高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

圆锥曲线 一、填空题 ‎1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为___ __________。‎ ‎2、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为 。‎ ‎3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 。‎ ‎4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：的焦点为F，定点，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= ‎ ‎5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ ‎ ‎6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线的渐近线方程为，则 ▲ ‎ ‎7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 ▲ ‎ ‎8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 为y＝±x，则该双曲线的离心率为 ▲ ‎ ‎9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为 ▲‎ ‎10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ▲ .‎ ‎11、（南通市 高三）在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过抛物 线焦点的双曲线的方程是 ‎ ‎12、（苏州市 高三上期末）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 ‎ ‎13、（泰州市 高三上期末）双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 ▲ ‎ ‎14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲ ‎ ‎15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ‎ 二、解答题 ‎1、（2015年江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3。‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程，‎ ‎ （2）过F的直线分别交椭圆于两点，线段的垂直平分线交直线和于点，若，求直线的方程。‎ ‎2、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2‎ B A O C F1‎ F2‎ x y ‎ 交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F‎1C.‎ （1） 若点C的坐标为（，），且BF2 =，求椭圆的方程；‎ （2） 若F‎1C⊥AB,求椭圆离心率e 的值。‎ ‎3、（ 南京、盐城市高三二模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.‎ ‎（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。‎ x y A O B C D M N ‎(第18题图)‎ ‎4、（南通、扬州、连云港 高三第二次调研（淮安三模））x y O P A F ‎（第18题）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为 ‎.为椭圆上一点，且.‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率；‎ ‎（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的 ‎ 右准线相切.‎ ‎5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在椭圆 上，对角线与分别过椭圆的左焦点和右焦点，且，椭圆的一条准线方程为 ‎ （1）求椭圆方程；‎ ‎ （2）求四边形面积的取值范围 ‎6、（泰州市 高三第二次模拟考试）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、‎ 垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为． ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；‎ ‎（3）求面积的最大值．‎ ‎7、（盐城市 高三第三次模拟考试）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；‎ 第18题 ‎（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎8、（ 江苏南京高三9月调研）给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．‎ ‎ （1）求实数a，b的值；‎ ‎ （2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎9、（ 江苏南通市直中学高三9月调研）已知椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是椭圆上任意一点，为圆上任意一点，求的最大值．‎ ‎10、（南通市 高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且∆是边长为的等边三角形.‎ 求椭圆的方程；‎ 过右焦点的直线与椭圆交于两点，记∆，∆的面积分别为.若，求直线的斜率.‎ ‎11、（苏州市 高三上期末）如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ P N M B O A x y E ‎（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OMON为定值.‎ ‎12、（泰州市 高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论． ‎ ‎13、（无锡市 高三上期末）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.‎ ‎(1)若时，求的值；‎ ‎(2)若时，证明直线过定点.‎ ‎14、（南京市2014届高三第三次模拟）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作 两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；‎ ‎ （3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．