江苏高考数学考试说明

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文档介绍

江苏高考数学考试说明

‎2019年江苏省高考说明-数学科 一、命题指导思想 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科(江苏卷)命题,将依据《普通高中数学课程标准(实验)》,参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》,结合江苏省普通高中课程标准教学要求,按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则,既考查中学数学的基础知识和方法,又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.‎ ‎1.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查  ‎ 对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学实际,既注意全面,又突出重点,支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查,不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.  ‎ ‎2.重视数学基本能力和综合能力的考查  ‎ 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.  ‎ ‎(1)空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合.  ‎ ‎(2)抽象概括能力的考查要求是:能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质;能够从给定的信息材料中概括出一些结论,并用于解决问题或作出新的判断.  ‎ ‎(3)推理论证能力的考查要求是:能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题,运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性.  ‎ ‎(4)运算求解能力的考查要求是:能够根据法则、公式进行运算及变形;能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径;能够根据要求对数据进行估计或近似计算.  ‎ ‎(5)数据处理能力的考查要求是:能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析,以解决给定的实际问题.  ‎ 数学综合能力的考查,主要体现为分析问题与解决问题能力的考查,要求能够综合地运用有关的知识与方法,解决较为困难的或综合性的问题.  ‎ ‎3.注重数学的应用意识和创新意识的考查  ‎ 数学的应用意识的考查要求是:能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造适合的数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决.  ‎ 创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题,综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题.  ‎ 二、考试内容及要求 数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答;选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容;附加题部分考查的内容是选修系列2(不含选修系列1)中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题).‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示).‎ 了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,并能解决相关的简单问题.‎ 理解:要求对所列知识有较深刻的理性认识认识,并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握:要求系统地把握知识的内在联系,并能解决综合性较强的问题.‎ 具体考查要求如下:‎ ‎1.必做题部分  ‎ 内 容 要 求 A  ‎ B  ‎ C  ‎ ‎1.集合 集合及其表示  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 子集  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 交集、并集、补集 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎2.函数概念 与基本初等函数Ⅰ  ‎ 函数的概念 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 函数的基本性质 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 指数与对数  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 指数函数的图象与性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 对数函数的图象与性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 幂函数  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 函数与方程  ‎ ‎  ‎ ‎√‎ ‎   ‎ 函数模型及其应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎3.基本初等 函数Ⅱ(三 角函数)、‎ 三角恒等 变换 三角函数的概念 ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 同角三角函数的基本关系式 ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 正弦函数、余弦函数的诱导公式 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 函数的图象与性质                               ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 两角和(差)的正弦、余弦及正切 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 二倍角的正弦、余弦及正切  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎4.解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎5.平面向量 平面向量的概念 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 平面向量的加法、减法及数乘运算 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 平面向量的坐标表示 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 平面向量的数量积 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 平面向量的平行与垂直 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 平面向量的应用 ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎6.数列 数列的概念 ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 等差数列 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 等比数列 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎7.不等式 基本不等式 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 一元二次不等式 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 线性规划 ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎8.复数 复数的概念  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 复数的四则运算  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 复数的几何意义  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎9.