2020高考数学三轮冲刺 专题 直线、圆的位置关系练习(含解析)

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文档介绍

2020高考数学三轮冲刺 专题 直线、圆的位置关系练习(含解析)

直线、圆的位置关系 一、选择题(本大题共12小题,共60分)‎ ‎1. 已知圆M:截直线所得线段的长度是,则圆M与圆N:的位置关系是 ‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎(正确答案)B 解:圆的标准方程为M:,‎ 则圆心为,半径,‎ 圆心到直线的距离,‎ 圆M:截直线所得线段的长度是,‎ ‎,‎ 即,即,,‎ 则圆心为,半径,‎ 圆N:的圆心为,半径,‎ 则,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 即两个圆相交.‎ 故选:B.‎ 根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值,结合两圆的位置关系进行判断即可.‎ 本题主要考查直线和圆相交的应用,以及两圆位置关系的判断,根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键.‎ ‎2. 已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为 ‎ 13‎ A. B. ‎1 C. 2 D. 4‎ ‎(正确答案)C 解:由,得,圆心坐标为,半径为3.‎ 如图:当过点的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,‎ 则最短弦长为.‎ 故选:C.‎ 化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,如何利用垂径定理求得答案.‎ 本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理的应用,是基础题.‎ ‎3. 直线l过点,被圆C:截得的弦长为,则直线l的方程是 ‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎(正确答案)D 解:圆C:的圆心坐标,半径为2,‎ 直线l过点,被圆C:截得的弦长为,‎ 圆心到所求直线的距离为:1,‎ 设所求直线为:即,‎ ‎,‎ 解得或,‎ 13‎ 所求直线方程为或.‎ 故选:D.‎ 求出圆的圆心与半径,利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,求出所求直线的斜率,然后求出直线方程.‎ 本题考查直线与圆的位置关系,弦心距与半径以及半弦长的关系,考查计算能力.‎ ‎4. 直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A 解:直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,‎ 令,得,令,得,‎ ‎,,,‎ 点P在圆上,设,‎ 点P到直线的距离:‎ ‎,‎ ‎,,‎ 面积的取值范围是:‎ ‎.‎ 故选:A.‎ 求出,,,设,点P到直线的距离:,由此能求出面积的取值范围.‎ 本题考查三角表面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ 13‎ ‎5. 一条光线从点射出,经y轴反射后与圆相交,则入射光线所在直线的斜率的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:如图所示,‎ 由题意可设入射光线PQ的方程为:,‎ 令,则,可得.‎ 反射光线QAB的方程为:.‎ 则,解得:.‎ 入射光线所在直线的斜率的取值范围为.‎ 故选:C.‎ 如图所示,由题意可设入射光线PQ的方程为:,可得反射光线QAB的方程为:利用直线与圆相交可得,解出即可得出.‎ 本题考查了入射光线与反射光线的性质、对称性、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎6. 直线l:为参数与圆C:为参数的位置关系是 ‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 ‎(正确答案)D 解:把圆的参数方程化为普通方程得:,‎ 圆心坐标为,半径,‎ 把直线的参数方程化为普通方程得:,‎ 13‎ 圆心到直线的距离,‎ 又圆心不在直线上,‎ 则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.‎ 故选:D.‎ 把圆的方程及直线的方程化为普通方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.‎ 本题考查了参数方程与普通方程的互化,及直线与圆的位置关系,其中直线与圆的位置关系为:为圆心到直线的距离,r为圆的半径,直线与圆相交;,直线与圆相切;,直线与圆相离,是基础题.‎ ‎7. 若直线与圆有两个不同的公共点,则实数m的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎(正确答案)D 解:圆化为,圆的圆心坐标,半径为 ‎ 直线与圆有两个不同的公共点,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D.‎ 利用圆心到直线的距离小于半径,建立不等式,即可确定实数m的取值范围.‎ 本题考查直线和圆的方程的应用,解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径,建立不等式,属于中档题.‎ ‎8. 设直线与圆相交于A,B两点,O为坐标原点,若为等边三角形,则实数a的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B 13‎ 解:由圆的方程得到圆心坐标为,半径,‎ 由为等边三角形,得圆心到直线的距离,‎ 解得:.‎ 故选B.‎ 由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r,利用为等边三角形,点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值.‎ 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,其中由为等边三角形,得圆心到直线的距离是解本题的关键.‎ ‎9. 已知直线l过圆的圆心,且与直线垂直,则l的方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)D 解:由题意可得所求直线l经过点,斜率为1,‎ 故l的方程是,即,‎ 故选:D.‎ 由题意可得所求直线l经过点,斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.‎ 本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题.‎ ‎10. 