数列高考汇编

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数列单元测试 一、选择题 ‎1．（北京7）．已知等差数列中，，，若，则数列的 前5 项和等于（ ）‎ A．30 B．45 C．90 D．186‎ ‎2．（广东4）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= （ ）‎ A.7 B.6 C.3 D.2‎ ‎3．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（江西5）在数列中，， ，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足，则（ ）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎6．（福建3）设是等差数列，若，则数列前8项和为（　 　）‎ Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56‎ ‎7．（上海14）若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．‎ ‎8．(天津4) 若等差数列的前5项和，且，则 （ ）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎9．（浙江4）已知是等比数列，，则公比= ( )‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎10．(重庆1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 ( )‎ ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎11．(陕西4) 已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）‎ A．64 B．100 C．110 D．120‎ 二、填空题 ‎1．（安徽15） 在数列在中，，，,其中为常数，则 ‎ ‎2．（宁夏13）已知为等差数列，，，则 ．‎ ‎3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎ 1‎ ‎ 2 3‎ ‎ 4 5 6‎ ‎ 7 8 9 10‎ ‎ 。 。 。 。 。 ‎ 按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 ‎ ‎4．（四川16）设数列中，，则通项 __________。‎ 三、解答题 ‎1．（安徽21）（本小题满分12分）‎ 设数列满足其中为实数，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式 ‎（Ⅱ）设，,求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）若对任意成立，证明 ‎2．（北京20）（本小题共13分）‎ 数列满足，（），是常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求及的值；‎ ‎（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．‎ ‎3．（福建20）（本小题满分12分）‎ 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.‎ ‎4．（广东21）设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1bm+bm+1+…+bm+11.‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 记cn=nanbn(n=1,2,…)，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎6．（江西19）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且 ．‎ ‎(1)求与； (2)求和：．‎ ‎ ‎ ‎7．（湖南20）数列满足 ‎（I）求，并求数列的通项公式；‎ ‎（II）设，，，‎ 求使的所有k的值，并说明理由。‎ ‎8．（辽宁20）（本小题满分12分）‎ 在数列，是各项均为正数的等比数列，设．‎ ‎（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．‎ ‎9．（全国Ⅰ19） 在数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎10．（全国Ⅱ18）（本小题满分12分）‎ 等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．‎ ‎12．（上海21）已知数列：，，，（是正整数），与数列 ：，，，，（是正整数）．‎ 记．‎ ‎（1）若，求的值； （2）求证：当是正整数时，；‎ ‎（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．‎ ‎13．（四川21） 设数列的前项和为，‎ ‎（Ⅰ）求 （Ⅱ）证明： 是等比数列； （Ⅲ）求的通项公式 ‎15．（浙江18）（本题14分）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：‎ ‎（Ⅰ）的值； （Ⅱ）数列的前项的和的公式。‎ ‎16．（重庆22）设各项均为正数的数列{an}满足.‎ ‎ （Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;‎ ‎（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.‎ ‎17．(湖北21).（本小题满分14分）‎ ‎ 已知数列,其中为实数，为正整数.‎ ‎ （Ⅰ）证明：当 ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 ‎ 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎18．(陕西20) 已知数列的首项，，…．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．‎ ‎ ‎ 数列单元测试（师）‎ 一、选择题 ‎1．（北京7）．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ C ）‎ A．30 B．45 C．90 D．186‎ ‎2．（广东4）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= （ B ）‎ A.7 B.6 C.3 D.2‎ ‎3．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（江西5）在数列中，， ，则 （ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足，则（ A ）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎6．（福建3）设是等差数列，若，则数列前8项和为（　C　）‎ Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．56‎ ‎7．（上海14）若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（　B　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．‎ ‎8．(天津4) 若等差数列的前5项和，且，则（ B ）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎9．（浙江4）已知是等比数列，，则公比= ( D )‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎10．(重庆1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 ( C )‎ ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎11．(陕西4) 已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ B ）‎ A．64 B．100 C．110 D．120‎ 二、填空题 ‎1．（安徽15） 在数列在中，，，,其中为常数，则 －1‎ ‎2．（宁夏13）已知为等差数列，，，则 ．15‎ ‎3．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎ 1‎ ‎ 2 3‎ ‎ 4 5 6‎ ‎ 7 8 9 10‎ ‎ 。 。 。 。 。 ‎ 按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 ‎ ‎4．（四川16）设数列中，，则通项 ___________。‎ 三、解答题 ‎1．（安徽21）（本小题满分12分）‎ 设数列满足其中为实数，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式 ‎（Ⅱ）设，,求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）若对任意成立，证明 解 (1) 方法一：‎ ‎ ‎ ‎ 当时，是首项为，公比为的等比数列。‎ ‎ ，即 。当时，仍满足上式。‎ ‎ 数列的通项公式为 。‎ 方法二：由题设得：当时，‎ ‎ 时，也满足上式。‎ 数列的通项公式为 。‎ ‎ (2) 由（1）得 ‎ ‎ ‎ ‎ (3) 由（1）知 若，则 ‎ ‎ 由对任意成立，知。下面证，用反证法 方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大 不能对恒成立，导致矛盾。。 ‎ 方法二：假设，，‎ 即 恒成立 （＊）‎ 为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾，‎ ‎2．（北京20）（本小题共13分）‎ 数列满足，（），是常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求及的值；‎ ‎（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．‎ 解：（Ⅰ）由于，且．‎ 所以当时，得，‎ 故．‎ 从而．‎ ‎（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：‎ 由，得 ‎，，．‎ 若存在，使为等差数列，则，即，‎ 解得．‎ 于是，．‎ 这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．‎ ‎（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．‎ 所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．‎ 因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，‎ 记，则满足 ‎．‎ 故的取值范围是．‎ ‎3．（福建20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,‎ 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.‎ bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1 =2n-1+2n-2+···+2+1 ＝=2n-1.‎ 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+‎2-2-2‎n+1-1)‎ ‎=-5·2n+4·2n=-2n＜0,‎ 所以bn·bn+2＜b,‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）因为b2=1,‎ bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1‎ ‎＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，‎ 所以bn-bn+2

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