2013备考高考数学模拟题2

2013备考高考数学模拟题2

开始 T=1, n =1 T=T×n n ≥ a ？ >9 ？ >100 ? 输出 T n=n+1 结束 是 否 1. 设复数 ，若 为纯虚数，则实数 A． B． C． D． 2. 设 都是非零向量，若函数 ( R)是偶函数，则必有 A． B．a∥b C． D． 3. 是直线 和直线 平行的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 设函数 ，集合 ， 则右图中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 5. 把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个 单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A． B． C． D． 6. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ， ，则下列命题中的假命题是 A．若 ∥ ，则 ∥ B．若 ，则 C．若 相交，则 相交 D．若 相交，则 相交 7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 ， 其中 ，若 ，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀” 的概率为 A． B． C． D． 8．已知函数 ，且 ，则 A．0　　 B． 　 C．100　　 D．10200 9．某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从 该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其他教师中共抽取了 16 人，则该校共有教师 人． 10．圆柱形容器的内壁底半径是 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中， 若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为 . 11．右图所示的算法流程图中，若 ，则输出的 值为 ； 若输出的 ，则 的值为 . 12．已知 是 上的奇函数， ，且对任意 都有 成立，则 ； . 13．（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）若直线 与曲线 （ 为参数）没有公共 点，则实数 的取值范围是____________. 14．（不等式选讲选做题）设关于 的不等式 ( R). 若 ，则不等式的解集为 ；若不等式的解集为 ，则 的取值范围是 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆 与圆 交于 两点， 1 21 , 2z i z bi= + = + 1 2 z z b = 2− 2 1− 1 ，a b ( ) ( ) ( )f x x x= + −a b a b x∈ ⊥a b | | | |=a b | | | |≠a b 3a = 2 3 0ax y a+ + = 3 ( 1) 7x a y a+ − = − 2( ) 2 15f x x x= − − + { } { }( ) , ( )A x y f x B y y f x= = = = [0,3] (0,3) ( 5,0] [3,4)−  [ 5,0) (3,4]−  )6sin( π+= xy 2 1 3 π 2 π−=x 4 π−=x 8 π=x 4 π=x ,a b ,α β a α⊥ b β⊥ a b α β α β⊥ a b⊥ ,a b ,α β ,α β ,a b a b { }, 1,2,3,4,5,6a b∈ 1a b− ≤ 1 9 2 9 7 18 4 9 2( ) cos( )f n n nπ= ( ) ( 1)na f n f n= + + 1 2 3 100a a a a+ + + + = 100− 10 5 3 2cm 3a = T 120T = a *( )a∈N ( )f x R 2)1( =f x∈R ( 6) ( ) (3)f x f x f+ = + (3)f = =)2009(f 3 4 0x y m+ + =    +−= += θ θ sin2 cos1 y x θ m x 1x x a+ − < a∈ 2a = ∅ a M N A B、 BA A BC D M  NE F 以 为切点作两圆的切线分别交圆 和圆 于 两点， 延长 交圆于点 ，延长 交圆 EMBED Equation.DSMT4 于点 ， 已知 ， ，则 ； . 16．设向量 ， ， ，函数 . (1) 求函数 的最大值与单调递增区间； (2) 求使不等式 成立的 的取值集合. 17．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所 示： 版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1) 从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； (2) 若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随机 变量 的分布列和数学期望. 18．四棱锥 中， 底面 ，且 ， ， . (1) 在侧棱 上是否存在一点 ，使 平面 ？证明你的结论； (2) 求证：平面 平面 ； (3) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19． 已知函数 （ 为常数， 且 ），且数列 是首项为 4，公差为 2 的等差 数列. (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 若 ，当 时，求数列 的前 项和 ； (3) 若 ，问是否存在实数 ，使得 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 的 范围；若不存在，说明理由. 20．如图，设 是椭圆 的左焦点，直线 为对应的准线，直线 与 轴交于 点， 为椭圆的长轴，已知 ，且 ． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 求证：对于任意的割线 ，恒有 ； (3) 求三角形△ABF 面积的最大值． 21．(1) 设函数 . (1) 求函数 的最小值； (2) 设 ，讨论函数 的单调性； (3) 斜率为 的直线与曲线 交于 、 两点，求证： . 1. A.【解析】 为纯虚数，得 ，即 . 【链接高考】本小题考查复数的概念和复数的基本运算，难度不大，属于送分题. N A M N C D、 DB E CB F 5BC = 10BD = AB = CF DE = (sin ,cos )x x=a (sin , 3sin )x x=b x∈R ( ) ( 2 )f x = +a a b ( )f x ( ) 2f x′ ≥ x ξ ξ P ABCD− PA ⊥ ABCD 1 2PA AB AD CD= = = //AB CD 90ADC∠ = ° PC Q //BQ PAD PBC ⊥ PCD PAD PBC ( ) logkf x x= k 0k > 1k ≠ { }( )nf a { }na ( )n n nb a f a= ⋅ 2k = { }nb n nS lgn n nc a a= k { }nc k F 2 2 2 2 1, ( 0)x y a ba b + = > > l l x P MN 8MN = | | 2 | |PM MF= PAB AFM BFN∠ = ∠ ( ) lnf x x x= ( 0)x > ( )f x 2( ) ( )F x ax f x′= + ( )a∈R ( )F x k ( )y f x′= 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2( )x x< 1 2 1x xk < < 1 2 2 2 1 (1 )(2 ) (2 ) (2 ) 2 4 4 z i i bi b b i z bi b b + + − + + −= = =+ + + 2 0b+ = 2b = − A P B CD Q F A B P O x y M N l 2. C.