三维设计高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入文新人教A版

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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0‎ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的 单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 ‎0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 ‎(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；　‎ λ(a＋b)＝λa＋λb 相反；当λ＝0时，λa＝0‎ ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．判断下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1 　B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：A ‎2．(教材习题改编)化简：‎ ‎(1)(＋)＋＋＝________.‎ ‎(2) ＋＋－＝________.‎ 答案：(1) 　(2)0‎ ‎3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ＝________.‎ 答案：－ ‎1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．‎ ‎2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠‎0”‎，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ ‎3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是________．(填序号)‎ ‎①共线；②不共线；③以上二者皆可能．‎ 答案：③‎ ‎2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋ |＝________.‎ 解析：|－＋ |＝|＋＋|＝||＝2.‎ 答案：2‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(易错题)给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③　　　　　　　　　 　B．①②‎ C．③④ D．④⑤‎ 解析：选A　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥，‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，因此，＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.‎ ‎2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0‎ 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎[谨记通法]‎ 向量有关概念的5个关键点 ‎(1)向量：方向、长度．‎ ‎(2)非零共线向量：方向相同或相反．‎ ‎(3)单位向量：长度是一个单位长度．‎ ‎(4)零向量：方向没有限制，长度是0.‎ ‎(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第1题易混淆有关概念．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A.‎ ‎2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.‎ 答案：b－a　－a－b ‎3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－‎ ，λ2＝，即λ1＋λ2＝.‎ 答案： ‎[谨记通法]‎ 用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤 ‎(1)观察各向量的位置；‎ ‎(2)寻找相应的三角形或多边形；‎ ‎(3)运用法则找关系；‎ ‎(4)化简结果．‎ ‎[典例引领]‎ 设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．‎ 解：(1)证明：∵＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝‎2a＋8b＋‎3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，‎ 又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb同向，‎ ‎∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb.‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是不共线的两个非零向量，‎ 解得或 又∵λ>0，∴k＝1.‎ ‎[由题悟法]‎ 共线向量定理的3个应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．‎ ‎[即时应用]‎ 如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.‎ ‎(1)用a，b表示向量，，，，；‎ ‎(2)求证：B，E，F三点共线．‎ 解：(1)延长AD到G，‎ 使＝，‎ 连接BG，CG，得到▱ABGC，‎ 所以＝a＋b，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝(a＋b)，‎ ‎＝＝b，‎ ‎＝－＝(a＋b)－a＝(b－‎2a)，‎ ‎＝－＝b－a＝(b－‎2a)．‎ ‎(2)证明：由(1)可知＝，‎ 又因为，有公共点B，‎ 所以B，E，F三点共线．‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2015·嘉兴测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b　　　　　　　 B.a＋b C．a－b D．a＋b 解析：选A　＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.‎ ‎2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－‎8a－2b＝2(－‎4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．‎ ‎3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A. － B．－＋ C．2－ D．－＋2‎ 解析：选C　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.‎ ‎4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.‎ 解析：因为ABCD为平行四边形，‎ 所以＋＝＝2，‎ 已知＋＝λ，故λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 2＝16，|＋ |＝|－|，则| |＝________.‎ 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，||＝| |＝2.‎ 答案：2‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反　　　 　B．a与λ‎2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析：选B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a B．b C．c D．0‎ 解析：选D　依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ ‎3．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选A　∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A.‎ ‎4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A　由题意得＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，‎ 因此＋＋＝＋(＋－)‎ ‎＝＋＝－，‎ 故＋＋与反向平行．‎ ‎5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选B　∵D为AB的中点，‎ 则＝(＋)，‎ 又＋＋2＝0，‎ ‎∴＝－，∴O为CD的中点，‎ 又∵D为AB中点，‎ ‎∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，‎ 则＝4.‎ ‎6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.‎ 答案：－a＋b ‎7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－ |＝|＋－2 |，则△ABC的形状为________．‎ 解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，‎ ‎∴|＋|＝|－|.‎ 故⊥，△ABC为直角三角形．‎ 答案：直角三角形 ‎8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋‎ ‎＝0.‎ 其中正确命题的个数为________．‎ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；‎ ‎＝＋＝a＋b，故②正确；‎ ‎＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；‎ ‎∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.