导数及其应用  ‎ 导数的概念  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 导数的几何意义  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 导数的运算  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 利用导数研究函数的单调性与极值  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 导数在实际问题中的应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎10.算法初步 算法的含义  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 流程图  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 基本算法语句  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎11.常用逻辑用语  ‎ 命题的四种形式 ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 充分条件、必要条件、充分必要条件  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 简单的逻辑联结词  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 全称量词与存在量词  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎12.推理与证明  ‎ 合情推理与演绎推理  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 分析法与综合法  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 反证法  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎13.概率、统计  ‎ 抽样方法  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 总体分布的估计  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 总体特征数的估计  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 随机事件与概率  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 古典概型  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 几何概型  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 互斥事件及其发生的概率  ‎ ‎  ‎ ‎√   ‎ ‎   ‎ ‎14.空间几何体  ‎ 柱、锥、台、球及其简单组合体  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎15.点、线、面 之间的位置关系  ‎ 平面及其基本性质  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 直线与平面平行、垂直的判定及性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 两平面平行、垂直的判定及性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎16.平面解析 几何初步  ‎ 直线的斜率和倾斜角  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 直线方程  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 直线的平行关系与垂直关系  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 两条直线的交点  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 两点间的距离、点到直线的距离  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 圆的标准方程与一般方程  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎17.圆锥曲线 与方程  ‎ 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎  ‎ ‎2.附加题部分  ‎ 内 容 要 求 A  ‎ B  ‎ C  ‎ ‎   选修系列:不含选修系列中的内容 ‎1.圆锥曲线 与方程  ‎ 曲线与方程  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准 方程与几何性质 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎2.空间向量 与立体几何  ‎ 空间向量的概念  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 空间向量共线、共面的充分必要条件  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 空间向量的加法、减法及数乘运算  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 空间向量的坐标表示  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 空间向量的数量积  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 空间向量的共线与垂直  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 直线的方向向量与平面的法向量  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 空间向量的应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎3.导数及其应用  ‎ 简单的复合函数的导数 ‎√‎ ‎4.推理与证明  ‎ 数学归纳法的原理  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 数学归纳法的简单应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎5.计数原理 加法原理与乘法原理 ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 排列与组合  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 二项式定理  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎6.概率、统计  ‎ 离散型随机变量及其分布列  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 超几何分布  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 次独立重复试验的模型及二项分布  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎√‎ ‎ 选修系列中个专题 ‎ ‎7.矩阵与变换  ‎ 矩阵的概念  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 二阶矩阵与平面向量  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 常见的平面变换  ‎ ‎√  ‎ ‎  ‎ ‎   ‎ 矩阵的复合与矩阵的乘法  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 二阶逆矩阵  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 二阶矩阵的特征值与特征向量  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 二阶矩阵的简单应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎8.坐标系与 参数方程  ‎ 坐标系的有关概念  ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 简单图形的极坐标方程  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 参数方程  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 直线、圆及椭圆的参数方程  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 参数方程与普通方程的互化  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 参数方程的简单应用  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ ‎9.