高考数学解题技巧递推数列通项公式的十种策略例析

高考数学解题技巧递推数列通项公式的十种策略例析

求递推数列通项公式的十种策略例析 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。‎ 一、利用公式法求通项公式 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，则，‎ 故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。‎ 二、利用累加法求通项公式 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由 得 则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由 得 则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得 ‎，‎ 则，‎ 故 因此，‎ 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 三、利用累乘法求通项公式 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以，则，‎ 则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例6 （2004年全国15题）已知数列满足 ‎，则的通项 解：因为 ①‎ 所以 ②‎ 所以②式－①式得 则 则 所以 ‎ ③‎ 由，取n=2得，则，又知，则，代入③得 ‎。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列 的通项公式。‎ 四、利用待定系数法求通项公式 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ④‎ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，‎ 得 ⑤‎ 由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ⑥‎ 将代入⑥式，得 整理得。‎ 令，则，代入⑥式，得 ‎ ⑦‎ 由及⑦式，‎ 得，则，‎ 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 例9 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ‎ ⑧‎ 将代入⑧式，得 ‎，则 等式两边消去，得，‎ 则得方程组，则，代入⑧式，得 ‎ ⑨‎ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 五、利用对数变换法求通项公式 例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩‎ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ‎，故 代入式，得 ‎ 由及式，‎ 得，‎ 则，‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 六、利用迭代法求通项公式 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而 七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎（1）当n=1时，，所以等式成立。‎ ‎（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，‎ 由此可知，当n=k+1时等式也成立。‎ 根据（1）（2）可知，等式对任何 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。‎ 八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即，‎ 可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则x=1是函数的不动点。‎ 因为，所以 ‎，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 十、利用特征根法求通项公式 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。‎ 由初始值，得方程组 求得 从而。‎ 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。‎ ‎3.3递推数列 一、基本知识简述 ‎1．有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。‎ 主要有以下几种方法：‎ （1） 构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.‎ （2） 迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.‎ （3） 代换法：包括代数代换、三角代换等 （4） 待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。‎ ‎3.思想策略：构造新数列的思想。‎ ‎4.常见类型：‎ ‎ 类型Ⅰ：（一阶递归）‎ 类型II:分式线性递推数列:‎ 二、例题：‎ 例1：，，求通项 ‎ 分析：构造辅助数列， ，则 求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式。‎ ‎[一般形式] 已知，，其中p,q,a为常数，求通项 ‎[同类变式]已知数列满足，且，求通项 分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，‎ 即，解得 求得 ‎[归纳]：‎ 类型Ⅰ：（一阶递归）‎ 其特例为：‎ ‎（1）时, ‎ 利用累加法，将，+,+…,各式相加，得 +(n2)‎ ‎(2)时,;利用累乘法,‎ ‎（3）时,‎ 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列 法1：(常数变易法) 设 则，从而 亦即数列是以为首项，公比为p的等比数列，‎ 从而可得：，‎ ‎ ‎ 法2：‎ 利用成等比数列求出，再利用迭代或迭另法求出 法3：由，则可得 ‎ ,从而又可得 ‎ 即 ‎（4）时,‎ 两边同除以 例2：数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.‎ 例3：数列中，且，，求数列的通项公式.‎ ‎[提示]‎ ‎[归纳]：类型II:分式线性递推数列:‎ 练习：1.已知数列中，是其前项和，并且，‎ ‎⑴设数列，求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵设数列，求证：数列是等差数列；‎ ‎⑶求数列的通项公式及前项和。‎ 分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．‎ 解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a ‎-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)‎ a‎-2a=2(a‎-2a)，又b=a‎-2a，所以b=2b ①‎ 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②‎ 由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．‎ 当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．‎ 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．‎ 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。‎ ‎2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．‎ 练习：2.设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．‎ ‎(1)试用表示a；‎ 例9．数列中，且满足 ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，求；‎ ‎⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，‎ 由题意得，.‎ ‎（2）若，‎ 时，‎ 故 ‎（3）‎ 若对任意成立，即对任意成立，‎ 的最小值是，的最大整数值是7。‎ 即存在最大整数使对任意，均有 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式