【解析】 为偶函数，得 恒成立， 故 ，即 ，故 . 【链接高考】本小题考查偶函数的定义和向量的基本运算，体现了在知识网络的交汇处命题的指导思想，属于小 综合的基础题. 3．C.【解析】当 时，直线 和直线 平行；反之，若两直线平行，则它们 的斜率相等，得 ，解得： 或 . 但检验知，当 时，直线 和直线 重合. 故 是这两直线平行的充要条件. 【链接高考】本小题考查解析几何中两直线平行关系的判定和充要条件的概念，考生容易错选 A，忽略了斜率相 等时两直线除平行以外还可能重合，这提醒我们在解决这类问题时考虑要细致，要注意检验！ 4．D.【解析】由 即 ，得 ，故 . 由 ，得 . 从而 ， . 阴影部分表示由在 内且不在 内的元素构成的集合，故答案选 D. 【链接高考】本小题考查集合的概念、函数的定义域和值域等知识，并通过韦恩图“隐性”考查集合的交、并、 补等基本运算，题目设置巧妙，令人耳目一新. 审题时，要注意集合 和 是不同的，分别表示函数 的定义域和 值域. 5．A.【解析】 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ；再 将图象向右平移 个单位，得函数 ， 是其图象的一条对称轴方程. 【链接高考】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质. 图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视. 一般地， 的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值. 6．D.【解析】若 相交，则 可能相交，也可能异面，故 D 为假命题. 【链接高考】本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定 理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍. 选项 A、B 易 证是真命题，选项 C 可用反证法证之. 7．D.【解析】任意找两人玩这个游戏，共有 中猜字结果，其中满足 的有如下情形： ① 若 ，则 ；② 若 ，则 ；③ 若 ，则 ；④ 若 ，则 ； ⑤ 若 ，则 ；⑥ 若 ，则 ，总共 16 种，故他们“心有灵犀”的概率为 . 【链接高考】本小题是古典概型问题，属于高考新增内容，解题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各 种情形. 8．B.【解析】 ， 由 ，得 . 【链接高考】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能 力. 9. 52.【解析】设该校其他教师有 人，则 ，故全校教师共有 人. 【链接高考】统计是高考的新增内容,要求不高,但概念要清晰. 10. .【解析】设实心铁球的半径为 ，则 ，得 ，故这个铁球的表面 积为 . 【链接高考】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实 际问题的能力. 11. ； .【解析】若 ，则输出的 ，若输出的 ，则 ， 故 的值为 6 . 【链接高考】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的广东高考都考查到了，这启示我们要给予高度重 视. 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x= + − = − + − +  a b a b a b a b a b ( ) ( )f x f x− = 2 2 0− =a b 2 2=a b | | | |=a b 3a = 3 2 9 0x y+ + = 3 2 4x y+ = − 3 2 1 a a − = − − 3a = 2a = − 2a = − 2 2 6 0x y− + − = 3 3 9x y− = − 3a = 2 2 15 0x x− − + ≥ 2 2 15 0x x+ − ≤ 5 3x− ≤ ≤ [ 5,3]A = − 2 2( ) 2 15 ( 1) 16 [0,4]f x x x x= − − + = − + + ∈ [0,4]B = [ 5,4]A B = − [0,3]A B = A B A B A B ( )f x )6sin( π+= xy 2 1 sin(2 )6y x π= + 3 π sin[2( ) ] sin(2 )3 6 2y x x π π π= − + = − 2 π−=x sin( )y A xω ϕ= + ,α β ,a b 6 6 36× = 1a b− ≤ 1a = 1,2b = 2a = 1,2,3b = 3a = 2,3,4b = 4a = 3,4,5b = 5a = 4,5,6b = 6a = 5,6b = 16 4 36 9P = = 2 2 2 2 (( ) cos( ) ( 1) ( ) nn nf n n n n n n π −= = = − ⋅  为奇数） 为偶数 2 1 2 2 2 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) [ ( 1) ] ( 1) (2 1)n n n n na f n f n n n n n n+ += + + = − ⋅ + − ⋅ + = − − + = − ⋅ + 1 2 3 100 3 ( 5) 7 ( 9) 199 ( 201) 50 ( 2) 100a a a a+ + + + = + − + + − + + + − = × − = −  x 16 , 5226 104 56 x xx = ∴ =+ + 26 104 52 182+ + = 100π R 3 24 5103 3Rπ π= × × 5R = 24 100S Rπ π= = 2cm 2 6 3a = 1 2 2T = × = 120 1 2 3 4 5T = = × × × × 5 1 6n = + = a 12. ； .【解析】 在 中，令 ，得 ，即 ， 又 是 上的奇函数，故 ，故 ，知 是周期为 6 的周期函数，从而 . 【链接高考】本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函 数的周期性，再利用周期性求函数值.“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法. 13. 或 . 【解析】曲线 （ 为参数）的普通方程是 圆心 到直线 的距离 ，令 ，得 或 . 【链接高考】本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆位置关系的有关知识,以及转化与化归的思想方法. 14. ； .【解析】 时，不等式 化为 或 或 ，解得 或 或 ，即 ，故不等式的解集为 ； 因为 ，所以若不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 . 【链接高考】本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质. 这类问题是高考选做题中 的常规题，解题方法要熟练掌握. 15. ； . 【 解 析 】 根 据 弦 切 角 定 理 ， 知 ， ， 故 Δ ∽ Δ ， 则 ，故 . 根据切割线定理，知 ， ，两式相除，得 （*）. 由Δ ∽Δ ，得 ， ，又 ，由（*）得 . 【链接高考】 本小题主要考查圆的切线及有关知识，如弦切角定理和切割线定理，以及分析问题与解决问题的能 力、转化与化归的思想方法. 16. 解：(1) 2 分 . ∴当 时， 取得最大值 . 