高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

‎ 2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法 一、 问题描述 一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用与的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重。‎ 二、 智慧笔记 ‎1. 证明等差等比数列 ‎① 等差数列的证明方法：‎ ‎ （1）定义法：(常数) （2）等差中项法：‎ ‎② 等比数列的证明方法：‎ （1） 定义法：(常数) （2）等比中项法：‎ ‎2. 通项的求法 ‎① 累加法：数列有形如的递推公式，且的前n项和可求，可利用累加法求。‎ ‎② 累乘法：数列有形如的递推公式，且的前n项积可求，则利用累乘法求出通项。‎ ‎③ 已知通项公式与前n项和关系求通项：利用和的关系，若给出或可以求出，则可利用，求。‎ ‎④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为型【其中，p,q为常数，】方法为：利用待定系数法将其变形为，再设，则即为以为首项，p为公比的等比数列，求出 的通项公式，从而求出；‎ ‎（Ⅱ）递推公式为型【其中p,q为常数】.方法为：先在原递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。‎ ‎（Ⅲ）递推关系为（其中a,c为常数且）型的数列，取倒数得，当时是等差数列；当时 ‎，令，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。‎ ‎3. 典型的求和方法 ‎① 分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式，常见于为等差数列，为等比数列或者和分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。‎ ‎② 倒序相加法：讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）。‎ ‎③ 错位相减法：求数列和的前n项和，数列，分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q后，向后错一项，与原数列的和做差，即，然后求即可。‎ 注意：（Ⅰ）等比数列公比为负数的情形；‎ ‎ （Ⅱ）应用等比数列求和公式注意，如果不能确定公比q是否为1，应讨论。‎ ‎④ 裂项相消：‎ 将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。常见的裂项相消变化有：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）；‎ ‎（Ⅳ）；‎ ‎（Ⅴ）；‎ 注意：（Ⅰ）使用裂项法，应注意正负项相消时削去了哪些项，保留了哪些项； ‎ ‎ （Ⅱ）由于数列中每一项均裂成了一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必定相同。‎ ‎4. 几个重要考点 ‎① 方程思想：=等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。‎ ‎② 函数思想：等差数列的前n项的和，（A、B是与n无关的常数），关于n的二次型函数，没有常数项.‎ ‎③ 的最大（小）值：方法一：不等式组思想：的最大值Û,求得n的值再求.的最小值Û，求得n的值再求.方法二：利用项的单调性求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求的最值.方法三：(函数思想)利用：由，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n的值.‎ 的最大值Û的最大值。‎ 的最小值Û的最小值。‎ 方法四：利用差比或者商比【判定的单调性】‎ 从而判定的单调性.‎ END ‎ 一、 智囊例题 ‎【例1】 【2014高考湖北文第18题理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设数列的公差为，根据成等比数列求得的值，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）中求得的，根据等差数列的求和公式求出，解不等式求出满足条件的的.‎ ‎【例2】【2014高考湖南卷文第16题】‎ 已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【例3】【2015高考安徽文18】‎ 已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.‎ ‎（Ⅰ）由题设可知，又， 可解的或（舍去）由得公比，故.‎ ‎（Ⅱ）又 所以 ‎.‎ 例4】【2015高考山东理18】‎ 设数列的前n项和为.已知.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【解析】‎ 所以， ‎ ‎ ，又适合此式.‎ ‎【例5】【2013浙江18理文19】‎ 在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.‎ ‎(1)求; (2)若,求 ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: (Ⅱ)由(1)知,当时,, ①当时, ②当时, 所以,综上所述:‎ ‎ ‎ 四．智客习题 A组（夯实基础）时间：30分钟 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．(2011年福建泰宁调研)已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎2．(2011年福建泰宁调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－n2，则a4＝(　　)‎ A．－6 B．－8 C．－12 D．－14‎ ‎3．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(　　)‎ A．公差为2的等差数列 B．公差为lg2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为lg2的等比数列 ‎4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为(　　)‎ A．140° B．120° C．100° D．80°‎ ‎5．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6. (2011年辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎7．(2010年浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)‎ A．11 B．5 C．－8 D．－11‎ ‎8．数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎9. (2011年安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…a10＝(　　)‎ A．15 B．12 C．－12 D．－15‎ ‎10.(2011年四川)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)‎ A．0 B．3 C．8 D．11‎ ‎11. (2010年北京)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(　　)‎ A．9 B．10 ‎ C．11 D．12‎ ‎12．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝2，若数列也是等比数列，则Sn等于(　　)‎ A．2n B．3n ‎ C．2n＋1－2 D．3n－1‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，则an＝________.‎ ‎14. (2010年福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.‎ ‎15．已知数列an＝则a1＋a100＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝________.‎ ‎16．(2011年江苏)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．‎ B组（能力提升）时间：20分钟 ‎1. 【2015高考湖北文19】‎ 设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．‎ ‎ ‎ ‎2. 【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（I）求的通项公式； （II）设，求数列的前n项和.‎