‎ ‎∴正确命题为②③④.‎ 答案：3‎ ‎9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ‎＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋ ‎＝a＋b.‎ ‎10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝‎ ‎2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，‎ ‎∴＝2.‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ ‎∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ ‎∴＝λ (λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ 得 解得k＝12.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.‎ ‎∵点E在线段CD上，‎ ‎∴＝λ (0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ ‎∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，‎ ‎∴0≤μ≤.‎ 即μ的取值范围是.‎ 答案： ‎2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎ ‎＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1) ＝λ－λ，‎ 即(m－λ) ＋(n＋λ－1) ＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：‎ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法：‎ ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.‎ a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B. C．－或 D．0‎ 解析：选C　由a∥b，得1×2－m2＝0，所以m2＝2，即m＝±.‎ ‎2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则‎3a＋4b＝________.‎ 答案：(－6,19)‎ ‎3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.‎ 解析：由题意，设e1＋e2＝m a＋n b.‎ 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，‎ 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(‎2m＋n)e2.‎ 由平面向量基本定理，得 所以 答案：　－ ‎1．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；‎ ‎2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；‎ ‎3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 解析：选A　法一：设C(x，y)，‎ 则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，‎ 所以 从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.‎ 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，‎ ‎＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.‎ ‎2．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ 解析：∵ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ ‎∴∴∴m－n＝2－5＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2　　　　　 　B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ 解析：选D　选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎2.(易错题)如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 解：∵＝－＝a－b，‎ ‎＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.‎ ‎∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝＝a＋b，‎ ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎[谨记通法]‎ 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·抚顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b 表示为(　　)‎ A.a＋b　　　　　　　 　B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：选A　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.‎ ‎2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－‎3a，则点N的坐标为(　　)‎ A．(2,0)　　　　　　　　 　B．(－3,6)‎ C．(6,2) D．(－2,0)‎ 解析：选A　＝－‎3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，‎ 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ 所以即 ‎3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎[谨记通法]‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)‎ 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.‎ ‎[典例引领]‎ 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ 解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎(2) ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ‎＝(1,0)＋m(2,1)＝(‎2m＋1，m)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴‎8m－3(‎2m＋1)＝0，‎ ‎∴m＝.‎ ‎[由题悟法]‎ 向量共线充要条件的2种形式 ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；‎ ‎(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ A．－ B. C. D. 解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，‎ ‎＝－＝(－2k，－2)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴，共线，‎ ‎∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，‎ 解得k＝－.‎ ‎2．(2015·潍坊期中考试)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为________．‎ 解析：ma＋4b＝(‎2m－4,‎3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，‎ 由于ma＋4b与a－2b共线，‎ ‎∴－(‎2m－4)＝4(‎3m＋8)，解得m＝－2.‎ 答案：－2‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．b－a　　　　　　　　 　B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析：选A　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2．(2015·青岛二模)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(－1，－1)　　　　　　　　 　B．(3,7)‎ C．(1,1) D．(2,4)‎ 解析：选A　由题意可得＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．‎ ‎3．(2015·广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若‎3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)‎ A．(－23，－12) B．(23,12)‎ C．(7,0) D．(－7,0)‎ 解析：选A　由题意可得‎3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．‎ ‎4．(2015·洛阳一模)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________.‎ 解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．