‎ ‎15、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F ¢与F，圆：．‎ ‎（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；‎ ‎（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，‎ ‎（第17题） ‎ 证明：点F到直线QT的距离FH为定值．‎ 参考答案 一、填空题 ‎1、由于直线的斜率与双曲线的渐近线相同，所以右支上的点到直线的距离恒大于直线到渐近线的距离。即。‎ ‎2、　　3、　 ‎ ‎4、　　5、　　6、2　　7、1　　　8、2　　9、 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、 12、 ‎ ‎13、 ‎ ‎14、16 ‎ ‎15、 二、解答题 ‎1、 解：（1），又，解得：，所以椭圆的标准方程为：。‎ ‎ （2）设的方程为，，则。‎ ‎ 其中满足方程，即。‎ ‎ 故，即。而，所以 ‎ 方程为：。故。‎ ‎ 根据题意，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，得到，所以。‎ ‎ 故直线的方程为或者。‎ ‎2、（1）∵BF2 = ，‎ 将点C（，）代入椭圆，‎ ‎∴，‎ 且c²+b²=a²‎ ‎∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为 ‎（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆联立得 x²x=0. ∴点A（，），∴点C（，）‎ F1（）‎ 直线CF1 斜率k= ，又∵F‎1C⊥AB ，∴·= ‎∴=1，∴e= ‎3、解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．…… 2分 故椭圆方程为＋＝1．‎ 由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．‎ 由解得A(b，b)．‎ 又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．‎ 故a＝，b＝． ……………… 5分 ‎（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．‎ ‎①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，‎ 显然k1≠k2．‎ 从而k1 ·kCB＝·＝＝＝＝－． ‎ 所以kCB＝－． …………………… 8分 同理kDB＝－． ‎ 于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．‎ 由解得 ‎ 从而点N的坐标为(，)． ‎ 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．‎ ‎………… 11分 所以kMN＝ ＝＝－1．‎ 即直线MN的斜率为定值－1． ……… 14分 ‎②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，‎ 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，‎ 故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．‎ 仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．‎ 此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．‎ BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，‎ 从而kMN＝－1也成立．‎ 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ………… 16分 方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．‎ ‎①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．‎ 显然k1≠k2．‎ 直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．‎ 由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．‎ 设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝． ‎ 所以C(，)．‎ 又B(－2，－1)，‎ 所以kBC＝＝－． ……………… 8分 所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．‎ 又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．‎ 由解得 ‎ 从而点N的坐标为(，)． ‎ 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．‎ ‎……… 11分 所以kMN＝ ＝＝－1．‎ 即直线MN的斜率为定值－1． ……………… 14分 ‎②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，‎ 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，‎ 故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．‎ 仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．‎ 此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．‎ BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，‎ 从而kMN＝－1也成立．‎ 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ……………… 16分 ‎4、解：（1）因为，，所以，即， ‎ ‎ 由得，，即, …… 3分 ‎ 又，‎ ‎ 所以，解得或(舍去) ． …… 5分 ‎ （2）当时,，‎ ‎ 由得，，即，故， …… 8分 ‎ 所以，解得（负值已舍）． …… 10分 ‎ （3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①‎ ‎ 由得，,即, ②‎ ‎ 由①②得，，‎ ‎ 解得或(舍去). …… 13分 ‎ 所以 ‎ ，‎ ‎ 所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切. …… 16分 ‎ （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得1分；直接使用焦半 ‎ 径公式扣1分．）