‎ ‎∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为 ‎ x+(y-1)(y-ab)=0,‎ 当a=4,b=-2时,圆C的方程为x2+y2-x+7y-8=0,‎ 显然当a≠b且a、b不为零时,圆C过定点F(0,1).‎ 题型3 圆与方程(轨迹)‎ 例4 如图,已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么.‎ 解:设直线 MN切圆于N,则动点M组成的集合是P={M||MN|=|MQ|}. ‎ 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-1.‎ 设点M的坐标为 (x,y),则=,整理得(x-4)2+y2=7.‎ 它表示圆,该圆圆心的坐标为(4,0),半径为.‎ 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.‎ 解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知PM=PN,得PM2=2PN2.因为两圆的半径均为1,所以PO-1 = 2(PO-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33, ‎ 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).‎ 题型4 与圆有关的最值问题 例5 P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,试求x2+y2的最小值.‎ 解:由C(1,1)得OC=,则OPmin=-1,即()min=-1.所以x2+y2的最小值为(-1)2=3-2.‎ 已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为________,最小值为________.‎ 答案:5+ 5- 解析:令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1.解得b=5±,所以2x-y的最大值为5+,最小值为5-.‎ ‎1. 已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为________.‎ 答案:x2+= 解析:由题可知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=±.故圆的方程为x2+=.‎ ‎2. 过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________.‎ 答案:x+y-2=0‎ 解析:当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线OP垂直于x+y-2=0.‎ ‎3. 已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为________.‎ 答案:5‎ 解析:设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,垂足分别为E、F,则四边形OEMF为矩形,则有d+d=3.由平面几何知识知|AC|=2,|BD|=2,∴ S四边形ABCD=|AC|·|BD|=2·≤(4-d)+(4-d)=8-(d+d)=5,即四边形ABCD面积的最大值为5.‎ ‎4. 若直线l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C:x2+y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为________.‎ 答案:1‎ 解析:圆C的圆心坐标为(-4,-1),则有-4a-b+4=0,即4a+b=4.所以ab=(4ab)≤=×=1.当且仅当a=,b=2取得等号.‎ ‎5. 如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连结BC并延长至D,使得CD=BC,求AC与OD的交点P的轨迹方程.‎ 解:设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得则代入x2+y2=1,整理得+y2=(y≠0),故所求轨迹方程为+y2=(y≠0).‎ ‎6. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.‎ ‎(1) 求圆M的方程;‎ ‎(2) 设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA′、PB′是圆M的两条切线,A′、B′为切点,求四边形PA′MB′面积的最小值.‎ 解:(1) 设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2‎ ‎(r>0),根据题意得 解得a=b=1,r=2.‎ 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.‎ ‎(2) 由题知,四边形PA′MB′的面积为S=S△PA′M+S△PB′M=|A′M||PA′|+|B′M||PB′|.又|A′M|=|B′M|=2,|PA′|=|PB′|,所以S=2|PA′|,而|PA′|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PA′MB′面积的最小值为S=2=2=2.‎ ‎1. 圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为________.‎ 答案:x-y+2=0‎ 解析:圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,设切线方程为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0,所以=2,解得k=.‎ 所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.‎ ‎2. 若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,‎ 并求出半径最小的圆的方程.‎ 解:∵方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,∴a≠0.‎ ‎∴方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0可以写成 x2+y2-x+y=0.‎ ‎∵D2+E2-4F=>0恒成立,‎ ‎∴a≠0时,方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.‎ 设圆的半径为r,则 r2==2,‎ ‎∴当=即,a=2时,圆的半径最小,‎ 半径最小的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ ‎3. 如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量),则P点斜坐标为(x,y).‎ ‎(1) 若P点斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;‎ ‎(2) 求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.‎ 解:(1) ∵P点斜坐标为(2,-2),‎ ‎∴=2e1-2e2.‎ ‎∴||2=(2e1-2e2)2=8-8e1·e2=8-8×cos60°=4.‎ ‎∴||=2,即|OP|=2.‎ ‎(2) 设圆上动点M的斜坐标为(x,y),则=xe1+ye2.‎ ‎∴(xe1+ye2)2=1.‎ ‎∴x2+y2+2xye1·e2=1.∴x2+y2+xy=1.‎ 故所求方程为x2+y2+xy=1.‎ ‎4. 已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为,求该圆的方程.‎ 解:设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.‎ 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为r.‎ 故2|b|=r,得r2=2b2,‎ 又圆P被y轴所截得的弦长为2,由勾股定理得r2=a2+1,得2b2-a2=1.‎ 又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,‎ 得d==,即有a-2b=±1,‎ 综上所述得或 解得或于是r2=2b2=2.‎ 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2.‎ ‎5. 已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.‎ ‎(1) 求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;‎ ‎(2) 在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.‎ 解:(1) 设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,‎ ‎∵直线与圆相切,∴=3,得b=±3,∴所求直线方程为y=-2x±3.‎ ‎(2) (解法1)假设存在这样的点B(t,0),‎ 当P为圆C与x轴左交点(-3,0)时,=;‎ 当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,=,‎ 依题意,=,解得,t=-5(舍去),或t=-.‎ 下面证明点B对于圆C上任一点P,都有为一常数.‎ 设P(x,y),则y2=9-x2,‎ ‎∴===‎ =,从而=为常数.‎ ‎(解法2)假设存在这样的点B(t,0),使得为常数λ,则PB2=λ2PA2,∴(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将y2=9-x2代入得,x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2),即 ‎2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0对x∈[-3,3]恒成立,‎ ‎∴解得或(舍去),‎ 所以存在点B对于圆C上任一点P,都有为常数.‎ ‎1. 利用待定系数法求圆的方程,关键是建立关于a,b,r或D,E,F的方程组.‎ ‎2. 利用圆的几何性质求方程,可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.‎ ‎3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法 ‎(1) 形如u=型的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;‎ ‎(2) 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;‎ ‎(3) 形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.‎
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