北京市朝阳区高考数学一模试卷理科含解析

北京市朝阳区高考数学一模试卷理科含解析

‎2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．i是虚数单位， =（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i ‎2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．M∩N=N B．M∩（∁UN）=∅ C．M∪N=U D．M⊆（∁UN）‎ ‎3．“”是“ea＞eb”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．42 B．19 C．8 D．3‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（　　）‎ A． B．或 C． D．或 ‎6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（　　）‎ ‎（注：结余=收入﹣支出）‎ A．收入最高值与收入最低值的比是3：1‎ B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（　　）‎ A．0＜r＜ B．0＜r＜ C．0＜r＜ D．0＜r＜‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．‎ ‎9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎10．已知等差数列{an}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{an}的通项公式an=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．‎ ‎12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．‎ ‎14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用xi表示，‎ ‎，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用ai，bi表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．已知函数，ω＞0．‎ ‎（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．‎ ‎16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 男生 ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 女生 ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？‎ ‎（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．‎ ‎17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；‎ ‎（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1‎ ‎（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．‎ ‎18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．‎ ‎19．已知点和椭圆C：．‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．‎ ‎20．已知等差数列{an}的通项公式．设数列{bn}为等比数列，且．‎ ‎（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{bn}的公比最小，‎ ‎（ⅰ）写出数列{bn}的前4项；‎ ‎（ⅱ）求数列{kn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{bn}有无数多个．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．i是虚数单位， =（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．‎ ‎【解答】解： ===1+i，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．M∩N=N B．M∩（∁UN）=∅ C．M∪N=U D．M⊆（∁UN）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．‎ ‎【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，‎ 故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），‎ 由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），‎ ‎∴∁UN={x|x≥1或x≤0}，‎ ‎∴M⊆（∁UN），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．“”是“ea＞eb”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】“”等价于a＞b，可得“ea＞eb”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“ea＞eb”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．‎ ‎∴“”是“ea＞eb”的充分不必要条件．　‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．42 B．19 C．8 D．3‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=1‎ 满足条件i＜4，S=3，i=2‎ 满足条件i＜4，S=8，i=3‎ 满足条件i＜4，S=19，i=4‎ 不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（　　）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．‎ ‎【解答】解：∵cosB=，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=2accosB，‎ 代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，‎ 则B=或．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（　　）‎ ‎（注：结余=收入﹣支出）‎ A．收入最高值与收入最低值的比是3：1‎ B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 ‎【考点】函数的图象与图象变化．‎ ‎【分析】根据折现统计图即可判断各选项．‎ ‎【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，‎ 由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，‎ 由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，‎ 由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．‎ 该几何体的体积V=××1=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（　　）‎ A．0＜r＜ B．0＜r＜ C．0＜r＜ D．0＜r＜‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，‎ 设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），‎ 可得n=，①‎ y=的导数为y′=﹣，‎ 可得切线的斜率为﹣，‎ 由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，‎ 即为n﹣1=m（m﹣1）2，②‎ 由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，‎ 化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，‎ 即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，‎ 则有或．‎ 可得此时圆的半径r==．‎ 结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，‎ r的范围是（0，）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．‎ ‎9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是　10　（用数字作答）．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．‎ ‎【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 Tr+1= x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．‎ 令 10﹣3r=4，可得 r=2，‎ ‎∴展开式中含x4的项的系数是=10，‎ 故答案为10．‎ ‎　‎ ‎10．已知等差数列{an}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{an}的通项公式an=　2n﹣1　；a2+a6+a10+…+a4n+10=　（n+3）（4n+11）　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，‎ ‎∴a4=1+3d=7，‎ 解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ ‎∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，‎ ‎∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．‎ 故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．‎ ‎　‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为　（，）　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．‎ ‎【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入 曲线C1的方程为x2+y2=2，可得 ‎（2﹣t）2+t2=2，‎ 解得t=1，‎ 可得交点的直角坐标为（1，1），‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，‎ 可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，‎ 可得θ=．‎ 可得交点的极坐标为（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ ‎　‎ ‎12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：‎ 因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．‎ 当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．‎ 当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，‎ 由得，即A（3，3），‎ 代入y=a（x+1）得4a=3，a=，‎ 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．‎ 此时0＜a≤．‎ 综上所述，a≤．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是　（0，）　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由得：；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴实数n的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用xi表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为　　（用ai，bi表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为　22　．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．‎ ‎【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，‎ 则用xi表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，‎ 设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），‎ 则di=|ai﹣bi|+|bi﹣ci|+|ci﹣ai|，1≤i≤12，‎ ‎∵di的奇偶性和（ai﹣bi）+（bi﹣ci）+（ci﹣ai）=0一样，∴di是偶数，‎ ‎3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，‎ 又S≥7×3=21．