6 分 由 ，得 ， ∴ 的单调递增区间为 . 8 分 (2) 由 ，得 . 9 分 由 ，得 ，则 ， 11 分 即 . ∴使不等式 成立的 的取值集合为 . 12 分 【链接高考】向量、导数都是数学解题的重要工具，同时又是新旧知识的一个重要的交汇点. 解决本题的关键是， 利用两个向量数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数问题来处理，其中三角降幂公式和合一变换公式是三角变换 0 2− ( 6) ( ) (3)f x f x f+ = + 3x = − (3) ( 3) (3)f f f= − + ( 3) 0f − = ( )f x R (3) 0f = ( 6) ( )f x f x+ = ( )f x 2)1()1()5()53346()2009( −=−=−==+×= fffff 10m > 0m <    +−= += θ θ sin2 cos1 y x θ 2 2( 1) ( 2) 1x y− + + = ( )1, 2− 3 4 0x y m+ + = 2 2 3 1 4( 2) 5 53 4 m md ⋅ + − + −= = + 5 15 m − > 10m > 0m < 1 3( , )2 2 − ( ,1]−∞ 2a = 1 2x x+ − < 0 1 2 x x x ≤ − + − < 0 1 1 2 x x x < <  + − < 1 1 2 x x x ≥  + − < 1 02 x− < ≤ 0 1x< < 31 2x≤ < 1 3 2 2x− < < 1 3( , )2 2 − 1 ( 1) 1x x x x+ − ≥ − − = 1x x a+ − < ∅ a 1a ≤ 5 2 1 BAC BDA∠ = ∠ ACB DAB∠ = ∠ ABC DBA AB BC DB BA = 2 50, 5 2AB BC BD AB= ⋅ = = 2CA CB CF= ⋅ 2DA DB DE= ⋅ 2 2 CA CB CF DA DB DE = ⋅ ABC DBA 5 2 2 10 2 AC AB DA DB = = = 2 2 1 2 CA DA = 5 1 10 2 CB DB = = 1CF DE = 2( ) ( 2 ) 2f x = + = + a a b a a b 2 2 2sin cos 2(sin 3sin cos )x x x x x= + + + 3 11 1 cos2 3sin 2 2 2(sin 2 cos2 )2 2x x x x= + − + = + ⋅ − ⋅ 2 2(sin 2 cos cos2 sin ) 2 2sin(2 )6 6 6x x x π π π= + − = + − sin(2 ) 16x π− = ( )f x 4 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 6 3k x k π ππ π− ≤ ≤ + ( )k ∈Z ( )f x [ , ]6 3k k π ππ π− + ( )k ∈Z ( ) 2 2sin(2 )6f x x π= + − ( ) 4cos(2 )6f x x π′ = − ( ) 2f x′ ≥ 1cos(2 )6 2x π− ≥ 2 2 23 6 3k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 12 4k x k π ππ π− ≤ ≤ + ( )k ∈Z ( ) 2f x′ ≥ x ,12 4x k x k k π ππ π − ≤ ≤ + ∈   Z 中最常用的公式，一定要熟练记忆. 另外对 求导要注意是复合函数求导. 17. 解：(1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 ， 1 分 选出 2 人使用版本相同的方法数为 ， 3 分 故 2 人使用版本相同的概率为 . (2) 的所有可能取值为 0，1，2. 6 分 ， 7 分 ， 8 分 . 9 分 ∴ 的分布列为 10 分 ∴ . 12 分 【链接高考】概率统计的综合题，一般考察概率与期望的计算，在高考中占有极其重要的地位，几乎每年高考都有 一道大题，大都属于比较基础的中档题，因此是历年高考的“兵家必争之地”. 18. (1) 解：当 为侧棱 中点时，有 平面 . 证明如下：如图，取 的中点 ，连 、 . 为 中点，则 为 的中位线， ∴ 且 . 且 ，∴ 且 ， ∴四边形 为平行四边形，则 . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . (2) 证：∵ 底面 ，∴ . ∵ ， ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴ . ∵ ， 为 中点，∴ . ∵ ，∴ 平面 . ∵ ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴平面 平面 . 9 分 (3) 解法一：设平面 平面 . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ . ∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ . 故 就是平面 与平面 所成锐二面角的平面角. 12 分 ∵ 平面 ，∴ . 设 ，则 ， ，故 . 0 1 2 P ( )f x 2 50 1225C = 2 2 2 2 20 15 5 10 350C C C C+ + + = 350 2 1225 7P = = ξ 17 3 C C)0( 2 35 2 15 ===ξP 1 1 20 15 2 35 C 60( 1) C 119 CP ξ = = = 119 38 C C)2( 2 35 2 20 ===ξP ξ 3 60 38 136 80 1 217 119 119 119 7Eξ = × + × + × = = Q PC //BQ PAD PD E AE EQ  Q PC EQ PCD∆ //EQ CD 1 2EQ CD= //AB CD 1 2AB CD= //EQ AB EQ AB= ABQE //BQ AE BQ ⊄ PAD AE ⊂ PAD //BQ PAD PA ⊥ ABCD PA CD⊥ AD CD⊥ PA AD A= CD ⊥ PAD AE ⊂ PAD CD AE⊥ PA AD= E PD AE PD⊥ CD PD D= AE ⊥ PCD //BQ AE BQ ⊥ PCD BQ ⊂ PBC PBC ⊥ PCD PAD  PBC l= //BQ PAD BQ ⊂ PBC //BQ l BQ ⊥ PCD l ⊥ PCD ,l PD l PC⊥ ⊥ DPC∠ PAD PBC CD ⊥ PAD CD PD⊥ 1 2PA AB AD CD a= = = = 2 2 2PD PA AD a= + = 2 2 6PC CD PD a= + = 3cos 3 PDDPC PC ∠ = = ξ 17 3 119 60 119 38 A P B CD QE l x z y ∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 1 解法二：如图建立直角坐标系，设 ，则 , ，则 ， . 设平面 的法向量为 ，则 由 ，取 . 11 分 由 平面 ， ，知 平面 ， ∴平面 的法向量为 . 12 分 设所求锐二面角的大小为 ，则 . ∴所求锐二面角的的余弦值为 . 1 【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，还有二面角的计算. 高考 立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力.空间角的计算一般有传统 法和坐标向量法两种基本方法，前者着重思维，后者重在向量的坐标运算，各有优点，解题时既要具体问题具体分析， 又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定. 19. (1) 证：由题意 ，即 ， 1 分 ∴ ，∴ . 