若直线截得圆的弦长为2,则的最小值为 ‎ A. 4 B. ‎12 C. 16 D. 6‎ ‎(正确答案)D 解:圆的半径为1,圆心 ‎ 直线截得圆的弦长为2,‎ 直线经过圆的圆心.‎ 可得:.‎ 13‎ 则.‎ 当且仅当,时取等号.‎ 故选:D.‎ 利用已知条件求出m,n的关系式,然后利用基本不等式求解最值即可.‎ 本题考查基本不等式的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎11. 已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数a的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B 解:圆即,‎ 故弦心距.‎ 再由弦长公式可得,,‎ 故选:B.‎ 把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得a的值.‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题.‎ ‎12. 若直线与圆相切,则a的值为 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎(正确答案)D 解:圆的圆心坐标为,半径为1,‎ 直线与圆相切,‎ 圆心到直线的距离,‎ 即,‎ 解得:.‎ 故选D.‎ 13‎ 由直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值 本题考查了直线与圆的位置关系,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13. 设直线与圆C:相交于A,B两点,若,则圆C的面积为______ .‎ ‎(正确答案)‎ 解:圆C:的圆心坐标为,半径为,‎ 直线与圆C:相交于A,B两点,且,‎ 圆心到直线的距离,‎ 即,‎ 解得:,‎ 故圆的半径.‎ 故圆的面积,‎ 故答案为: ‎ 圆C:的圆心坐标为,半径为,利用圆的弦长公式,求出a值,进而求出圆半径,可得圆的面积.‎ 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,点到直线的距离公式,难度中档.‎ ‎14. 已知直线l:与圆交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若,则 ______ .‎ ‎(正确答案)4‎ 解:由题意,,圆心到直线的距离,‎ ‎,‎ 13‎ ‎ ‎ 直线l的倾斜角为,‎ 过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,‎ ‎.‎ 故答案为:4.‎ 先求出m,可得直线l的倾斜角为,再利用三角函数求出即可.‎ 本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎15. 在上随机地取一个数k,则事件“直线与圆相交”发生的概率为______.‎ ‎(正确答案)‎ 解:圆的圆心为,半径为3.‎ 圆心到直线的距离为,‎ 要使直线与圆相交,则,解得.‎ 在区间上随机取一个数k,使直线与圆相交相交的概率为.‎ 故答案为:.‎ 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.‎ 本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎16. 直线被圆截得的弦长为,则直线的倾斜角为______.‎ ‎(正确答案)或 13‎ 解:圆的圆心,半径,‎ 圆心到直线的距离,‎ 直线被圆截得的弦长为,‎ ‎,‎ 解得,‎ 直线的倾斜角为或.‎ 故答案为:或.‎ 求出圆心到直线的距离,由直线被圆截得的弦长为,得,由此能求出直线的倾斜角.‎ 本题考查直线的倾斜角的求法,考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共30分)‎ ‎17. 以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为为参数.‎ 点P在曲线C上,Q在直线l上,若,求线段的最小值;‎ 设直线l与曲线C有两个不同的交点,求直线l的斜率k的范围.‎ ‎(正确答案)解:时,易知直线l的方程为,分 ‎ 曲线C:的普通方程为分 ‎ 13‎ 由题意知的最小值为圆心到直线的距离减去半径,‎ 所以分 ‎ 因为时,直线l与C没有交点,‎ 所以直线l可化为普通方程为,分 ‎ 令,即,‎ 当圆心到直线的距离等于半径时,即,‎ 解得,此时它们相切,分 ‎ 所以分 点P在曲线C上,Q在直线l上,若,利用的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即可求线段的最小值;‎ 设直线l与曲线C有两个不同的交点,当圆心到直线的距离等于半径时,即,即可求直线l的斜率k的范围.‎ 本题考查直线与圆的位置关系,考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎18. 已知直线l经过点,倾斜角,‎ 写出直线l的参数方程;‎ 设l与圆相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.‎ ‎(正确答案)解:直线的参数方程为,即分 ‎ 13‎ 把直线代入,‎ 得,,‎ 则点P到A,B两点的距离之积为2.‎ 利用公式和已知条件直线l经过点,倾斜角,写出其极坐标再化为一般参数方程;‎ 由题意将直线代入,从而求解.‎ 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必的热点问题.‎ ‎19. 在平面直角坐标系xOy中,已知点,,直线l与AB平行.‎ 求直线l的斜率;‎ 已知圆C:与直线l相交于M,N两点,且,求直线l的方程;‎ 在的圆C上是否存在点P,使得?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎(正确答案)解:点,,直线l与AB平行,‎ 直线l的斜率.‎ 圆C:,圆C的标准方程为:,圆心,半径为2,‎ 由知直线l的斜率,‎ 设直线l的方程为,‎ 则圆心C到直线l的距离,‎ ‎,‎ 13‎ 而,,‎ 解得或,‎ 故直线l的方程为或.‎ 假设圆C上存在点P,设,则,‎ ‎,‎ 整理,得,即,‎ ‎,‎ 圆与圆相交,‎ 点P的个数为2.‎ 由点,,直线l与AB平行,利用斜率公式和直线与直线平行的性质能求出直线l的斜率.‎ 圆C的标准方程为:,圆心,半径为2,设直线l的方程为,求出圆心C到直线l的距离,由,求出或,由此能求出直线l的方程.‎ 假设圆C上存在点P,设,则,由,得到,从而求出圆与圆相交,由此能求出点P的个数.‎ 本题考查直线的斜率、直线方程、满足条件的点的个数的求法,涉及到斜率、直线、圆、直线与直线平行、点到直线距离公式、圆与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.‎ 13‎
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