备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系

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备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系

专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考对圆的方程的考查,一般是以小题的形式出现,也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题.纵观近几年的高考试题,主要考查以下几个方面:一是考查圆的方程,要求利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的几何性质解决相关问题;二是考查直线与圆的位置关系,高考要求能熟练地解决圆的切线问题,弦长问题是高考热点,其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形,是求弦长问题的关键.三是判断圆与圆的位置关系,确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧.‎ ‎1、定义:在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 ‎2、圆的标准方程:设圆心的坐标,半径为,则圆的标准方程为:‎ ‎3、圆的一般方程:圆方程为 ‎(1)的系数相同 ‎(2)方程中无项 ‎(3)对于的取值要求:‎ ‎4、直线与圆位置关系的判定:相切,相交,相离,位置关系的判定有两种方式:‎ ‎(1)几何性质:通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系,设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则:‎ ‎① 当时,直线与圆相交 ‎② 当时,直线与圆相切 ‎③ 当时,直线与圆相离 ‎(2)代数性质:可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系,即联立直线与圆的方程,再判断解的个数.设直线:,圆:,则:‎ 消去可得关于的一元二次方程,考虑其判别式的符号 ‎① ,方程组有两组解,所以直线与圆相交 ‎② ,方程组有一组解,所以直线与圆相切 14‎ ‎③ ,方程组无解,所以直线与圆相离 ‎ ‎5、直线与圆相交:‎ 弦长计算公式:‎ ‎6、直线与圆相切:‎ ‎(1)如何求得切线方程:主要依据两条性质:一是切点与圆心的连线与切线垂直;二是圆心到切线的距离等于半径 ‎(2)圆上点的切线结论:‎ ‎① 圆上点处的切线方程为 ‎② 圆上点处的切线方程为 ‎(3)过圆外一点的切线方程(两条切线):可采取上例方法二的做法,先设出直线方程,再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率,从而得到方程.(要注意判断斜率不存在的直线是否为切线)‎ ‎7、与圆相关的最值问题 ‎(1)已知圆及圆外一定点,设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为,最大值为(即连结并延长,为与圆的交点,为延长线与圆的交点.‎ ‎(2)已知圆及圆内一定点,则过点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该直径垂直的弦.‎ ‎(3)已知圆和圆外的一条直线,则圆上点到直线距离的最小值为,距离的最大值为(过圆心作的垂线,垂足为,与圆交于,其反向延长线交圆于 ‎ 14‎ ‎(4)已知圆和圆外的一条直线,则过直线上的点作圆的切线,切线长的最小值为.‎ ‎8、圆与圆的位置关系:外离,外切,相交,内切,内含 ‎(1)可通过圆心距离与半径的关系判定:设圆的半径为,‎ ‎① 外离 ‎② 外切 ‎③ 相交 ‎④ 内切 ‎⑤ 内含 ‎(2)可通过联立圆的方程组,从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时,只能说明两圆有一个公共点,但是外切还是内切无法直接判定 ‎【经典例题】‎ 例1.【2016高考山东】已知圆M:截直线所得线段的长度是,则圆M与圆N:的位置关系是( )‎ ‎(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 14‎ 由()得(),所以圆的圆心为,半径为,因为圆截直线所得线段的长度是,所以,解得,圆的圆心为,半径为,所以,,,因为,所以圆与圆相交,故选B.‎ 例2.【2019届湖北省华师一附中调研】已知圆C: ()及直线: ,当直线被C截得的弦长为时,则= ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,得,解得,又因为,所以;故选C.‎ 例3.【2019届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷(一)】已知两点, (),若曲线上存在点,使得,则正实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例4.已知直线上总存在点,使得过点作的圆: 的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是( )‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】C 14‎ ‎【解析】‎ 如图,设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,由及知,四边形MACB为正方形,故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,只需圆心到直线的距离,即∴,故选C.‎ 例5.过点作圆的弦,其中最短的弦长为 .‎ ‎【答案】.‎ 点睛:数形结合思想的应用,是解析几何的重要特征,解题过程中要通过分析题目的条件和结论,灵活的加以转化.‎ 例6.【2016高考新课标3】已知直线:与圆交于两点,过分别做的垂线与轴交于两点,若,则__________________.‎ ‎【答案】4‎ 14‎ ‎【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,.‎ 例7.已知圆,圆,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. ‎ ‎【答案】,.‎ ‎【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为:.‎ 将配方得: ,圆心到公共弦的距离为.所以弦长为.‎ 例8. 求过点的圆的切线方程 ‎【答案】,.‎ 点睛:求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.‎ 例9. 已知点及圆:.