高考山东理科数学试题及答案解析

高考山东理科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位 ‎（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD‎·‎CD=（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3‎ ‎（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形 绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 （C）或 （D）或 ‎（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ‎（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：‎ 照此规律，当时， ．‎ ‎（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为 ．‎ ‎（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为 ．‎ ‎（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 ．‎ ‎（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设． ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．‎ ‎（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，‎ 分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，求平面与平面 所成角（锐角）的大小．‎ ‎（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．‎ ‎（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．‎ ‎（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．‎ ‎（i）求的值；（ii）求面积最大值．‎ ‎（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中． ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，故选C．‎ ‎（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故选A．‎ ‎（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B．‎ ‎（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD‎·‎CD=（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，‎ ‎，故选D．‎ ‎（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，成立；当时，，解得，则 ‎；当时，不成立．综上，故选A．‎ ‎（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B．‎ ‎（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形 绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D ‎【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，‎ 则，解得或，故选D．‎ ‎（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知，则或，解得，故选C．‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ‎（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：‎ 照此规律，当时， ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．‎ ‎（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，无解；当时，解得，则．‎ ‎（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的渐近线为，则 的焦点，则，即，，．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设． ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．‎ 解：（Ⅰ）由，‎ 由得，‎ 则的递增区间为；‎ 由得，‎ 则的递增区间为．‎ ‎ （Ⅱ）在锐角中，，，而，‎ 由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，‎ 即，故面积的最大值为．‎ ‎（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，‎ 分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，求平面 与平面 所成角（锐角）的大小．‎ 解：（Ⅰ）证明：连接，，设与交于点，‎ 在三棱台中，，则，‎ 而是的中点，，则，‎ 所以四边形是平行四边形，是的中点，．‎ 又在，是的中点，则，‎ 又平面，平面，故平面．‎ ‎（Ⅱ）由平面，可得平面而，，，‎ 则，于是两两垂直，以点为坐标原点，‎ 所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 设,则,‎ ‎，‎ 则平面的一个法向量为，设平面的法向量为 ‎，则，即，‎ 取，则，，‎ ‎，故平面与平面所成角（锐角）的大小为．‎ ‎（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）由可得，，‎ 而，则．‎ ‎（Ⅱ）由及，可得 ‎，，‎ ‎（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．‎ ‎（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；‎ ‎（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．‎ 解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；‎ ‎（Ⅱ）的所有取值为-1，0，1．‎ 甲得分的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．‎ ‎（i）求的值；（ii）求面积最大值．‎ 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则， 左、右焦点分别是,圆：圆：‎ 由两圆相交可得，即，交点在椭圆上，‎ 则，整理得，解得，（舍去），‎ 故，，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）椭圆的方程为，设点，满足，射线，‎ 代入可得点，于是．‎ ‎（ii）点到直线距离等于原点到直线距离的3倍：‎ ‎，，得，‎ 整理得．‎ ‎，‎ ‎ ，当且仅当等号成立．‎ 而直线与椭圆有交点，则有解，‎ 即有解，‎ 其判别式，即，‎ 则上述不成立，等号不成立，‎ 设，则在为增函数，‎ 于是当时，故面积最大值为12．‎ ‎（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中． ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），定义域为，‎ ‎，设，‎ 当时，，函数在为增函数，无极值点．‎ 当时，，‎ 若时，，函数在为增函数，无极值点．‎ 若时，设的两个不相等的实数根，且，‎ 且，而，则，所以当单调 递增；当单调递减；当单调递增．‎ 因此此时函数有两个极值点；‎ 当时，但，，所以当单调 递増；当单调递减，所以函数只有一个极值点．‎ ‎ 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个 极值点．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，‎ 则当时，，符合题意；‎ 当时，，在单调递增，而，‎ 则当时，，符合题意；‎ 当时，，所以函数在单调递减，而，‎ 则当时，，不符合题意；‎ 当时，设，当时，‎ 在单调递增，因此当时，‎ 于是，当时，‎ 此时，不符合题意．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 另解：（Ⅰ），定义域为 ‎，‎ 当时，，函数在为增函数，无极值点．‎ 设，‎ 当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．‎ 若，即时，，函数在为增函数，无极值点．‎ 若，即或，而当时 此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；‎ 当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；‎ 综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，‎ 的极值点个数为2．‎ ‎（Ⅱ）设函数，，都有成立，即 当时，恒成立；‎ 当时，，；‎ 当时，，；由均有成立．‎ 故当时，，，则只需；‎ 当时，，则需，即．综上可知对于，都有 成立，只需即可，故所求的取值范围是．‎ 另解：（Ⅱ）设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，‎ 当时，令，，‎ 则；当时；当，，‎ 令，关于单调递增，‎ 则，则，于是．‎ 又当时，，所以函数在单调递减，而，‎ 则当时，，不符合题意；‎ 当时，设，当时，‎ 在单调递增，因此当时，‎ 于是，当时，此时，不符合题意．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．‎