2 分 ∵常数 且 ，∴ 为非零常数， ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 3 分 (2) 解：由(1)知， ， 当 时， . ∴ ， ① . ② ②－①，得 ∴ . 8 分 (3) 解：由(1)知， ，要使 对一切 成立， 即 对一切 成立. 9 分 ① 当 时， ， 对一切 恒成立； 10 分 ② 当 时， ， 对一切 恒成立，只需 ， 11 分 ∵ 单调递增，∴当 时， . 12 分 ∴ ，且 ， ∴ . 13 分 综上所述，存在实数 满足条件. 1 【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法. 错位相减 法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视. PAD PBC 3 3 1, 2PA AB AD CD= = = = (0,0,0)A (0,1,0), ( 1,2,0), (0,0,1)B C P− (0,1, 1)PB = − ( 1,1,0)BC = − PBC ( , , )n x y z= 0 0 n PB n BC  = ⇒ =       0 0 y z x y zx y − = ⇒ = =− + = (1,1,1)n = CD ⊥ PAD //AB CD AB ⊥ PAD PAD (0,1,0)AB = θ 1 3cos 31 3 AB n AB n θ = = = ⋅⋅      3 3 ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = + log 2 2k na n= + 2 2n na k += 2( 1) 2 21 2 2 n n n n a k ka k + + + += = 0k > 1k ≠ 2k { }na 4k 2k 2 2( ) (2 2)n n n nb a f a k n+= = ⋅ + 2k = 1 2(2 2) 2 ( 1) 2n n nb n n+ += + ⋅ = + ⋅ 2543 2)1(242322 +⋅+++⋅+⋅+⋅= n n nS  2 nS = 4 5 2 32 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n+ +⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ 3 4 5 2 32 2 2 2 2 ( 1) 2n n nS n+ += − ⋅ − − − − + + ⋅ 3 3 4 5 2 32 (2 2 2 2 ) ( 1) 2n nn+ += − − + + + + + + ⋅ 3 3 32 (1 2 )2 ( 1) 21 2 n n nS n +−= − − + + ⋅− 32nn += ⋅ 2 2lg (2 2) lgn n n nc a a n k k+= = + ⋅ 1n nc c +< *n∈N 2( 1)lg ( 2) lgn k n k k+ < + ⋅ ⋅ *n∈N 1k > lg 0k > 21 ( 2)n n k+ < + *n∈N 0 1k< < lg 0k < 21 ( 2)n n k+ > + *n∈N 2 min 1 2 nk n + <  +  1 112 2 n n n + = −+ + 1n = min 1 2 2 3 n n +  = +  2 2 3k < 0 1k< < 60 3k< < 6(0, ) (1, )3k ∈ +∞ 20. (1) 解：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，∴椭圆的标准方程为． 3 分 (2) 证：当 的斜率为 0 时，显然 ，满足题意， 当的斜率不为 0 时，设 方程为 ， 代入椭圆方程整理得： ． ， ， ． 则 ， 而 ∴ ，从而 ． 综合可知：对于任意的割线 ，恒有 ． 8 分 (3) 解： ， 即： ， 当且仅当 ，即 （此时适合于 的条件）取到等号． ∴△ABF 面积的最大值是 ． 1 【链接高考】解析几何的综合题，基本上是每年都有一道大题，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.其中字母运 算能力和综合分析、解决问题的能力是考生最薄弱的一环. 本题中的第二、第三问都突出体现了解析几何中化归、转化 的思想方法，以达到化繁为简的目的，值得我们深思. 21. (1) 解： ，令 ，得 . 2 分 ∵当 时， ；当 时， ， 3 分 ∴当 时， . (2) ， . ① 当 时，恒有 ， 在 上是增函数； 6 分 ② 当 时， 令 ，得 ，解得 ； 7 分 令 ，得 ，解得 . 8 分 综上，当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 9 分 (3) 证： . 1 2e =8MN = 4a = | | 2 | |PM MF= 2 2 22, 12c b a c= = − = AB 0AFM BFN∠ = ∠ = AB 8x my= − 2 2(3 4) 48 144 0m y my+ − + = 2576( 4)m∆ = − 2 48 3 4A B my y m + = + 2 144 3 4A By y m = + 2 2 A B AF BF A B y yk k x x + = ++ + ( 6) ( 6) 6 6 ( 6)( 6) A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my − + −= + =− − − − 2 6( ) ( 6)( 6) A B A B A B my y y y my my − += − − 2 2 144 482 6( ) 2 6 03 4 3 4A B A B mmy y y y m m m − + = ⋅ − ⋅ =+ + 0AF BFk k+ = AFM BFN∠ = ∠ PAB AFM BFN∠ = ∠ 2 2 1 72 4 2 3 4ABF PBF PAF B A mS S S PF y y m∆ ∆ ∆ −= − = ⋅ − = + 2 2 2 2 72 4 72 72 3 3163( 4) 16 2 3 163 4 4 ABF mS m m m ∆ −= = ≤ =− + ⋅− + − 2 2 163 4 4 m m − = − 2 21 3m = ± 0>∆ 33 ( ) ln 1f x x′ = + ( 0)x > ( ) 0f x′ = 1x e = 1(0, )x e ∈ ( ) 0f x′ < 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0f x′ > 1x e = min 1 1 1( ) lnf x e e e = = − 2( ) ln 1F x ax x= + + ( 0)x > 21 2 1( ) 2 ( 0)axF x ax xx x +′ = + = > 0≥a ( ) 0F x′ > ( )F x ),0( +∞ 0 22 1 0ax + > 10 2x a < < − ( ) 0F x′ < 22 1 0ax + < 1 2x a > − 0≥a ( )F x ),0( +∞ 0 ln 0t > ln 1 ln ( 1)t t t t t< − < > ( ) 1 ln ( 1)g t t t t= − − ≥ 1( ) 1 0( 1)g t tt ′ = − ≥ ≥ ( )g t [1, )+∞ 1t > ( ) 1 ln (1) 0g t t t g= − − > = 1 ln ( 1)t t t− > > ( ) ln ( 1)( 1)h t t t t t= − − ≥ ( ) ln 0( 1)h t t t′ = ≥ ≥ ( )h t [1, )+∞ 1t > ( ) ln ( 1) (1) 0h t t t t h= − − > = 1 ln ( 1)t t t t− < >   ∈== RxyyA x , 2 1| { }RxxyyB ∈−== ),1(log| 2 =∩ BA ( )1,− +∞ ( )+∞,0 ( )1,+∞ ( )2,+∞ izi 6)33( =− i2 3 2 3 +− 3 3 2 2 i− 3 3 2 2 i+ 3 3 2 2 i− − S = 80 2.1 4.4 .A .B .C .D 0=++ CByAx 0,222 ≠=+ CCBA 422 =+ yx NM , OM ON .A .B .C .D 2 2( ) ( 4 ) 2f x x b a x a b= + − − + − y .A .B .C .D 2 22xy ax y≤ + [ ] [ ]1,2 , 2,3x y∈ ∈ a x y x y a a .A [ ]1,6− .B [ 1,4)− .C ),1[ +∞− .D [1, )+∞ 衣次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号 ____________________________ （下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行）． 