‎ 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，‎ 据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即‎4a＝－5，‎ ‎∴a＝－.‎ 答案：－ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．已知在▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　因为在▱ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝×(－1,12)＝，故选B.‎ ‎2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：选D　由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．‎ ‎3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)‎ A．x＝，y＝ ‎ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ ‎ D．x＝，y＝ 解析：选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ ‎4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 解析：选D　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．‎ ‎5．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎6．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.‎ 解析：＝－＝(－3,2)，‎ ‎∴＝2＝(－6,4)．‎ ‎＝＋＝(－2,7)，‎ ‎∴＝3＝(－6,21)．‎ 答案：(－6,21)‎ ‎7．(2015·北京东城模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m ‎，＝n，则m＋n的值为________．‎ 解析：连接AO，则＝(＋)＝＋.‎ 又∵M，O，N三点共线，‎ ‎∴＋＝1，即m＋n＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．‎ 解析：P中，a＝(－1＋m,1＋‎2m)，‎ Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．‎ 则得 此时a＝b＝(－13，－23)．‎ 答案： ‎9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ 解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ ‎10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.‎ 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，‎ ‎＝＋＝－b＋＝b－a，‎ ‎＝＋＝－b－＝a－b.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝‎ ‎________.‎ 解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，‎ 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ 答案：4‎ ‎2.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．‎ ‎(1)设＝λ，将用λ，，表示；‎ ‎(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．‎ 解：(1) ＝＋＝＋λ ‎＝＋λ(－)‎ ‎＝(1－λ) ＋λ.‎ ‎(2)证明：一方面，由(1)，得 ‎＝(1－λ) ＋λ ‎＝(1－λ)x＋λy；①‎ 另一方面，∵G是△OAB的重心，‎ ‎∴＝＝×(＋)‎ ‎＝＋.②‎ 而，不共线，‎ ‎∴由①②，得 解得 ‎∴＋＝3(定值)．‎ 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.‎ ‎2．向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a.‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 　B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选C　法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，‎ ‎∴a2＝2，a·b＝－3，‎ 从而(‎2a＋b)·a＝‎2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，‎ ‎∴‎2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，‎ 从而(‎2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.‎ ‎2．(教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角为______．‎ 答案：150°‎ ‎3．已知向量a，b都是单位向量，且a·b＝，则|‎2a－b|的值为________．‎ 解析：|‎2a－b|＝＝＝＝.‎ 答案： ‎1．(1)0与实数0的区别：‎0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．‎ ‎2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎3．在运用向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．‎ ‎4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．给出下列说法：‎ ‎①向量b在向量a方向上的投影是向量；‎ ‎②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；‎ ‎③(a·b)c＝a(b·c)；‎ ‎④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.‎ 其中正确的说法有________个．‎ 答案：0‎ ‎2．(2016·南宁第二次适应性测试)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：设a与b的夹角为θ.依题意得a2－2b2＋a·b＝－2,4－8＋4cos θ＝－2，cos θ＝.又θ∈[0，π]，因此θ＝，即向量a与b的夹角为.‎ 答案： ‎[题组练透]‎ ‎1．(易错题)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与‎2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　　　　　 　B．－ C. D. 解析：选D　a＋2b＝(－1＋‎2m,4)，‎2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋‎2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，‎ 所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－3 C. D．3 解析：选C　因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为 ‎||cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ 解析：因为a＝(－2，－6)，‎ 所以|a|＝＝2，‎ 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，‎ 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.‎ 答案：10‎ ‎4．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ 解析：取，为一组基底，‎ 则＝－＝－，‎ ‎＝＋＋＝－＋＋＝－＋，‎ ‎∴·＝· ‎＝||2－·＋||2‎ ‎＝×4－×2×1×＋ ‎＝.‎ 答案： ‎[谨记通法]‎ 向量数量积的2种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错 ‎[命题分析]‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．‎ 常见的命题角度有：‎ ‎(1)平面向量的模；‎ ‎(2)平面向量的夹角；‎ ‎(3)平面向量的垂直．‎ ‎[题点全练]‎ 角度一：平面向量的模 ‎1．(2015·浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ 解析：∵e1·e2＝，‎ ‎∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°.‎ 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.‎ 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.‎ 答案： ‎2．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.‎ 解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∵ λa＋b＝0.‎ ‎∴即 由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.‎ 答案： 角度二：平面向量的夹角 ‎3．(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(‎2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　∵a⊥(‎2a＋b)，∴a·(‎2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.