数列高考汇编

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数列高考汇编

数列单元测试 一、选择题 ‎1.(北京7).已知等差数列中,,,若,则数列的 前5 项和等于( )‎ A.30 B.45 C.90 D.186‎ ‎2.(广东4)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= ( )‎ A.7 B.6 C.3 D.2‎ ‎3.(宁夏8)设等比数列的公比q=2,前n项和为Sn,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(江西5)在数列中,, ,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(全国Ⅰ7)已知等比数列满足,则( )‎ A.64 B.81 C.128 D.243‎ ‎6.(福建3)设是等差数列,若,则数列前8项和为(   )‎ A.128 B.80 C.64 D.56‎ ‎7.(上海14)若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且各项的和为a,则的值是(  )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎8.(天津4) 若等差数列的前5项和,且,则 ( )‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎9.(浙江4)已知是等比数列,,则公比= ( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)‎ ‎10.(重庆1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 ( )‎ ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎11.(陕西4) 已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( )‎ A.64 B.100 C.110 D.120‎ 二、填空题 ‎1.(安徽15) 在数列在中,,,,其中为常数,则 ‎ ‎2.(宁夏13)已知为等差数列,,,则 .‎ ‎3.(江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵:‎ ‎ 1‎ ‎ 2 3‎ ‎ 4 5 6‎ ‎ 7 8 9 10‎ ‎ 。 。 。 。 。 ‎ 按照以上排列的规律,第n行()从左向右的第3个数为 ‎ ‎4.(四川16)设数列中,,则通项 __________。‎ 三、解答题 ‎1.(安徽21)(本小题满分12分)‎ 设数列满足其中为实数,且 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 ‎(Ⅱ)设,,求数列的前项和;‎ ‎(Ⅲ)若对任意成立,证明 ‎2.(北京20)(本小题共13分)‎ 数列满足,(),是常数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求及的值;‎ ‎(Ⅱ)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)求的取值范围,使得存在正整数,当时总有.‎ ‎3.(福建20)(本小题满分12分)‎ 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn ·bn+2<b2n+1.‎ ‎4.(广东21)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…),数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1bm+bm+1+…+bm+11.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2) 记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎6.(江西19)等差数列的各项均为正数,,前项和为,为等比数列, ,且 .‎ ‎(1)求与; (2)求和:.‎ ‎ ‎ ‎7.(湖南20)数列满足 ‎(I)求,并求数列的通项公式;‎ ‎(II)设,,,‎ 求使的所有k的值,并说明理由。‎ ‎8.(辽宁20)(本小题满分12分)‎ 在数列,是各项均为正数的等比数列,设.‎ ‎(Ⅰ)数列是否为等比数列?证明你的结论;‎ ‎(Ⅱ)设数列,的前项和分别为,.若,,求数列的前项和.‎ ‎9.(全国Ⅰ19) 在数列中,,.‎ ‎(Ⅰ)设.证明:数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎10.(全国Ⅱ18)(本小题满分12分)‎ 等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.‎ ‎12.(上海21)已知数列:,,,(是正整数),与数列 :,,,,(是正整数).‎ 记.‎ ‎(1)若,求的值; (2)求证:当是正整数时,;‎ ‎(3)已知,且存在正整数,使得在,,,中有4项为100.求的值,并指出哪4项为100.‎ ‎13.(四川21) 设数列的前项和为,‎ ‎(Ⅰ)求 (Ⅱ)证明: 是等比数列; (Ⅲ)求的通项公式 ‎15.(浙江18)(本题14分)已知数列的首项,通项(为常数),且成等差数列,求:‎ ‎(Ⅰ)的值; (Ⅱ)数列的前项的和的公式。‎ ‎16.(重庆22)设各项均为正数的数列{an}满足.‎ ‎ (Ⅰ)若求a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);‎ ‎(Ⅱ)若对n≥2恒成立,求a2的值.‎ ‎17.(湖北21).(本小题满分14分)‎ ‎ 已知数列,其中为实数,为正整数.‎ ‎ (Ⅰ)证明:当 ‎(Ⅱ)设为数列的前n项和,是否存在实数,使得对任意正整数n,都有 ‎ 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎18.