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文档介绍
高考试题文科数学分类汇编圆锥曲线
2012 年高考试题分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2012 高考新课标文 4】设 是椭圆 的左、右焦点， 为直 线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ） 【答案】C 2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） 【答案】C 3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 ： 的离心率为 2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方 程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 5.【2012 高考全国文 10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 6.【2012 高考浙江文 8】 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双 曲线的两顶点。若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 1 2F F 3 2 ax = 30 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P 12 PFF∆ E ( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C 3 4 ( )D 4 5 C x C xy 162 = ,A B 4 3AB = C ( )A 2 ( )B 2 2 ( )C 4 ( )D 8 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 1C 2C 2 8 3 3x y= 2 16 3 3x y= 2 8x y= 2 16x y= 4 4x = − 2 2 116 12 x y+ = 2 2 112 8 x y+ = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 112 4 x y+ = 1F 2F 2 2: 2C x y− = P C 1 2| | 2 | |PF PF= 1 2cos F PF∠ = 1 4 3 5 3 4 4 5 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 8.【2012 高考四川文 11】方程 中的 ，且 互不相同， 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28 条 B、32 条 C、36 条 D、48 条 【答案】B 9.【2012 高考上海文 16】对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭 圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充 分也不必要条件 【答案】B. 表示的是椭圆”的必要不充分条件。 10.【2012 高考江西文 8】椭圆 的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦 点分别是 F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程为 3 2 x O 0(2, )M y M 3 | |OM = 2 2 2 3 4 2 5 2 2ay b x c= + , , { 2,0,1,2,3}a b c∈ − , ,a b c m n 0mn > 2 2 1mx ny+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 4 5 5 1 2 5-2 2 2 x a 2 2 y b A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1[w~#ww.zz&st^ep.com@] 【答案】A 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线 - =1 的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等 于 A B C D 【答案】C. 【解析】根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ， 因此 .故选 C. 二 、填空题 13.【2012 高考四川文 15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是______。 【答案】 ， 14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上 一点，若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 15.【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心 率为 ，则 的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米. 2 2 x a 2 5 y 3 14 14 3 2 4 3 2 4 3 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y )0,3( 3=c 952 =+a 2=a 2 3=e 2 2 2 1(5 x y aa + = 5)a > F x m= A B FAB∆ 3 2 − 2 3 xOy 2 2 2 14 x y m m − =+ 5 m l 【答案】 . 17.【2012 高考重庆文 14】设 为直线 与双曲线 左支的 交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率 【答案】 18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。 【答案】 19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 与 双 曲 线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ,则 【答案】1，2 三、解答题 20.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 （a>b>0）,点 P（ , ）在椭圆上。 （I）求椭圆的离心率。 （II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的 斜率的值。 62 P 3 by xa = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 1PF x e = 4 23 2 4y x= F ,A B | | 3AF = | |BF 3 2 )0,0(1: 2 2 2 2 1 >>=− bab y a xC 1164: 22 2 =− yxC 1C ( 5,0)F a = b = OQ 21.【2012 高考江苏 19】（16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆 的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于 点 P． （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值． 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ， ∴ 。 xoy 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， (1 )e， 3 2e ， e ,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 1 2 6 2AF BF− = 1AF 1 2PF PF+ 2 2 2= = ca b c e a + ， (1 )e， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b a b a a b + = ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇒ 2 2= 1c a − 由点 在椭圆上，得 ∴椭圆的方程为 。 （2）由（1）得 ， ，又∵ ∥ ， ∴ 设 、 的 方 程 分 别 为 ， 。 ∴ 。 ∴ 。① 同理， 。② （i）由①②得， 。解 得 =2。 ∵注意到 ，∴ 。 ∴直线 的斜率为 。 （ ii ） 证 明 ： ∵ ∥ ， ∴ ， 即 。 ∴ 。 