‎ ‎4．(2016·江西八校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由题意得，(||· ||)2＝(||·||·cos〈，〉)2＋(||·||·sin〈，〉)2，即(||·||)2＝(·)2＋(||·||·sin〈，〉)2，‎ ‎∴||·||·sin〈，〉＝2－，‎ ‎∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉＝1－.‎ 答案：1－ 角度三：平面向量的垂直 ‎5．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. 解析：选C　因为‎2a－3b＝(2k－3，－6)，(‎2a－3b)⊥c，‎ 所以(‎2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.‎ ‎6．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1) ·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.‎ 答案： ‎[方法归纳]‎ 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎[典例引领]‎ ‎(2015·山东烟台一模)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，‎ x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ 解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1.‎ 又<‎2A＋＜，∴‎2A＋＝π，即A＝.‎ ‎∵a＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ 所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝‎3c，②‎ 由①②，可得b＝3，c＝2.‎ ‎[由题悟法]‎ 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎[即时应用]‎ ‎　(2016·江西新余三校联考)已知a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.‎ ‎(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．‎ 解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1.‎ ‎∴g(x)＝sin＋1＝sin＋1.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，‎ ‎－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos x≠0，‎ ‎∴sin xcos x－4cos2x＝0，∴tan x＝4.‎ ‎∴f(x)＝2 cos2x＋2sin xcos x＝＝＝.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　　)‎ A．x＝－　　　　　　　　 　B．x＝－1‎ C．x＝5 D．x＝0‎ 解析：选D　由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.‎ 所以x＝0.‎ ‎2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎3．在边长为1的等边△ABC中，设→＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C. D．3‎ 解析：选A　依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.‎ ‎4．(2015·太原模拟)已知向量a，b满足(‎2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．‎ 解析：∵(‎2a－b)·(a＋b)＝6，∴‎2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，∴a与b的夹角为.‎ 答案： ‎5．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．‎ 解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，‎ ‎∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，‎ ‎∴m＝－2.‎ 答案：－2‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2015·济南二模)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．1 D．－1‎ 解析：选A　因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.‎ ‎2．(2016·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.‎ ‎3．(2015·济宁二模)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 解析：选C　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．‎ ‎4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．1‎ 解析：选D　因为＝＋＝＋，‎ ‎＝＋，‎ 所以·＝·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1.‎ ‎5．(2015·山西考前检测)若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，＋2＋2＝0，则在方向上的投影为(　　)‎ A．4 B. C. D．1‎ 解析：选C　如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，‎ 则由平面向量的加法的几何意义得＋＝2.‎ 又由条件得＋＝－＝，‎ 所以2＝，即4＝，所以A，O，D共线．‎ 所以OA⊥BC，所以CD为在方向上的投影．‎ 因为||＝| |＝4，‎ 所以| |＝3，所以| |＝ ＝.‎ ‎6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.‎ 解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，‎ ‎∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，‎ ‎∴|c|＝＝8.‎ 答案：8 ‎7．(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.‎ 解析：由已知得| |＝，| |＝，‎ 则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝－.‎ 答案：－ ‎8．(2015·湖北咸宁联考)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．‎ 解析：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为.‎ 答案： ‎9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ 解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|‎4a－2b|2＝‎16a2－‎16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|‎4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎10．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k,3)，＝(2,4)．‎ ‎(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．‎ 解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，‎ ‎∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.‎ ‎(2)∵＝(2－k,3)，∴＝(k－2，－3)，‎ ‎∴＝＋＝(k,1)．若△ABC为直角三角形，‎ 则当A是直角时，⊥，即·＝0，‎ ‎∴2k＋4＝0，解得k＝－2；‎ 当B是直角时，⊥，即·＝0，‎ ‎∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；‎ 当C是直角时，⊥，即·＝0，‎ ‎∴16－2k＝0，‎ 解得k＝8.‎ 综上得k的值为－2，－1,3,8.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为(　　)‎ A.－1 B．1‎ C.＋1 D. 解析：选A　∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，‎ 所以|a＋b|＝，‎ 又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，‎ ‎∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b－‎2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，‎ 所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，‎ ‎|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，‎ 所以|a＋b－c|的最小值为－1.‎ ‎2．