高考数学 有关切线问题综述论文
高考中有关切线问题综述
切线作为一条特殊直线，一方面和解析几何中的直线方程联系，另一方面又和导数密切相关，同时又有直线与曲线的位置关系的问题.所以切线问题多年来一直是命题者比较亲睐的一个知识点。本文拟就这方面的问题作一探讨，和大家共享.
1求切线方程
1、已知函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；
(2)设，其中，求F(x)的单调区间．
解：(1)∵过点∴a=-8,
∴切线的斜率
∵的图像过点∴4b+2c=0,
∵,解得：b=8,c=-16
∴
切线方程为．即16x-y-32=0
(2) ∵
当m<0时，∵m<0 ∴
又x>1 当时 当时
∴F(x)的单调减区间是
∴F(x)的单调增区间是(1，)
即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，)
2、已知函数的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．
解: 解（Ⅰ）由已知得，
由，得，．∵，，
∴ 当时，，递增；
当时，，递减．
∴ 在区间上的最大值为，∴．
又，，∴ ．
，即，得．
故，为所求．
（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．
⑴ 当切点为时，切线的斜率，
∴ 的方程为，即．
⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，
∴ 的方程为 ．
又点在上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为.
故所求切线的方程为或．
（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为
，恰好经过点，符合题意．）
（Ⅲ）解： ．
∴
．
二次函数的判别式为
，
令，得：
令，得
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；…14分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．
3、已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（1），求直线、的方程。
(2)设，试求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．
解：（1）设切点横坐标为， ，
切线的方程为：，又切线过点，
有，即， 解得
切线、的方程为：
（2）设、两点的横坐标分别为、，
， 切线的方程为：，
切线过点， 有，
即，………① 同理，由切线也过点，
得．………②，由①、②，可得是方程的两根，
，把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（3）解法：易知在区间上为增函数，
，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，
即对一切的正整数恒成立，．
， ，
．由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件。
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为，
当时，与解法相同分析，得，
解得． 后面解题步骤与解法相同（略）．
2探究切线是否存在
5、已知．
（1）若
（2）当b为非零实数时，证明（-c）平行的切线；
（3）记函数||（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥．
解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c,
由f（x）在x=1时，有极值-1得
即解得
当b=1，c=-5时，f′（x）=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1）,
当x>1时，f′（x）>0，当-
1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,
∴M>6，
从而M≥．
②当-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）2|>3,
∴M≥．
③当03,
∴M≥．
综上所述，M≥．
证法二：f′（x）=3x2+2bx+c的顶点坐标是（-，），
①若|-|>1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个，
∴2M≥| f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12②
∴M>6，
从而M≥．
②若|-|≤1，则M|f′（-1）|、|f′（1）|、||中最大的一个．
（i）当c≤-时，2M≥|f′（1）|+ |f′（-1）|≥|f′（1）+ f′（-1）|=|6+2x|≥3,
M≥．
（ii）当c<-时，M≥||=-c≥-c>，
综上所述，M≥成立．
证法三：∵M是|f′（x）|,x∈[-1,1]的最大值，
∴M≥|f′（0）|,M≥|f′（1）|，M≥|f′（-1）|．
∴4M≥2|f′（0）|+|f′（1）|+|f′（-1）|≥|f′（1）+f′（-1）-2f′（0）|=6,
即M≥．
6、已知是定义在R上的函数，它在和上有相同的单调性，在和上有相反的单调性.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在点，使得在点的切线斜率为？若存在，求出点的坐标，若不存在，则说明理由；
（Ⅲ）设的图象交轴于三点，且的坐标为,求线段的长度的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意可知在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以是的一个极值点.
故，即是的一个解，所以.
（Ⅱ）因为在 和上有相反的单调性，所以在上必有一根.又，易知方程一根为，另一根为，所以
，∴
假设存在点，使得在点的切线斜率为，则，即有解.而=，因为，所以，与有解矛盾。故不存在点，使得在点的切线斜率为.
（Ⅲ）依题意有，又，所以，
所以=
==，
两点的横坐标就是方程
的两根，所以
===，
因为，所以当时，；当时，=.
所以的取值范围是.
3由切线位子确定待定参数
7、设函数(其中)的图象在处的切线与直线y=－5x+12平行.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求函数在区间[0,1]的最小值；
(Ⅲ)若,, ,且,
试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:.
解：(Ⅰ)因为,
所以
解得m=－1或m=－7(舍),即m=－1
(Ⅱ)由,解得 列表如下:
x
0
(0,)
(,1)
1
－
＋
f(x)
2
↘
↗
2
……(7分)
所以函数在区间[0,1]的最小值为
(Ⅲ)因为 由(Ⅱ)知,当x∈[0,1]时, ,所以,
所以
当,,,且时, ,,,
所以
(14分)
又因为,
所以 故(当且仅当时取等号)
8、已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求的最大值。
解（1）设与在公共点处的切线相同
由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
（2）设与在公共点处的切线相同
由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
令，则，于是
当，即时，；
当，即时，
故在的最大值为，故的最大值为
4由切线位子确定参数的取值范围
9、已知、b为函数的极值点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)判断函数上的单调性，并证明你的结论；
(Ⅲ)若曲线处的切线斜率为－4，且方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.
解(Ⅰ) 依题设方程的两根分别
为 , 由题意可知： 即
则
即
(Ⅱ)由(Ⅰ)：
(Ⅲ)由，
的变化情况如下：
(－∞,－3)
－3
－1
（－1，0）
0
—
0
+
+
0
—
极小值
极大值
－1
5由切线求解切线斜率及其他参数的取值范围
10、已知函数，在处取得极值为2。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若P（x0，y0）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.
解：（Ⅰ）已知函数，
又函数在处取得极值2，
即
（Ⅱ）由，得，即
所以的单调增区间为（－1，1）
因函数在（m，2m＋1）上单调递增，
则有，
解得即时，函数在（m，2m＋1）上为增函数 …８分
（Ⅲ）
直线l的斜率…………９分
即 令
则
即直线l的斜率k的取值范围是.
11、已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x.
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1
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