不等式选讲  ‎ 不等式的基本性质  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ ‎   ‎ 含有绝对值的不等式的求解  ‎ ‎   ‎ ‎√  ‎ 不等式的证明(比较法、综合法、分析法)‎ ‎√‎ 算术-几何平均不等式与柯西不等式 ‎√‎ 利用不等式求最大(小)值 ‎√‎ 运用数学归纳法证明不等式 ‎√‎ 三、考试形式及试卷结构 ‎(一)考试形式  ‎ 闭卷、笔试,试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分,考试时间120分钟;附加题部分满分为40分,考试时间30分钟.  ‎ ‎(二)考试题型  ‎ ‎1.必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题,约占70分;解答题6小题,约占90分.  ‎ ‎2.附加题 附加题部分由解答题组成,共6题.其中,必做题2小题,考查选修系列2中的内容;选做题共4小题,依次考查选修系列4中4-2、4-4、4-5这4个专题的内容,考生只须从中选2个小题作答.  ‎ 填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法,只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程;解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  ‎ ‎(三)试题难易比例  ‎ 必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4:4:2.  ‎ 附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5:4:1.‎ 四、典型题示例 A.必做题部分 ‎1. 设复数满足(i是虚数单位),则的虚部为_____‎ ‎【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎2. 设集合,则实数的值为_ ‎ ‎【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.‎ 结束 k←k +1‎ 开始 k←1‎ k2-5k+4>0‎ N 输出k ‎ Y ‎【答案】1.‎ ‎3. 右图是一个算法流程图,则输出的k的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识,‎ 本题属容易题.‎ ‎【答案】5‎ ‎4. 函数的定义域为  ‎ ‎【解析】本题主要考查对数函数的单调性,本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中 随机抽取了根棉花纤维的长度(棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标),所得数 据均在区间中,其频率分布直方图 如图所示,则在抽测的根中,有_ _根 棉花纤维的长度小于.‎ ‎【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.‎ ‎【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为 ‎,故频数为.‎ ‎6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是______.‎ ‎【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.‎ ‎【答案】‎ ‎7. 已知函数,它们的图像有一个横坐标为的交点,则的值是________.‎ ‎【解析】‎ 本题主要考察特殊角的三角函数值,正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识,考察数形结合的思想,考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】.‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列中,若的值是______.‎ ‎【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识,考察运算求解能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】4.‎ ‎9.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于,其焦点是,,则四边形的面积是______.‎ ‎【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.‎ D A B C ‎【答案】‎ ‎10.如图,在长方体中,,‎ ‎,则四棱锥的体积为 cm3.‎ ‎【解析】本题主要考查四棱锥的体积,考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题.‎ ‎【答案】6.‎ ‎11.设直线是曲线的一条切线,则实数的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.‎ ‎【答案】.‎ ‎12.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值是 .‎ ‎【解析】‎ 本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识,考查运算求解能力.本题属中等难度题.‎ ‎【答案】‎ ‎13.如图,在中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,,,则的值是 .‎ ‎【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识,考查数形结合和等价转化的思想,考查运算求解能力.本题属难题.‎ ‎【答案】.‎ ‎14. 已知正数满足:则的取值范围是 .‎ ‎【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力,考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.‎ ‎【答案】‎ 二、解答题 ‎15.在中,角.已知 ‎(1)求值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力.‎ 本题属容易题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎(1)在中,因为,‎ ‎ 故由正弦定理得,于是.‎ ‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得.所以.‎ 又因为,所以.‎ 从而.‎ 在,‎ 所以.‎ 因此由正弦定理得.‎ ‎16.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证:(1)EF∥平面ABC;‎ ‎(2)AD⊥AC.‎ ‎【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.‎ 本题属容易题 ‎【参考答案】‎ 证明:(1)在平面内,因为AB⊥AD,,所以.‎ 又因为平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD,‎ 平面平面BCD=BD, ‎ 平面BCD,,‎ 所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ 又AB⊥AD,,平面ABC,平面ABC,‎ 所以AD⊥平面ABC,‎ 又因为AC平面ABC,‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.‎ ‎【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识, 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题. ‎ ‎【参考答案】(1)设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,, ‎ 解得,于是, ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎(2)由(1)知,,.‎ 设,因为点为第一象限的点,故.‎ 当时,与相交于,与题设不符.‎ 当时,直线的斜率为,直线的斜率为.‎ 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,‎ 从而直线的方程:, ①‎ 直线的方程:. ②‎ 由①②,解得,所以.‎ 因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.‎ 又在椭圆E上,故.‎ 由,解得;,无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎18. 如图:为保护河上古桥,规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区,规划要求,新桥与河岸垂直;保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆,且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80,经测量,点位于点正北方向60处,点位于点正东方向170处,(为河岸),.‎ ‎(1)求新桥的长;‎ ‎(2)当多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..‎ ‎【参考答案】‎ 解法一:‎ 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60),C(170, 0),‎ 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.