(2015·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a ‎－c) ·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以| |＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥‎2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎ 第四节 数系的扩充与复数的引入 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：‎ 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：‎ 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝‎ ＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i　　　　　　　 　B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案：C ‎2．(教材习题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝________，y＝________.‎ 答案：4　－2‎ ‎3．(教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．‎ 答案：3＋5i ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．‎ ‎4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．(2016·郑州质量预测)设i是虚数单位，若复数m＋(m∈R)是纯虚数，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ 解析：选A　依题意得m＋＝(m＋3)－i是纯虚数，于是有m＋3＝0，m＝－3.‎ ‎2．(2015·洛阳统考)设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．‎ 解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.‎ 答案：2‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)‎ A．－4　　　　　　　　　 　B．－3‎ C．3 D．4‎ 解析：选D　∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D.‎ ‎2．(2016·九江模拟)设复数z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A.－I B.＋i C．1－3i D．1＋3i 解析：选B　∵z＝＝＝－i，‎ ‎∴＝＋i.‎ ‎3．(易错题)(2015·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ 解析：选A　依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.‎ ‎4．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ 解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－‎2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－‎2a≠0，解得a＝‎ ‎－2.‎ 答案：－2‎ ‎[谨记通法]‎ 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解，如“题组练透”第3题．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2016·长春质检)复数的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限　　　　 　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　＝－i，所以其共轭复数为＋i.‎ 所以对应的点位于第一象限．‎ ‎2．(2015·郑州质量预测)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i 解析：选C　依题意得，复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.‎ ‎3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ 解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，‎ ‎＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ 答案：1‎ ‎[谨记通法]‎ 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ .‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2015·湖南高考)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i　　　　　　　　　　　 　B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选D　由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.‎ ‎2．(2016·吉林实验中学)设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 解析：选A　∵＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，故选A.‎ ‎3．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ 解析：∵z＝＝＝＝＝＝‎ ‎－＋i，‎ 故＝－－i，‎ ‎∴z·＝＝＋＝.‎ 答案： ‎4．已知i是虚数单位，2 016＋6＝________.‎ 解析：原式＝1 008＋6＝1 008＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2‎ ‎＝0.‎ 答案：0‎ ‎[谨记通法]‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，‎ i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限　　　　　　 　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.‎ ‎2．(2016·西安质检)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i.若z＝，则＝(　　)‎ A.＋I B.－i C．i D．－i 解析：选D　z＝＝＝＝＝i，＝－i.‎ ‎3．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为(　　)‎ A．－ B．－i C. D.i 解析：选A　由题意得所以a＝1，‎ 所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.‎ ‎4．复数|1＋i|＋2＝________.‎ 解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.‎ 答案：i ‎5．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.‎ 解析：∵|a＋bi|＝＝，‎ ‎∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.‎ 答案：3‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i在复平面内对应的点在第二象限．‎ ‎2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．2 D．3 解析：选A　由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.‎ ‎3．(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 015＝(　　)‎ A．1＋I B．1－i C．i D．0‎ 解析：选D　z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 015＝ ‎＝＝＝0.‎ ‎4．(2016·芜湖一模)已知i是虚数单位，若z1＝a＋i，z2＝a－i，若为纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A. B．－ C.或－ D．0‎ 解析：选C　＝＝＝‎ 是纯虚数，‎ ‎∴解得a＝±.‎ ‎5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 解析：选D　对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．‎ ‎6．(2016·浙江摸底)已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．‎ 解析：由＝b＋i，得＝＝3－ai＝b＋i，所以b＝3，a＝－1，则ab＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎7．(2015·唐山统考)若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝________.‎ 解析：∵z＝i(2＋z)，∴(1－i)z＝2i，‎ ‎∴z＝＝＝i(1＋i)＝－1＋i.‎ 答案：－1＋i ‎8．已知a∈R，若为实数，则a＝________.‎ 解析：＝＝＝＋i，‎ ‎∵为实数，∴＝0，∴a＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．‎ 解析：∵|z－2|＝＝，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知max＝＝.