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 10. 若 的展开式中的常数项是 （用数字作答）． 11. 若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _________________． 12 ． 在 计 算 “ ” 时 ， 某 同 学 学 到 了 如 下 一 种 方 法 ： 先 改 写 第 k 项 ： 由此得 … 相加，得 类比上述方法，请你计算“ ”，其结果为 ． 13.(坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点 为圆心，1 为半径的圆的极坐标方程是 ． 14.(不等式选讲选做题）已知函数 ，则函数 的最小值 为 , 最大值为 . 15.(几何证明选讲选做题）已知平面 截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角为 30°,此曲线 是 ,它的离心率为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12 分）已知在 中， 所对的边分别为 ，若 且 ． (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小； (Ⅱ)设函数 ，求函数 的单调递增区间，并指出它相 邻两对称轴间的距离． 17．（13 分）某项计算机考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有大拿感科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考试， 已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合 格的概率为 ，科目 B 每次考试合格的概率为 ，假设各次考试合格与否均互不影响． （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求随即变量 的分布列和 数学期望． 3 1 6 * 27 27 3 2( ),( )n n nC C n N x x + += ∈ − 1 2 2 3 ( 1)n n× + × +⋅⋅⋅+ + 1( 1) [ ( 1)( 2) ( 1) ( 1)],3k k k k k k k k+ = + + − − + 11 2 (1 2 3 0 1 2),3 × = × × − × × 12 3 (2 3 4 1 2 3),3 × = × × − × × 1( 1) [ ( 1)( 2) ( 1) ( 1)].3n n n n n n n n+ = + + − − + 11 2 2 3 ( 1) ( 1)( 2).3n n n n n× + × +⋅⋅⋅+ + = + + 1 2 3 2 3 4 ( 1)( 2)n n n× × + × × +⋅⋅⋅+ + + 1 , 6 π     ( ) 3 4 4 3f x x x= − + − ( )f x π ABC A B C∠ ∠ ∠﹑ ﹑ a﹑b﹑c cos cos A b B a = sin cosC A= ( ) ( )sin cos 22 2 Cf xx x A  = + −+    ( )f x 3 4 2 3 ζ ζ 18．（13 分）如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 19．（1） 已知函数 （ 且 ）． (Ⅰ)试就实数 的不同取值，写出该函数的单调递增区间； (Ⅱ)已知当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，求 的值并写出函数 的 解析式； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的函数 的图像为曲线 ，试问是否存在经过原点的直线 ，使得 为曲线 的对称轴？ 若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由． 20．（1）（1）已知椭圆 的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C 上任一点，MN 是圆 的一条直径，若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切． (Ⅰ)已知椭圆 的离心率； (Ⅱ)若 的最大值为 49，求椭圆 C 的方程． 21．（1）已知 A( , )，B( , )是函数 的图象上的任意两点（可以重合），点 M 在直线 上，且 = . （Ⅰ）求 + 的值及 + 的值； （Ⅱ）已知 =0，当 n≥2 时， = + + + ，求 ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 = ， 为数列{ }的前 项和，若存在正整数 、m，使得不等式 成立，求 c 和 m 的值. 1．B．解析： A = B = ，故选 B． 2．A．解析： = ，故选 A． 3．D．解析： ，故选 D． 4．C．解析：前后两组数据波动情况一样，故选 C． 5．A．解析： 圆心 O 到直线 的距离 ，所以 ,，所以 · = （· ，故选 A． 6．B．解析： = 420，故选 B． 7．D．解析： ，故选 D． S ABC− SAB SAC 90BAC∠ = ° O BC SO ⊥ ABC A SC B− − 1( ) x af x a x −= + 0a ≠ 1a ≠ a 0x > (0, 6) ( 6, )+∞ a ( ) 3 ( )F x f x= ( ) 3 ( )F x f x= C l l C l 2 2 1 2 2: 1 0)x yC a ba b + = > >（ 1 2 2 2: ( 3) 1C x y+ − = 3 2− l 2C 1C PM PN⋅  1 1x 1y 2x 2y 2 1,1 2 2( ) 11, 2 x xxf x x  ≠ −=  − = 1 2x = AM MB 1x 2x 1y 2y 1S nS 1( )f n 2( )f n 3( )f n 1( )nf n −+ nS na 2 nS nT na n c 2 1 cT cT 1m m <− − + ( )+∞,0 6 3 3 iz i = − i2 3 2 3 +− 2 1 2 2 2 3 2 50 2550S = + + + + =     0=++ CByAx 2 2 1Cd A B = = + 2 3AOB π∠ = OM ON cosOA OB   22 2cos 23AOB π∠ = = − 3 3 3 9 5 4( )A A A− + 24 , 2 , 2b a m a b b a m= − = − = −令 即 ，用数形结合的方法即可得结果 O S B A C 8．