备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题16 恒成立问题——参变分离法

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题16 恒成立问题——参变分离法

专题16 恒成立问题——参变分离法 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.‎ ‎1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 ‎2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.‎ ‎3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：‎ ‎（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等 ‎（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）‎ ‎4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）‎ ‎（1）若的值域为 ‎ ‎①，则只需要 ‎ ，则只需要 ‎②，则只需要 ‎ ，则只需要 ‎③，则只需要 23‎ ‎ ，则只需要 ‎④，则只需要 ‎ ，则只需要 ‎（2）若的值域为 ‎ ‎① ，则只需要 ‎ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）‎ ‎② ，则只需要 ‎ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）‎ ‎③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）‎ ‎ ，则只需要 ‎④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）‎ ‎ ，则只需要x/k-+w ‎5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 ‎（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.‎ ‎（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.‎ ‎【经典例题】‎ 例1．【2019年（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则 23‎ 故选 例2.【2019届河北省邯郸市高三1月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】最大值,因为当时 ‎ 令 ‎ 因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C.‎ 例3．【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在上是增函数，‎ 在上恒成立 故选 例4．【2019届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；‎ 同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.‎ 例5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：，其中 只需要，令 ‎ （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函 23‎ ‎【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.‎ 例6【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ 试题解析：（1）由可得的定义域为，且，‎ 若，则，函数在上单调递增；‎ 若，则当时，，在上单调递增，‎ 当时，，在上单调递减.‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）原命题等价于不等式在上恒成立，‎ 即，不等式恒成立.‎ ‎∵当时，，∴，‎ 即证当时，大于的最大值.‎ 又∵当时，，∴，‎ 综上所述，.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的范围.‎ 例7【2019届广东省肇庆市高三三模】已知函数，，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若 ,且恒成立. 求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）6.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调区间. (2) 先分离参数，再求的最小值,即得k的最大值.‎ ‎（2）由得，‎ 23‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.‎ 例8【2019届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断性测验】设函数，，其中为非零实数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）是否存在使得恒成立？若存在，求的取值范围，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1)有极大值，无极小值；(2)见解析.‎ 试题解析：（1）∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 当时， ，，‎ ‎∴有极大值，无极小值；‎ ‎（2）当时，，，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ ‎∴，故恒成立，‎ 当时，，‎ 由于 ，，‎ 而，∴时，，‎ 23‎ 故取，显然，‎ 由上知当时，，，∴，‎ 综上可知，当时，恒成立.‎ 例9【2019届黑龙江省大庆市高三第二次检测】已知函数.‎ ‎ (I) 当时，求函数的单调区间;‎ ‎ (II) 当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，函数定义域为：‎ ‎∴‎ 令，由可知，‎ 从而有两个不同解.‎ 令，则 当时，；当时，，‎ 所以函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立.‎ 令，求导得，‎ 设，则，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 23‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，即在上单调递增，‎ ‎∴‎ 当时，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎∴有，‎ ‎∴恒成立矛盾 ‎∴实数的取值范围为 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.‎ 例10【2019届山东天成高三第二次大联考】已知函数，.‎ 23‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ 解析；‎ ‎（1），定义域 所以.‎ 讨论：‎ 当时，对或，成立，‎ 所以函数在区间，上均是单调递增；‎ 当时，对或，成立，‎ 所以函数 在区间，上均是单调递减；‎ 当时，函数是常函数，无单调性.‎ ‎（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立.‎ 令，则.‎ 讨论：‎ ‎①当，即时，且不恒为0，‎ 23‎ 所以函数在区间单调递增.‎ 又，所以对任意恒成立.‎ 故符合题意 综上实数的取值范围是.