2015高考数学人教版文科一轮单元评估检测不等式推理与证明含模拟题含答案解析
单元评估检测(六)
第六章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q且
x∉P∩Q}.若P={x|x2-3x-4≤0},Q={x|y=log2(x2-2x-15)},那么P+Q等于( )
A.[-1,4]
B.(-∞,-1]∪[4,+∞)
C.(-3,5)
D.(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)
2.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.以上均不正确
3.(2014·宜昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4.(2014·荆门模拟)若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是( )
A.|b-a+|≥2
B.a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4
C.b2>ac
D.|b|-|a|≤|c|-|b|
5.(2013·宿州模拟)如果实数x,y满足条件那么2x-y的最大值为
( )
A.2 B.1 C.-2 D.-3
6.条件p：<2x<16,条件q：(x+2)(x+a)<0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-4] D.(-∞,-4)
7.(2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(3,+∞) D.(4,+∞)
8.(2013·西安模拟)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
9.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
10.(2013·随州模拟)变量x,y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是( )
A. B.
C.[-2,3] D.[1,6]
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)
11.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a2+b2>2;
⑤ab>1,其中能推出：“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是________.
12.(2014·十堰模拟)若不等式-a
0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是________.
16.(2014·黄冈模拟)已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,则+的最小值是________.
17.(能力挑战题)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义：f′′(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有′拐点′;任何一个三次函数都有对称中心,且‘拐点’就是对称中心”.请你将这一发现作为条件,则函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为__________.
三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤
并指明等号何时成立.
19.(13分)(2014·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.
(1)当a=时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
20.(13分)(2013·黄山模拟)若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值.
(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.
21.(13分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表：
时间(将第x天记为x)x
1
10
11
18
单价(元/件)P
9
0
1
8
而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.
(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).
(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)
22.(14分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
(2)求证：对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.
答案解析
1.【解析】选D.由题意可知P={x|-1≤x≤4},Q={x|x<-3或x>5}.所以P+Q={x|x<-3或-1≤x≤4或x>5}.
2.【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.
3.【解析】选A.由已知可得2=a+2b≥2,
故≤1,即ab≤,等号成立的条件是a=2b=1.
4.【解析】选B.设等差数列a,b,c的公差为d(d≠0),则==|d|+
≥2=2,因此A成立;b2-ac=-ac=>0,因此C成立;由2b=a+c得|2b|=|a+c|≤|c|+|a|,即|b|-|a|≤|c|-|b|,因此D成立;对于B,当a=-1,b=-2,c=-3时,a3b+b3c+c3a=53,a4+b4+c4=98,此时B不成立.综上所述,选B.
5.【解析】选B.先根据约束条件画出可行域：
当直线2x-y=t过点A(0,-1)时,t取得最大值1,故答案为B.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤
(1)画出可行域.
(2)确定目标函数的斜率.
(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.
(4)平移直线,确定满足最优解的点.
(5)求满足最优解的点的坐标,代入点的坐标可得解.
6.【思路点拨】p是q的充分不必要条件,即p⇒q而qp,按此判断即可.
【解析】选D.由<2x<16,得2-2<2x<24,即-24得a<-4,故选D.
7.【思路点拨】采用分离参数法,将参数m分离到不等式的一边,用函数的单调性求出不等式另一边的最值,得到m的取值范围.
【解析】选B.不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.
8.【思路点拨】利用对数运算转化得x,y关系而后利用“1”的代换求解.
【解析】选C.由lg2x+lg8y=lg2得lg2x+3y=lg2,
所以x+3y=1,+=(x+3y)
=2++≥4,故选C.
9.【思路点拨】先利用线性规划知识得a,b关系而后设m=+,代入消元转化求解.
【解析】选A.由题可画出满足x,y关系的平面区域如图.
因为a>0,b>0,
所以z=ax+by在点
M(4,6)处取最大值,
所以4a+6b=12,
即2a+3b=6. ①
设m=+, ②
由①②联立得b2-2b+2-2m=0.
因为b有解,
所以Δ=4-4(2-2m)≥0,
解得m≥,
故m的最小值为,所以选A.
【一题多解】本题还可用以下方法求解：
题目在求得2a+3b=6 ①,
设m=+ ②后,①②联立得.
m=+=1-b++
=b2-b+1
=(b-1)2+.
因为2a=6-3b>0,得b<2.又b>0,
所以08,依题意,
得(x-8)-≤28%·x.
由于x>0,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0.
即(3x-10)(3x-40)≤0.解得≤x≤,故80,b>0,
所以+=(2a+b)=4++≥4+4=8,
当且仅当=,即b=2a时等号成立.
答案：8
16.【解析】依题意,1=2ae0+b,则2a+b=1,
所以(2a+b)·=3++≥3+2,当且仅当即时取等号.故+的最小值是3+2.
答案：3+2
17.【思路点拨】利用定义可求解.
【解析】f′(x)=3x2-6x+3,f′′(x)=6x-6,
令6x-6=0得x=1.
因为f(1)=1,
所以f(x)的对称中心为(1,1).
答案：(1,1)
18.【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.
(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.
即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.
因为a,b,c,d∈R,
所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.
所以由(1)(2)知原不等式成立.
【误区警示】本题极易忽略对ac+bd的符号的讨论而直接平方证明,从而造成失分.
19.【解析】(1)当a=时,f(x)>1即为x2+2x+>1,
所以2x2+4x-1>0,
解得x>-1+或x<-1-,
故不等式解集为.
(2)由f(x)>0可得x2+2x+a>0,
所以a>-x2-2x.令g(x)=-x2-2x,
当x∈[1,+∞)时,g(x)有最大值g(1)=-3,
因此要使不等式f(x)>0恒成立,
a的取值范围是a>-3.
【方法技巧】分离法解决不等式恒成立问题
把要求范围的参数分离到不等式的一边,然后求出不等式另一边的最值(或取值范围),即可得到参数的取值范围.
20.【解析】(1)作出可行域如图,
可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,
过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1,最小值为-2.
(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,
解得-40),
由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,
所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].
(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,因为>1,所以f>f(1),
即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N*,且n>1恒成立,
lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.
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