C．解析： ，又 ，而 ， = -1， 故选 C． 9．785，667，199，507，175．解析：抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略． 10．-80．解析：3n+1=n+6 或 3n+1=27-(n+6),解得 n=5, ,r=3, ． 11 ． ． 解 析 ： 令 ， 则 ， 所 以 ， 故 ． 12． ．解析： ， 用累加的方法即得结果． 13．（坐标系与参数方程选做题） ．解析：可利用解三角形和转化为直角坐标来作，也可以转化为直 角坐标系下求圆的方程来处理，主要考查极坐标的有关知识,以及转化与化归的思想方法. 14．（不等式选讲选做题）3，5．解析：设 ，则 y= ，故最 小值为 3，最大者为 5． 15．（几何证明选讲选做题）椭圆, ．解析：椭圆的短轴长为圆柱底面直径 2r,长轴长为 ，所以离心 率为 . 16．（12 分） 解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知: ,得 ， ∴ 或 ,即 或 ． 当 时,有 , 即 ,得 , ; 当 时,有 ,即 ，不符题设， ∴ , ． …7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: ； 当 时, 为增函数， 即 的单调递增区间为 . …11分 它的相邻两对称轴间的距离为 . …12 分 2 2 2 1 12 2( )4 8 y y ya x x x ≥ − = − − + 2 2 2 1 12 2( )4 8 y y ya x x x ≥ − = − − + [ ]1,3y x ∈ 21 12( )4 8 man y x  − − +   15 5 6 1 5( 1) 2 r r r r rT C x − + = − 4 80T = − ( )+∞− ,2ln22 , ( ) 2 0xf x e= − = ln 2x = (ln 2) 2 2ln 2 0f a= − − < 2 2ln 2a > − 1 ( 1)( 2)( 3)4 n n n n+ + + 11 2 3 (1 2 3 4 0 1 2 3),4 × × = × × × − × × ×  1( 1)( 2) [ ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 1)( 2)].4n n n n n n n n n n n+ + = + + + − − + + 2cos 6 πρ θ = −   4 cos , 3 sinx xθ θ− = − = 3cos 4sin 5sin( )θ θ θ ϕ+ = + 1 2 2 4 3 cos30 3o r r= 1 2 cos sin cos sin A B B A = sin 2 sin 2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = A B= sin( 2 ) cosA Aπ − = 1sin 2A = 6A B π= = 2 3C π= 2A B π+ = sin( ) cos2 A ππ − = cos 1A = 6A B π= = 2 3C π= ( ) sin(2 ) cos(2 ) 2sin(2 )6 3 6f x x x x π π π= + + − = + 2 [2 ,2 ]( )6 2 2x k k k Z π π ππ π+ ∈ − + ∈ ( ) 2sin(2 )6f x x π= + ( ) 2sin(2 )6f x x π= + [ , ]( )3 6k k k Z π ππ π− + ∈ 2 π 17．解：设该人参加科目 A 考试合格和补考为时间 ，参加科目 B 考试合格和补考合格为时间 相互独立. （Ⅰ）设该人不需要补考就可获得证书为事件 C，则 C= ， . … （Ⅱ） 的可能取值为 2，3，4. 则 P（ ； P ； P . …9 分 所以，随即变量 的分布列为 2 3 4 P 所以 . 13 分 18．解：（Ⅰ）由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形， 所以 ，且 ，又 为等腰三角形， ，且 ，从而 ． 所以 为直角三角形， ． 又 ． 所以 平面 ．…6分 （Ⅱ）解法一：取 中点 ，连结 ，由（Ⅰ）知 ， 得 ． 为二面角 的平面角． 由 得 平面 ． 所以 ，又 ， 故 ． 所以二面角 的余弦值为 13分 解法二：以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 ． 设 ，则 ． 1 2A A、 1 2 1AB B ，事件、 、 2 1 2A B B、 、 1 1A B 2 1 3 2 4 3)()()()( 1111 =×=== BPAPBAPCP ξ 3 2 1 1 27 9( 2) 4 3 4 4 48 16 ξ = = × + × = = 3 1 2 1 3 2 3 1 1 18 3( 3) 4 3 3 4 4 3 4 3 3 48 8 ξ = = × × + × × + × × = = 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1( 4) 4 4 3 3 4 4 3 3 48 16 ξ = = × × × + × × × = = ξ ξ 27 48 18 48 3 48 27 18 3 52 3 448 48 48 2Eξ = × + × + × = AB AC SB SC= = = = SA OA ABC△ 2 2OA OB OC SA= = = AO BC⊥ SBC△ SO BC⊥ 2 2SO SA= 2 2 2OA SO SA+ = SOA△ SO AO⊥ AO BO O= SO ⊥ ABC SC M AM OM， SO OC SA AC= =， OM SC AM SC⊥ ⊥， OMA∠∴ A SC B− − AO BC AO SO SO BC O⊥ ⊥ =， ， AO ⊥ SBC AO OM⊥ 3 2AM SA= 2 6sin 33 AOAMO AM ∠ = = = A SC B− − 3 3 O OB OA， x y O xyz− (1 0 0)B ，， ( 1 0 0) (01 0) (0 01)C A S− ，，， ，，， ，， 的中点 ， ． ． 故 等于二面角 的平面角．10分 ， 所以二面角 的余弦值为 ．…13分 19．解：(Ⅰ) 由题设知： ． ①当 时，函数 的单调递增区间为 及 ； ②当 时，函数 的单调递增区间为 及 ； ③当 时，函数 的单调递增区间为 及 ．…6 分 (Ⅱ)由题设及(Ⅰ)中③ 知 且 ，解得 ， 8 分 因此，函数解析式为 ． 9 分 (Ⅲ)假设存在经过原点的直线 为曲线 的对称轴，显然 、 轴不是曲线 的对称轴，故可设 ： （ ）， 设 为曲线 上的任意一点， 与 关于直线 对称，且 ， ，则 也在曲线 上，由 此得 ， ，且 ， ， 12 分 整理得 ，解得 或 ， 所以存在直线 及 为曲线 的对称轴． 1 20．