‎ ‎5、‎ ‎6、解：（1）由题意得，，‎ 解得，所以，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎……………4分 ‎（2）设，显然直线的斜率都存在，设为 ‎，则，，‎ 所以直线的方程为：，‎ 消去得，化简得，‎ 故点在定直线上运动． ……………10分 ‎（3）由（2）得点的纵坐标为，‎ 又，所以，则，‎ 所以点到直线的距离 为， ‎ 将代入得，‎ 所以面积 ‎，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为． ……………16分 ‎7、解：（1）由，设，则，，‎ 所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，‎ 所以椭圆的方程为………………………………5分 ‎（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，‎ 由点的坐标为，所以，直线的方程为，‎ 联立直线与椭圆的方程，解得，‎ 又过原点，于是，，所以直线的方程为，‎ 所以点到直线的距离，………………10分 ‎（3）假设存在点，使得为定值，设，‎ 当直线与轴重合时，有，‎ 当直线与轴垂直时，，‎ 由，解得，，‎ 所以若存在点，此时，为定值2. …………………………………………12分 根据对称性，只需考虑直线过点，设，，‎ 又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，‎ 化简得，所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 将上述关系代入，化简可得.‎ 综上所述，存在点，使得为定值2……………16分 ‎8、解：（1）记椭圆C的半焦距为c．‎ 由题意，得b＝1，＝，c2＝a2＋b2，‎ 解得a＝2，b＝1． ……………………………………………… 4分 ‎（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．‎ 显然直线l的斜率存在．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． …………………………………… 6分 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 故方程组 （*） 有且只有一组解．‎ 由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0．‎ 从而△＝(‎8km)2－4(1＋4k2)( ‎4m2‎－4)＝0．‎ 化简，得m2＝1＋4k2．① ………………………………………… 10分 因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，‎ 所以圆心到直线l的距离d＝＝．‎ 即＝． ② ……………………………………… 14分 由①②，解得k2＝2，m2＝9． ‎ 因为m＞0，所以m＝3． ……………………………………… 16分 ‎9、解：（1）由题设知，‎ ‎∴． …………………………………………………3分 解得． ‎ ‎∴椭圆的方程为． ……………………………………………………6分 ‎（2）圆的圆心为，点在圆上，‎ ‎∴（当且仅当直线过点E时取等号）．……………………9分 设是椭圆上的任意一点， ‎ 则，即．‎ ‎ ∴． ………………………………………………13分 因为，所以当时，取得最大值12，即.‎ 所以的最大值为． ……………………………………………16分 ‎10、‎ ‎11、解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（‎2m，‎2m+2）．‎ 代入椭圆方程得，即，‎ 解得或（舍）． ………………………………………………3分 所以A（，）， ‎ 故直线AB的方程为． …………………………………………………6分 ‎（2）设，则，即．‎ 设,由A，P，M三点共线，即， ‎ ‎∴， ‎ 又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，……………………………9分 设，由B，P，N三点共线，即，‎ ‎∴， ‎ 点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标． …………………………12分 所以OM·ON==＝2‎ ‎====．…………………… 16分 ‎12、解：（1）设， ‎ ‎∵直线斜率为时，，∴，∴…………３分 ‎∴，∵，∴．‎ ‎∴椭圆的标准方程为． ………………６分 ‎（２）以为直径的圆过定点．‎ 设，则，且，即，‎ ‎∵，∴直线方程为： ，∴ ，‎ 直线方程为： ，∴， ………………９分 以为直径的圆为 即， ………………12分 ‎∵，∴，‎ 令，，解得，‎ ‎∴以为直径的圆过定点． ………………16分 ‎13、‎ ‎14、解：（1）由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4．‎ 所以椭圆方程为：＋＝1． …………………3分 ‎（2）设l1方程为y＋1＝k(x＋1)，‎ 联立消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0．‎ 因为P为（－1，1），解得M（，）．………………………5分 当k≠0时，用－代替k，得N（，）． ………………………7分 将k＝－1代入，得M（－2，0），N（1，1）．‎ 因为P（－1，－1），所以PM＝，PN＝2，‎ 所以△PMN的面积为××2＝2． ………………………9分 ‎（3）解法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ‎ ‎ 因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0．………12分 ‎ 若x1＋x2＝0，则N(－x１，－y１)．‎ ‎　　 因为PM⊥PN，所以·＝0，得x12＋y12＝2．‎ ‎ 又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1，‎ ‎ 1)．‎ ‎ 所以直线MN的方程为y＝－x． ……………14分 ‎ 若x1－x2＝0，则N（x1，－y1），‎ ‎ 因为PM⊥PN，所以·＝0，得y12＝(x1＋1)2＋1．‎ ‎ 又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝－或－1，‎ 经检验：x＝－满足条件，x＝－1不满足条件．‎ 综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－． ……………………16分 解法二：由（2）知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以＝－，‎ 化简得4k (k2－4k－1)＝0，解得k＝2±． …………………………12分 若k＝2＋，则M（－，），N（－，－），此时直线MN的方程为x＝－．‎ 若k＝2－，则M（－，－），N（－，），此时直线MN的方程为x＝－．…14分 当k＝0时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0．‎ 综上，直线MN的方程为x＝－或x＋y＝0． …………………16分 ‎15、‎ ‎ ‎