3 2e ， 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 3 3 2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4 e c a a a a a b a a − + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − + ⇒ 2 2 12 x y+ = 1( 1 0)F − ， 2 (1 0)F ， 1AF 2BF 1AF 2BF = 1 = 1my x my x+ −， ( ) ( )1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， ( ) 2 221 2 21 1 1 1 2 1 1 2 21 2 2 1=0 =2 2= 1 x m my m y my y mmy x + ++ = ⇒ + − − ⇒ + + ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2 m m mm mAF x y my y m m m + + ++ ++ + − + + ⋅ =+ + ( )2 2 2 2 2 1 1 = 2 m m m BF m + − + + 2 1 2 2 2 1 2 m mAF BF m +− = + 2 2 2 1 6=2 2 m m m + + 2m 0m > = 2m 1AF 1 2= 2m 1AF 2BF 2 1 1 BFPB PF AF = 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1BF PB PF BF AFPB PF AF PF AF + ++ = + ⇒ = 1 1 1 1 2 = AFPF BFAF BF+ 由点 在椭圆上知， ，∴ 。 同理。 。 ∴ 由①②得， ， ， ∴ 。 ∴ 是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。 22.【2012 高考安徽文 20】（本小题满分 13 分） 如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ） 的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的 另一个交点， =60°. （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）已知△ 的面积为 40 ，求 a, b 的值. 【解析】 B 1 2 2 2BF BF+ = ( )1 1 2 1 2 = 2 2AFPF BFAF BF −+ ( )2 2 1 1 2 = 2 2BFPF AFAF BF −+ ( ) ( )1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF − + − = −+ + + ( )2 1 2 2 2 1 = 2 m AF BF m + + + 2 2 1= 2 mAF BF m + + 1 2 2 3+ =2 2 = 22 2PF PF − 1 2PF PF+ (1 )e， 3 2e ， 1 2 6 2AF BF− = 21, FF C 2 2 a x 2 2 b y 0>> ba A C B 2AF C 1F∠ A 2F C A BF1 3 23.【2012 高考广东文 20】（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程. 【答案】 【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ， 点 代入椭圆 ，得 ，即 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， xOy 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1( 1,0)F − (0,1)P 1C 1C l 1C 2C 2 4y x= l 1C 1( 1,0)F − 1c = (0,1)P 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1 1b = 1b = 2 2 2 2a b c= + = 1C 2 2 12 x y+ = l l y kx m= + ，消去 并整理得 ， 因为直线 与椭圆 相切，所以 ， 整理得 ① ，消去 并整理得 。 因为直线 与抛物线 相切，所以 ， 整理得 ② 综合①②，解得 或 。 所以直线 的方程为 或 。 24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为 A （2,0），离心率为 ， 直线 y=k(x-1) 与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为 时，求 k 的值 【答案】 2 2 x a 2 2 y b 2 2 10 3 2 2 12 x y y kx m + = = + y 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = l 1C 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m∆ = − + − = 2 22 1 0k m− + = 2 4y x y kx m = = + y 2 2 2(2 4) 0k x km x m+ − + = l 2C 2 2 2(2 4) 4 0km k m∆ = − − = 1km = 2 2 2 k m = = 2 2 2 k m = − = − l 2 22y x= + 2 22y x= − − 25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩 形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程； (Ⅱ) 设直线 与椭圆 M 有两个不同的交点 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时 m 的值. 【答案】(21)(I) ……① 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 3 2 x a= ± y b= ± : ( )l y x m m= + ∈R , ,P Q l ,S T | | | | PQ ST 2 2 2 3 3 2 4 c a be a a −= = ⇒ = 矩形 ABCD 面积为 8，即 ……② 由①②解得： ， ∴椭圆 M 的标准方程是 . (II) ， 设 ，则 ， 由 得 . . 当 过 点时， ，当 过 点时， . ①当 时，有 ， ， 其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 . ②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 . ③当 时， ， ， 由此知，当 时， 取得最大值 . 综上可知，当 和 0 时， 取得最大值 . 26.【2102 高考福建文 21】（本小题满分 12 分） 如图，等边三角形 OAB 的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线 E：x2=2py（p＞0）上。 （1） 求抛物线 E 的方程； 8 3 2 2 8a b⋅ = 2, 1a b= = 2 2 14 x y+ = 2 2 2 24 4, 5 8 4 4 0 , x y x mx m y x m + = ⇒ + + − = = + 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 1 2 1 2 8 4 4,5 5 mx x m x x −+ = − = 2 264 20(4 4) 0m m∆ = − − > 5 5m− < < 2 2 28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5 mPQ m m − = − − = − l A 1m = l C 1m = − 5 1m− < < − ( 1, 1), (2,2 ),| | 2(3 )S m T m ST m− − − + = + 2 2 2 | | 4 5 4 4 6 1| | 5 (3 ) 5 PQ m ST m t t −= = − + −+ 3t m= + 1 3 4t = 4 5, ( 5, 1)3 3t m= = − ∈ − − | | | | PQ ST 2 55 1 5m< < 5 3m = | | | | PQ ST 2 55 1 1m− ≤ ≤ | | 2 2ST = 2| | 2 5| | 5 PQ mST = − 0m = | | | | PQ ST 2 55 5 3m = ± | | | | PQ ST 2 55 （2） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点。 【答案】 27.