则S≥22，‎ 取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），‎ 则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，‎ 故答案为：，22‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．已知函数，ω＞0．‎ ‎（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）当ω=1时， ==．‎ 令．‎ 解得．‎ 所以f（x）的单调递增区间是．…‎ ‎（Ⅱ）由==．‎ 因为，所以．‎ 则，n∈Z．‎ 解得．‎ 又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，‎ 所以当ω=时，T的最大值为4π． …‎ ‎　‎ ‎16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 男生 ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 女生 ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？‎ ‎（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．‎ ‎（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，‎ 这两名学生阅读本数之和为4．‎ 由题意可知，．…‎ ‎（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，‎ 故X的取值为0，1，2，3，4．‎ 由题意可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的均值．…‎ ‎（Ⅲ）．…‎ ‎　‎ ‎17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；‎ ‎（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1‎ ‎（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．‎ ‎（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，‎ 所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．‎ 又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，‎ 所以AC⊥平面AA1B1B．‎ 由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．‎ 因为AP⊂平面AA1B1B，‎ 所以A1C1⊥AP．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．‎ 分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．‎ 由已知 AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，‎ 所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．‎ 因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．‎ 易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．‎ 设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由，得 取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．‎ 由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，‎ 所以===．‎ 所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…‎ ‎（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．‎ 设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），‎ 所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．‎ 设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），‎ 由，得 取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．‎ 又，若A1C∥平面AMP，则．‎ 所以．所以．‎ 所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．‎ ‎（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．‎ ‎（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．‎ ‎（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．‎ ‎（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．‎ ‎（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．‎ 当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；‎ 当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．‎ 综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．‎ 当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．‎ ‎…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ ‎（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，‎ 所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；‎ ‎（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]‎ 上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．‎ 依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．‎ ‎（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，‎ 所以f（x）min=f（2）=2+aln2．‎ 依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．‎ 综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…‎ ‎（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，‎ 切线方程为．‎ 因为切线过点P（1，3），则．‎ 即． …①‎ 令（x＞0），则．‎ ‎（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；‎ 在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ 所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．‎ 故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．‎ 因此当a＜0时，切线的条数为0．‎ ‎（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ 在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．‎ 取，则．‎ 故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．‎ 取，则=．‎ 设，u（t）=et﹣2t，则u′（t）=et﹣2．‎ 当t＞1时，u′（t）=et﹣2＞e﹣2＞0恒成立．‎ 所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．‎ 故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．‎ 因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．‎ ‎（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．‎ 综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；‎ 当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…‎ ‎　‎ ‎19．已知点和椭圆C：．‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．‎ 因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．‎ 所以△PF1F2的周长为．‎ 易得椭圆的离心率．…‎ ‎（Ⅱ）证明：由得．‎ 因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，‎ 所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．‎ 显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，‎ 则=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．‎ 所以|PM|=|PN|． …‎ ‎　‎ ‎20．已知等差数列{an}的通项公式．设数列{bn}为等比数列，且．‎ ‎（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{bn}的公比最小，‎ ‎（ⅰ）写出数列{bn}的前4项；‎ ‎（ⅱ）求数列{kn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{bn}有无数多个．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{an}的前若干项，观察可得等比数列{bn}的公比最小为4，即可得到所求；‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）可知{bn}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．‎ 证明kn为正整数即可；‎ ‎（Ⅱ）设数列{cn}是数列{an}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{an}的项，运用归纳法，即可得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）观察数列{an}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．‎ 因为数列{an}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．‎ ‎（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．‎ 又，所以，‎ 即．‎ 再证kn为正整数．‎ 显然k1=1为正整数，n≥2时，‎ ‎，‎ 即，‎ 故为正整数．‎ 所以，所求通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）证明：设数列{cn}是数列{an}中包含的一个无穷等比数列，‎ 且，，‎ 所以公比．因为等比数列{cn}各项为整数，所以q为整数．‎ 取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．‎ 只要证是数列{an}的项，即证3kn﹣1=5•（3m+1）n﹣1．‎ 只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．‎ 又n≥2时，，‎ 即，‎ 又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，‎ 故n≥2时，kn也都是正整数．‎ 所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，‎ 其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，‎ 故数列{an}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．‎ ‎　‎ ‎2016年9月12日