‎ 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.‎ 设点B的坐标为(a,b),则k BC= k AB=‎ 解得a=80,b=120. 所以BC=.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为,即 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大. ‎ 所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F.‎ 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.‎ CF=,从而.‎ 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==,‎ 又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半 径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,‎ 故由(1)知,sin∠CFO =所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ ‎19. 设函数,其中为实数.‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.‎ ‎【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力.本题属难题.‎ ‎【参考答案】解:(1)令f′(x)=<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g′(x)=ex-a=0,得x=ln a.当x<ln a时,g′(x)<0;当x>ln a时,g′(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.‎ 综上,有a∈(e,+∞).‎ ‎(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g′(x)=ex-a>0,解得a<ex,即x>ln a.‎ 因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a≤-1,即0<a≤e-1.‎ 结合上述两种情况,有a≤e-1.‎ ‎①当a=0时,由f(1)=0以及f′(x)=>0,得f(x)存在唯一的零点;‎ ‎②当a<0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.‎ 另外,当x>0时,f′(x)=-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x ‎)只有一个零点.‎ ‎③当0<a≤e-1时,令f′(x)=-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时,f′(x)>0,当x>a-1时,f′(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1.‎ 当-ln a-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.‎ 当-ln a-1>0,即0<a<e-1时,f(x)有两个零点.‎ 实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-ae-1<0,f(a-1)>0,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.‎ 另外,当x∈(0,a-1)时,f′(x)=-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.‎ 下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(ea-1)=a(a-2-ea-1)<0.‎ 为此,我们要证明:当x>e时,ex>x2.设h(x)=ex-x2,则h′(x)=ex-2x,再设l(x)=h′(x)=ex-2x,则l′(x)=ex-2.‎ 当x>1时,l′(x)=ex-2>e-2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,‎ h′(x)=ex-2x>h′(2)=e2-4>0,‎ 从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,‎ h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当x>e时,ex>x2.‎ 当0<a<e-1,即a-1>e时,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在 ‎[a-1,ea-1]上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零点.又当x>a-1时,f′(x)=-a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点.‎ 综合①,②,③,当a≤0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,‎ 当 0<a<e-1时,f(x)的零点个数为2.‎ ‎20. 设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”.‎ ‎(1)若数列的前n项和,证明:是“H数列”;‎ ‎(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求d的值;‎ ‎(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得成立.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力与推理论证能力.本题属难题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎(1)当时,‎ 当时,‎ ‎∴时,,当时,‎ ‎∴是“H数列”‎ ‎(2)‎ 对,使,即 取得,‎ ‎∵,∴,又,∴,∴‎ ‎(3)设的公差为d 令,对,‎ ‎,对,‎ 则,且为等差数列 的前n项和,令,则 当时;‎ 当时;‎ 当时,由于n与奇偶性不同,即非负偶数,‎ 因此对,都可找到,使成立,即为“H数列”.‎ 的前n项和,令,则 ‎∵对,是非负偶数,∴‎ 即对,都可找到,使得成立,即为“H数列”‎ 因此命题得证.‎ B.附加题部分 ‎1.选修矩阵与变换 已知矩阵,,求.‎ ‎【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力.本题属容易题.‎ ‎【参考答案】‎ 设的逆矩阵为,则,即,故,,,,从而的逆矩阵为,所以,.‎ ‎2.选修坐标系与参数方程 在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.‎ ‎【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力。本题属容易题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎∵圆圆心为直线与极轴的交点,‎ ‎∴在中令,得。‎ ‎∴圆的圆心坐标为(1,0)。‎ ‎∵圆经过点,∴圆的半径为。‎ ‎∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎3.选修不等式选讲 已知是非负实数,求证:‎ ‎【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力,本题属容易题.‎ ‎【参考答案】‎ 由是非负实数,作差得 当时,从而得 当时,,从而得 所以 ‎5. 如图,在正四棱柱中,,点是的中点,点在上,设二面角的大小为.‎ ‎(1)当时,求的长;‎ ‎(2)当时,求的长。‎ ‎【解析】本题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间 向量解决问题的能力.本题属中等题.‎ ‎【参考答案】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系。‎ 设,则各点的坐标为 所以,.设平面的法向量为 ‎,则,‎ 即,令,则 所以是平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量为,则 即,令,则 所以是平面的一个法向量,从而 ‎(1)因为,所以解得,从而 所以 ‎(2)因为 所以 因为或,所以,解得或.‎ 根据图形和(1)的结论可知,从而的长为.‎ ‎6. 已知函数,记为的导数,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:对任意的,等式成立.‎ ‎【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.‎ ‎【参考答案】‎ ‎(1)解:由已知,得 于是 所以故 ‎(2)证明:由已知,得等式两边分别对x求导,得,‎ 即,类似可得 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时,由上可知等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎,‎ 所以.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令,可得().‎ 所以().‎
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