‎ ‎①若直线过点且与圆心的距离为1,求直线的方程;‎ ‎②设过点P的直线与圆交于、两点,当时,求以线段为直径的圆的方程;‎ ‎③设直线与圆交于,两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】①或;②;③不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦.‎ 14‎ ‎【解析】①设直线的斜率为(存在),‎ 则方程为. 即 又圆C的圆心为,半径,‎ 由 , 解得.‎ 所以直线方程为, 即 . ‎ 当的斜率不存在时,的方程为,经验证也满足条件 ‎ ‎②由于,而弦心距, 所以.‎ 即,解得.‎ 则实数的取值范围是.‎ 设符合条件的实数存在,由于垂直平分弦,故圆心必在上.‎ 所以的斜率,而,所以.‎ 由于,故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦.‎ 例10. 已知半径为2,圆心在直线上的圆C.‎ ‎(Ⅰ)当圆C经过点A(2,2)且与轴相切时,求圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知E(1,1),F(1,-3),若圆C上存在点Q,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ 14‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)因为原心在直线上故可设原心为,则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。又因为此圆与轴相切则,解方程组可得。(Ⅱ)设,根据可得,即点在直线上。又因为点在圆上,所以直线与圆必有交点。所以圆心到直线的距离小于等于半径。‎ 试题解析:解: (Ⅰ)∵圆心在直线上,‎ ‎∴可设圆的方程为,‎ ‎ 其圆心坐标为(; 2分 ‎∵圆经过点A(2,2)且与轴相切,‎ ‎∴有 解得,‎ 所以圆的横坐标的取值范围是 ‎【精选精练】‎ ‎1.已知条件:,条件:直线与圆相切,则是的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由,可得直线为.所以圆心(0,0)到该直线的距离等于半径,所以直线与圆相切.所充分性成立.当直线与圆 14‎ 相切,可解得.所以必要性成立.综上是的充要条件.‎ ‎2.已知圆与直线有两个交点,则正实数的值可以为( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆化为标准方程即,由题意,圆心到直线的距离,结合选项,可得D正确,故选D.‎ ‎3.已知圆,当圆的面积最小时,直线与圆相切,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎4.若直线与圆相切,且为锐角,则这条直线的斜率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意:,所以,‎ 因为且为锐角,所以,‎ 所以直线的斜率是,故选A.‎ 14‎ ‎5.已知圆与直线相切于第三象限,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知有圆心 到直线的距离为1,所以有 ,当 时,圆心为 在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当时, 圆心为 在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以.选B.‎ ‎6.【2019届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考】设直线与圆交于两点,过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为,则( )‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎7.已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以,故选B.‎ ‎8.已知点, , 在圆上运动,且.若点的坐标为,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知AC是圆的直径,所以O是AC中点,故,PO的长为5,所以,显然当B在PO上时, 有最小值,当B在PO的延长线上时, 有最大值,故选C.‎ ‎9.过定点的直线: 与圆: 相切于点,则_ _.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】直线: 过定点, 的圆心,半径为:3;定点与圆心的距离为: .过定点的直线: 与圆: 相切于点,则.‎ ‎10.【2019届江苏省泰州中学月考】知动圆与直线相切于点,圆被轴所截得的弦长为,则满足条件的所有圆的半径之积是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎11. 已知圆关于直线对称的圆为.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)过点作直线与圆交于两点, 是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)存在直线和 ‎【解析】‎ 14‎ 试题分析:(1)将圆的一般方程转化为标准方程,将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题,进而求出圆的方程;(2)先由条件判定四边形为矩形,将问题转化为判定两直线垂直,利用平面向量是数量积为0进行求解.‎ 解得: ,‎ 所以圆的方程为.‎ ‎(2)由,所以四边形为矩形,所以.‎ 要使,必须使,即: .‎ ‎①当直线的斜率不存在时,可得直线的方程为,与圆 交于两点, .‎ 因为,所以,所以当直线的斜率不存在时,直线满足条件.‎ ‎②当直线的斜率存在时,可设直线的方程为.‎ 设 由得: .由于点在圆内部,所以恒成立,‎ 14‎ ‎,‎ ‎, ,‎ 要使,必须使,即,‎ 也就是: ‎ 整理得: ‎ 解得: ,所以直线的方程为 存在直线和,它们与圆交两点,且四边形对角线相等.‎ ‎12. 已知定点,圆C: ,‎ ‎(1)过点向圆C引切线l,求切线l的方程;‎ ‎(2)过点A作直线 交圆C于P,Q,且,求直线的斜率k; ‎ ‎(3)定点M,N在直线 上,对于圆C上任意一点R都满足,试求M,N两点的坐标.‎ ‎【答案】(1)x=2或(2)(3).‎ ‎【解析】解:(1)①当直线l与x轴垂直时,易知x=2符合题意; ‎ 14‎ ‎②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).‎ 即kx-y-2k=0.‎ 若直线l与圆C相切,则有,解得k=,‎ ‎∴直线l: ‎ 故直线l的方程为x=2或 ‎ ‎(2)设,由 知点P是AQ的中点,所以点Q的坐标为 .‎ 又 得 , ⑤‎ 由④、⑤得 ,⑥‎ 由于关于 的方程⑥有无数组解,所以, ‎ 解得 ‎ 所以满足条件的定点有两组 ‎ 14‎
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