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019年【衡水金卷】（三）】已知函数的导函数为，且满足， ，若函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 23‎ ‎ 设，‎ 则，‎ 可知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，‎ 可知，故实数的取值范围为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题 ‎2．已知函数f(x)＝x2＋4x＋aln x，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. (－6，＋∞)‎ B. (－∞，－16)‎ C. (－∞，－16]∪[－6，＋∞)‎ D. (－∞，－16)∪(－6，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】，因为函数在区间上具有单调性，所以或在上恒成立，则有或在上恒成立，所以或在上恒成立，令，当时，，所以或，所以的取值范围是 23‎ ‎.‎ ‎3．【2019届上海市浦东新区高三下学期（二模）】已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎4．若函数f(x)＝sin x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－1]‎ ‎【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.‎ ‎5．【2019年（衡水金卷信息卷）三】已知函数，其中为实数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；‎ ‎（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论.‎ 解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎，，可知.‎ 23‎ ‎.‎ 当，即时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）函数 ‎.‎ 则变为，‎ 即，‎ 设函数 ‎，‎ 由，得在时为单调递减函数，即，‎ 23‎ 即，‎ 也即对与恒成立.‎ 因为，可知时，取最大值，‎ 即 .‎ 对时恒成立，‎ 由，可知，‎ 即取值范围为.‎ ‎6．【2019届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】已知函数（且）.‎ ‎（1）若函数在处取得极值，求实数的值；并求此时在上的最大值；‎ ‎（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【试题解析】‎ 解：（1）函数的定义域为，，‎ ‎，∴‎ 在上，单调递减，在上，单调递增，‎ 所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；‎ 又，，.‎ 23‎ 当时，在的最大值为 ‎ ‎（2）由于 所以函数存在零点 ‎ ‎②时，，.在上，单调递减，‎ 在上，单调递增，‎ 所以时取最小值.解得 综上所述：所求的实数的取值范围是.‎ ‎7．函数的定义域为（为实数）.‎ ‎（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，求出右边对应的函数在定义域内的最小值，即可求得的取值范围．‎ 试题解析：（1）任取，‎ 23‎ 则有， ‎ 即恒成立，所以 ‎ ‎（2） 恒成立 ‎∵，∴函数在上单调减，‎ ‎∴时，函数取得最小值，即.‎ ‎8．【2019届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数，，其中.‎ ‎（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；‎ ‎（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.（2）.（3）.‎ ‎，利用导数工具求得，故此时；‎ ‎②当时，恒成立，故此时；③当时，，‎ 利用导数工具求得，故此时.综上：.‎ 23‎ ‎（3）因为，由（2）知，‎ 当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.‎ 当时，切线方程为，‎ 当时，切线方程为.‎ ‎（2）由题意，对任意有恒成立，‎ ‎①当时，，‎ 令，则，令得，‎ ‎，故此时.‎ 23‎ ‎②当时，恒成立，故此时.‎ ‎③当时，，‎ 令， ‎ 当，存在唯一的整数使得，‎ 等价于存在唯一的整数成立，‎ 因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，‎ 23‎ 所以.‎ 当，存在唯一的整数使得，‎ 等价于存在唯一的整数成立，‎ 因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，‎ 所以当时，没有整数成立，所有.‎ 综上：.‎ ‎9．【2019届河南省焦作市高三第四次模拟】已知.‎ ‎（Ⅰ）若，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到实数的取值范围． ‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以，‎ 当时， ，所以在上单调递减，‎ 当时，令，得，令，得，‎ 23‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由，得，‎ 不等式即，得在上恒成立.‎ 设，则.‎ 设，则，‎ 在区间上， ，则函数递增，所以，‎ 所以在区间上， ，函数递减.‎ 当时， ，而，所以，‎ 因为在上恒成立，所以.‎ ‎10．【2019届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】函数.‎ ‎(1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值；‎ ‎(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围；‎ ‎(3)在(1)的条件下,求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；(3)1.‎ 单调性，即可求出，从而可得实数的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出恒成立，从而在上递增，结合零点存在性定理，即可求得的最小值.‎ 试题解析：（1）∵函数 ‎∴‎ 23‎ ‎∵函数在点处的切线与直线平行 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由题意，需在恒成立，即在恒成立.‎ 令，则.‎ 又∵‎ ‎∴使得，此时 ‎∴时递减， 时递增 ‎∴‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎ 23‎ ‎11．【2019届江西省高三监测】已知函数.‎ ‎（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的方程， 有实数解，求整数的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数有两个极值点等价于有两个可变零点，即方程有两个不等的正实数根,（2）方程,即,记函数,，问题转化为直线与的交点情况.‎ ‎(2)方程,即,记函数,， , ‎ 令 ,, ‎ 单调递减, , ‎ 存在,使得,即, ‎ 当,, 递增, , 递减,‎ 23‎ ‎,即,, ‎ 故,整数的最大值为 ‎ ‎12【2019届山东高三天成大联考第二次】已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.‎ 解析；‎ ‎（1），定义域 所以.‎ 讨论：‎ 当时，函数是常函数，无单调性.‎ 23‎ ‎（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立.‎ 令，则.‎ 讨论：‎ ‎①当，即时，且不恒为0，‎ 所以函数在区间单调递增.‎ 又，所以对任意恒成立.‎ 故符合题意 综上实数的取值范围是.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ 23‎