‎ 答案： ‎10．计算：(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 解：(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＝＝＝＝＋i.‎ ‎(3)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝ ‎＝＝ ‎＝－－i.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2016·刑台摸底考试)已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是(　　)‎ A．z＝z2 B．|z1|＝|z2|‎ C．z－z＝1 D．z1，z2互为共轭复数 解析：选C　依题意，注意到z＝2＝－i＝－－i＝z2，因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到＝－－i＝z2，因此选项D正确；注意到z＝z·z1＝2·＝＝1，同理z＝1，因此z－z＝0，选项C错误．综上所述，选C.‎ ‎2．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.‎ 解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.‎ 答案：＋i ‎3．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(‎2a－5)i，若＋z2是实数，求实数a的值．‎ 解：＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(‎2a－5)i ‎＝＋[(a2－10)＋(‎2a－5)]i ‎＝＋(a2＋‎2a－15)i.‎ ‎∵＋z2是实数，‎ ‎∴a2＋‎2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.‎ ‎∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.‎ ‎1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 解析：选B　由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B，事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 　B. ‎ C． D. 解析：选A　＋＝(＋)＋(＋)＝‎ (＋)＝，故选A.‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ 解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，‎ 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： ‎4．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝__________；y＝__________.‎ 解析：∵＝2，∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝(＋)，‎ ‎∴＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ 答案：　－ ‎1．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：选A　由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝5.‎ ‎2．(2015·福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k), 又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ ‎3．(2015·陕西高考)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a·b|≤|a||b|‎ B．|a－b|≤||a|－|b||‎ C．(a＋b)2＝|a＋b|2‎ D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2‎ 解析：选B　根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|＞||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．‎ ‎4．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥‎ 解析：选D　在△ABC中，由＝－＝‎2a＋b－‎2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(‎4a＋b)·＝(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(‎4a＋b)⊥，故选D.‎ ‎5．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π 解析：选A　由(a－b)⊥(‎3a＋2b)，‎ 得(a－b)·(‎3a＋2b)＝0，即‎3a2－a·b－2b2＝0.‎ 又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，‎ 即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，‎ ‎∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.‎ ‎∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎6．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，| |＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．15‎ C．9 D．6‎ 解析：选C　如图所示，由题设知：‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎＝－＝－，‎ ‎∴·＝·‎ ‎＝||2－||2＋·－·‎ ‎＝×36－×16＝9.‎ ‎7．(2015·福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)‎ A．13 B．15‎ C．19 D．21‎ 解析：选A　∵⊥，故可以A为原点，AB，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．‎ 不妨设B，C(t,0)，‎ 则＝＋＝(4,1)，‎ 故点P的坐标为(4,1)．‎ ‎·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17‎ ‎＝－＋17≤－2＋17＝13.‎ 当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.‎ ‎8．(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ 解析：由已知可以得到c＝(m＋4,‎2m＋2)，‎ 且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，‎ 又|b|＝2|a|，所以‎2c·a＝c·b，‎ 即2＝4(m＋4)＋2(‎2m＋2)，‎ 解得m＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2014·湖北高考)若向量＝(1，－3)，|| ＝||， ·＝0，则 | | ＝________.‎ 解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又 ·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|| ＝2；当x＝－3，y＝－1时，|| ＝2.则|| ＝2.‎ 法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2.‎ 答案：2 ‎10．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.‎ 由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，‎ ‎∴tan x＝1.‎ ‎(2)∵m与n的夹角为，‎ ‎∴m·n＝|m|·|n|cos，‎ 即sin x－cos x＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又∵x∈，∴x－∈，‎ ‎∴x－＝，即x＝.‎ ‎1．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.‎ ‎2．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 　B. C. D．2‎ 解析：选A　由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.‎ ‎3．(2014·天津高考)i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1－i　　　　　　　　　　 　B．－1＋i C.＋i D．－＋i 解析：选A　＝＝＝1－i.选A.‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选B　∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，‎ ‎∴‎4a＋(a2－4)i＝－4i.‎ ‎∴解得a＝0.故选B.‎ ‎5．(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．‎ 解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.‎ 答案：21‎ ‎6．(2014·上海高考)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.‎ 解析：∵z＝1＋2i，∴＝1－2i.‎ ‎∴·＝z·＋1＝5＋1＝6.‎ 答案：6‎