【2012 高考上海文 22】（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 （1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标； （2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求 证： ⊥ 【 答 案 】 xOy 2 2: 2 1C x y− = F C M C 2 2MF = M C C k 2k < l C P Q l 2 2 1x y+ = OP OQ 28．【2012 高考新课标文 20】（本小题满分 12 分） 设抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径 的圆 F 交 l 于 B，D 两点. （I）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； （II）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求 坐标原点到 m，n 距离的比值. 【答案】 29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1，错误！ 不能通过编辑域代码创建对象。）到抛物线 C： =2px（P＞0）的准线的距离为错误！不能 通过编辑域代码创建对象。。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分。 （1）求 p,t 的值。 （2）求△ABP 面积的最大值。 【答案】 2y 【解析】 （1）由题意得 ，得 . （2）设 ，线段 AB 的中点坐标为 由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k ）. 由 ，得 ，得 所以直线的方程为 ，即 . 由 ，整理得 ， 所以 ， ， .从而得 ， 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 ，设 ABP 的面积为 S，则 . 由 ，得 . 令 ， ，则 . 设 ， ，则 . 由 ，得 ，所以 ，故 ABP 的面积的最大值为 . 30.【2012 高考湖南文 21】（本小题满分 13 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C： x2+y2-4x+2=0 的圆心.[中国教育出%版网^@*&] （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； 2 1 51 2 4 pt p = + = 1 2 1 p t = = ( )1 1 2 2( , ), ,A x y B x y ( , )Q m m 0≠ 2 1 1 2 2 2 2px 2px y y = = 2 1 1 2 2 1( )( ) ( )y y y y k x x− + = − 2 1k m⋅ = 1 ( )2y m x mm − = − 22 2 0x my m m− + − = 2 2 2 2 0x my m m y x − + − = = 2 22 2 0y my m m− + − = 24 4m m= − 1 2 2y y m+ = 2 1 2 2y y m m= − 2 2 1 22 11 1 4 4 4AB y y m m mk = + − = + − 2 2 1 2 2 1 4 m m d m − + = + ∆ 2 21 1 2( )2S AB d m m m m= ⋅ = − − ⋅ − 24 4 0m m∆ = − > 0 1m< < 2t m m= − 10 2t< < 2(1 2 )S t t= − 2(1 2 )S t t= − 10 2t< ≤ 21 6S t′ = − 21 6 0S t′ = − = 6 10,6 2t = ∈ max 6 9S = ∆ 6 9 1 2 （Ⅱ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1，l2.当直线 l1，l2 都与圆 C 相切时，求 P 的坐标. 【答案】 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为 其焦距为 ，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为： （ Ⅱ ） 设 点 的 坐 标 为 ， 的 斜 分 率 分 别 为 则 的 方 程 分 别 为 且 由 与圆 相 切，得 ， 即 同理可得 . 从而 是方程 的两个实根，于是 ① 且 由 得 解得 或 由 得 由 得 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ，或 ，或 ，或 . 1 2 2 2 4 2 0x y x+ − + = 2 2( 2) 2x y− + = (2,0), 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > 2c 2 2 212, , 2 4, 12.2 cc e a c b a ca = = = ∴ = = = − = 2 2 1.16 12 x y+ = p 0 0( , )x y 1 2,l l 1 2, .k k 1 2,l l 1 0 1 0 2 0 2 0: ( ), : ( ),l y y k x x l y y k x x− = − − = − 1 2 1 .2k k = 1l 2 2:( 2) 2c x y− + = 1 0 1 0 2 1 2 2 1 k y k x k + − = + 2 2 2 0 1 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0.x k x y k y − − + − + − = 2 2 2 0 2 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − = 1 2,k k 0 2 2 0 0 0 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − = 2 0 2 2 0 0 (2 ) 2 0, 8 (2 ) 2 0, x x y − − ≠ ∆ = − + − > 2 0 1 2 2 2 2 2.(2 ) 2 yk k x −= =− − 2 2 0 0 2 0 2 0 1,16 12 2 1 (2 ) 2 2 x y y x + = − = − − 2 0 05 8 36 0.x x− − = 0 2,x = 0 10.5x = 0 2x = − 0 3;y = ± 0 18 5x = 0 57 ,5y = ± ( 2,3)− ( 2, 3)− − 18 57( , )5 5 18 57( , )5 5 − 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆 E 的 方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐标的 一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】（本小题满分 14 分） 设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交点， 点 M 在直线 l 上，且满足 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹 为曲线 C。 （1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。 （2）过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的 射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m,使得对任意的 K>0，都有 PQ⊥PH？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】 , ,c a b 1 2 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论， 不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求 解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012 高考全国文 22】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 与圆 有一个公共点 ， 且在点 处两曲线的切线为同一直线 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的 距离。 【答案】 2: ( 1)C y x= + 2 2 21:( 1) ( ) ( 0)2M x y r r− + − = > A A l r m n l C M m n D D l 33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图，动圆 ,1查看更多