(陕西20) 已知数列的首项,,….‎ ‎(Ⅰ)证明:数列是等比数列; (Ⅱ)数列的前项和.‎ ‎ ‎ 数列单元测试(师)‎ 一、选择题 ‎1.(北京7).已知等差数列中,,,若,则数列的前5项和等于( C )‎ A.30 B.45 C.90 D.186‎ ‎2.(广东4)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= ( B )‎ A.7 B.6 C.3 D.2‎ ‎3.(宁夏8)设等比数列的公比q=2,前n项和为Sn,则=( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(江西5)在数列中,, ,则 ( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(全国Ⅰ7)已知等比数列满足,则( A )‎ A.64 B.81 C.128 D.243‎ ‎6.(福建3)设是等差数列,若,则数列前8项和为( C )‎ A.128 B.80 C.64 D.56‎ ‎7.(上海14)若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且各项的和为a,则的值是( B )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎8.(天津4) 若等差数列的前5项和,且,则( B )‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎9.(浙江4)已知是等比数列,,则公比= ( D )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)‎ ‎10.(重庆1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 ( C )‎ ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎11.(陕西4) 已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( B )‎ A.64 B.100 C.110 D.120‎ 二、填空题 ‎1.(安徽15) 在数列在中,,,,其中为常数,则 -1‎ ‎2.(宁夏13)已知为等差数列,,,则 .15‎ ‎3.(江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵:‎ ‎ 1‎ ‎ 2 3‎ ‎ 4 5 6‎ ‎ 7 8 9 10‎ ‎ 。 。 。 。 。 ‎ 按照以上排列的规律,第n行()从左向右的第3个数为 ‎ ‎4.(四川16)设数列中,,则通项 ___________。‎ 三、解答题 ‎1.(安徽21)(本小题满分12分)‎ 设数列满足其中为实数,且 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 ‎(Ⅱ)设,,求数列的前项和;‎ ‎(Ⅲ)若对任意成立,证明 解 (1) 方法一:‎ ‎ ‎ ‎ 当时,是首项为,公比为的等比数列。‎ ‎ ,即 。当时,仍满足上式。‎ ‎ 数列的通项公式为 。‎ 方法二:由题设得:当时,‎ ‎ 时,也满足上式。‎ 数列的通项公式为 。‎ ‎ (2) 由(1)得 ‎ ‎ ‎ ‎ (3) 由(1)知 若,则 ‎ ‎ 由对任意成立,知。下面证,用反证法 方法一:假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大 不能对恒成立,导致矛盾。。 ‎ 方法二:假设,,‎ 即 恒成立 (*)‎ 为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,‎ ‎2.(北京20)(本小题共13分)‎ 数列满足,(),是常数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求及的值;‎ ‎(Ⅱ)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)求的取值范围,使得存在正整数,当时总有.‎ 解:(Ⅰ)由于,且.‎ 所以当时,得,‎ 故.‎ 从而.‎ ‎(Ⅱ)数列不可能为等差数列,证明如下:‎ 由,得 ‎,,.‎ 若存在,使为等差数列,则,即,‎ 解得.‎ 于是,.‎ 这与为等差数列矛盾.所以,对任意,都不可能是等差数列.‎ ‎(Ⅲ)记,根据题意可知,且,即且,这时总存在,满足:当时,;当时,.‎ 所以由及可知,若为偶数,则,从而当时,;若为奇数,则,从而当时.‎ 因此“存在,当时总有”的充分必要条件是:为偶数,‎ 记,则满足 ‎.‎ 故的取值范围是.‎ ‎3.(福建20)已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn ·bn+2<b2n+1.‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,‎ 所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n从而bn+1-bn=2n.‎ bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+···+2+1 ==2n-1.‎ 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+‎2-2-2‎n+1-1)‎ ‎=-5·2n+4·2n=-2n<0,‎ 所以bn·bn+2<b,‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)因为b2=1,‎ bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1‎ ‎=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=…=2n(b1-2)=-2n〈0,‎ 所以bn-bn+2
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