解：（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为 ， 因为直线与圆 相切，所以 ，即 从而 …6 分 （Ⅱ）设 、圆 的圆心记为 ，则 （ ﹥0），又 = ． …8 分 SC 1 102 2M  −  ，， 1 1 1 10 1 ( 1 0 1)2 2 2 2MO MA SC   = − = − = − −         ，， ， ，， ， ，， 0 0MO SC MA SC⋅ = ⋅ =   ∴ ， ,MO SC MA SC MO MA⊥ ⊥ > ， ，< A SC B− − 3cos 3 MO MAMO MA MO MA ⋅< >= = ⋅     ， A SC B− − 3 3 2 2 2 1 1 ( 1)'( ) a x a af x a x ax − − −= − = 0a < ( )f x ( ( 1),0)a a− − (0, ( 1))a a − 0 1a< < ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1a > ( )f x ( , ( 1))a a−∞ − − ( ( 1), )a a − +∞ ( 1) 6a a − = 1a > 3a = 3 2 3( ) 3 xF x x = + ( 0)x ≠ l C x y C l y kx= 0k ≠ ( , )P p q C ( , )P p q′ ′ ′ ( , )P p q l p p′≠ q q′≠ P′ C 2 2 q q p pk ′ ′+ += 1q q p p k ′− = −′− 2 3 3 pq p = + 2 3 3 pq p ′′ = + ′ 1 2 3 k k − = 3k = 3 3k = − 3y x= 3 3y x= − C 0)23( =−−+ ccybx 1)3(: 22 2 =−+ yxc 1 233 22 = + +− = cb ccc d ,2 22 ca = ;2 2=e ),( yxP 2C 2C 12 2 2 2 2 =+ c y c x c 2 2 2 22222 )()( NCPCNCPCMCPCPNPM −=+⋅+=⋅ )(172)3(1)3( 2222 cyccyyx ≤≤−+++−=−−+ 当 ； 当 故舍去． 综上所述，椭圆的方程为 ． …1 21．（1） 解：（Ⅰ）∵点 M 在直线 x= 上，设 M .又 ＝ ， 即 ， ，∴ + =1.2 分 ①当 = 时， = ， + = ； ②当 时， ， + = + = = = ；综合①②得， + . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 + =1 时, + . ∴ ，k= .7 分 n≥2 时， + + + ， ， ② ①＋②得，2 =-2(n-1),则 =1-n. n=1 时， =0 满足 =1-n. ∴ =1-n.10 分 （Ⅲ） = = ， =1+ + = . . =2- ， = -2+ =2- ， ∴ ， 、m 为正整数，∴c=1， 当 c=1 时， ，∴1< <3，∴m=1.…1 此时椭圆方程为解得时， ,4,49217)(3 2 ==+=⋅≥ ccPNPMc MAX 11632 22 =+ yx 但解得时， 325,49217)3()(30 22 −==+++−−=⋅<< cccPNPMc MAX ,3325 >−=c 11632 22 =+ yx 2 1 M 1( , )2 y AM MB 1 1 1AM ( , )2 Mx y y= − − 2 2 1MB ( , )2 Mx y y= − − 1x 2x 1x 2 1 2x 2 1 1y 2y 1 2( ) ( ) 1 1 2f x f x+ = − − = − 1x ≠ 2 1 2x ≠ 2 1 1y 2y 1 1 2 1 2 x x− 2 2 2 1 2 x x− 1 2 2 1 1 2 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) (1 2 )(1 2 ) x x x x x x − + − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 8 1 2( ) 4 x x x x x x x x + − − + + 1 2 1 2 2(1 4 ) 24 1 x x x x − = −− 1y 2 2y = − 1x 2x 1y 2 2y = − ( ) ( ) 2k n kf fn n −+ = − 1n,,3,2,1 − nS = 1( )f n 2( )f n 3( )f n 1( )nf n −+ nS = 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n nf f f fn n n n − − −+ + + + nS nS 1S nS nS na nS2 n12 − nT 2 1 1n)2 1( −+ n2 22 − 2 1 cT cT 1m m <− − + ⇔ 0)cT(2 )cT()cT(2 1m 1mm <− −−− + + ⇔ 0Tc )TT2(c 1m 1mm <− −− + + 1mT + m2 1 1mm TT2 +− m2 44 − m2 1 m2 3 1 22 ≤ − 3 12 22 2m mc< < − < c      >− <− 12 12 12 32 m m m2 1．已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为（ ） A ．4 B．一 4 C ．4+4 D．2 2．在等差数列 中，若 ，则该数列的前 2009 项的和为（ ） A．3000 B．2009 C．2008 D． 2007 3．设 x 、y 均为正实数，且 ，则 xy 的最小值为（ ） A．4 B． C．9 D．16 4.已知直线 m、n 及平面 ，其中 m∥n，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直 线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ） A、（1）（2）（3） B、（1）（4） C、（1）（2）（4） D、（2）（4） 5．在△ABC 中，a，b，c 分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量 和 平行，且 ，当△ABC 的面积为 时，则 b=（　　） A． B．2 C． D．2+ 6．执行图 1 的程序框图，若输出的 n＝5，则输入整数 p 的最小值是（ ） A 15 B14 C 7 D 6 7．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 ,第二次出现的点 数记为 b，设两条直线 平行的概率为 ， 相交的概率为 ，则复数 所对应的点 与直线 的位置关系（ ） A． 在直线 的右下方 B． 在直线 的右上方 C． 在直线 上 D． 在直线 的左下方 8．已知抛物线 ，直线 . 、 为曲线 的两切线，切点为 . 令甲：若 在 上， 乙： ；则甲是乙（ ）条件 A 充要 B 充分不必要 C 必要不充分 D 既不充分也不必要 9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉 分别有 种、 种、 种、 种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本进行三聚氰胺安 全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 ，则 ． 10．已知函数 为常数），当 时，函数 取得极值， 若函数 只有三个零点，则实数 c 的取值范围______. ,x y R∈ i ( 2) 1x i y i− − = − + (1 )x yi ++ i i { }na 1004 1005 1006 3a a a+ + = 3 3 12 2x y + =+ + 34 α α ( ,1)m a b= − ( ,1)n b c= − 5 4sin =B 2 3 2 31+ 4 3 a 1 2: 2, : 2 2l ax by l x y+ = + = 1P 2P 1 2P Pi+ P 2 : 2 2l x y+ = P 2l P 2l P 2l P 2l :C 2 4x y= : 1l y = − PA PB C ,A B P l PA PB⊥ 30 10 35 25 n 7 =n 3 21( ) .3f x x bx c= − + ( ,b c 2x = ( )f x )(xf 开始 1 0n S= =， S p< ? 是 输入 p 结束 输出 n12nS S −= + 否 1n n= + BDOA C P 11．设 x,y 满足约束条件 ，若 的最小值为 ，则 的值______. 12．定义一个对应法则 ： .现有点 与 ，点 是线段 上一动点，按定义的对应法则 ： 。当点 在线段 上从点 开始运动到点 结束时，点 的对应点 所经过的路线长度为______. 13.(坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，参数方程为 的 直线 ，被以原点为极点、 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为 的曲线 所截， 则得的弦长是 ． 14.(不等式选讲选做题）设函数 ＞1)，且 的最小值为 ，若 ，则 的取值范围 是__________________． 15.(几何证明选讲选做题）如图 3，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点，CD AB 于 D 点，则 PC= ， CD= ． 16．已知 设函数 （Ⅰ）当 ,求函数 的的值域； （Ⅱ）当 时，若 =8, 求函数 的值； (Ⅲ)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位，得到函数 y ＝g(x)的图象，求函数 的表达式并判断奇偶性. 17．为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举 办一场足球赛。足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）.共赛三场，每场比 赛胜者积 3 分，负者积 0 分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 . （Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率； （Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为 ，求 的分布列和数学期望. 18．如图，分别是直三棱柱 直观图及其正视图、俯视图、侧视图. （Ⅰ）求证： ∥平面 ；（Ⅱ）求证： ⊥平面 ；(Ⅲ)求二面角 的大小. 1 32 + ++ x yx 3 1 4 1 3 1 ξ ξ 0 0 13 4 x y x y a a   ≥  ≥   + ≤ z = 3 2 a f ( ) ( ) ( )/ , , , 0, 0P m n P m n m n→ ≥ ≥ ( )/ 1,3A ( )/ 3,1B点 /M / /A B f /M M→ /M / /A B /A /B /M M 为参数）t ty tx ( 2 1 2 32       = += l x θρ cos2= C ( ) | 4| | |f x x x a= − + − a( ( )f x 3 ( ) 5f x ≤ x ⊥ ),cos2,(sin),cos,cos35( xxbxxa == 2 3( ) | | .2f x a b b= ⋅ + +   [ , ]6 2x π π∈ )(xf [ , ]6 2x π π∈ )(xf ( )12f x π− 12 π ( )g x 1 1 1ABC A B C− MN 1 1ACC A MN 1A BC 1A A B C− − 20 07 01 26 A B C 1A 1C N 1B M a a M 正视图 a a 2 a 2 侧视图 a a M 俯视图 19． 2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩. 据科学测算，跳水运 动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示） 是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空 中的最高点距水面 米，入水处距池边 4 米，同时 运动员在距水面 5 米或 5 米以上时，必须完成规定的 翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. (Ⅰ)求这个抛物线的解析式； (Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员 在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 米，问此次跳水会不会失误？请 通过计算说明理由； (Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应 为多大？ 20．在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点， . 过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1，过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1， . 记点 T 的轨迹为曲线 C，点 A（5，0）、B（1，0），过点 A 作直线 l 交曲 线 C 于两个不同的点 P、Q（点 Q 在 A 与 P 之间）. (Ⅰ)求曲线 C 的方程； (Ⅱ)是否存在直线 l，使得|BP|=|BQ|，并说明理由. 21．已知数列 中的各项均为正数，且满足 .记 ，数列 的前 项和为 ， 且 . (Ⅰ)数列 和 的通项公式；(Ⅱ)求证： . 1．B．解析：由 有 ． 2．C．解析：由 得 ，从而 , 选 C．若直接用通项 公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质 + = + ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简 单． 3．D．解析：由 可化为 xy =8+x+y, x，y 均为正实数， xy =8+x+y （当且仅当 x=y 等号成立）即 xy-2 -8 ，可解得 ,即 xy 16 故 xy 的最小值为 16． 解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式 来构造一个新的不等式． 4．C．解析：如图（1），在平面内不可能有符合题意的点；如图（2），直线 a、b 到已知平面的距离相等且所在平面与 已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线 a、b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条 直线，从而选 C． 210 3 335 2 5| | 5, 5OM ON OM= =   NNMMOT 11 += { }na ( )1 1 1 1 22, 1 n n n n a aa n Na a + ∗ + −= = ∈− 2 n n nb a a= − { }nb n nx 1( ) 2n nf x x= { }nb { }na ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 12 1 2 2 n n f f f xx xn n n Nf f x f xx ∗ + − < + + + < ∈ 1,12 ==− yx 4)2()1( 24 −=−=+ ii 1004 1005 1006 3a a a+ + = 1005 1a = 1 2009 2009 2009 20092 a aS += × = ma na pa qa 3 3 12 2x y + =+ +  ∴ xy28 +≥ xy 0≥ xy 4≥ ≥ ( 0, 0)2 a bab a b +≤ > > 5．B．解析：由向量 和 共线知 ①，由 ②，由 c>b>a 知 角 B 为锐角， ③，联立①②③得 b=2. 6．A．解析：当 时，此时 ；当 时，此时 ；当 时，此时 ；当 时， 此时 ；当 时，此时 ；此时只要 p 的值为 15 即可使得判断框取 “否”，从而输出 n 的值为 5. 处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将 与 的位置调换一下， 则情况又如何呢？同学们可以考虑一下. 7．D．解析：易知当且仅当 时两条直线只有一个交点，而 的情况有三种： （此时两直线重合）； （此时两直线平行）； （此时两直线平行）.而投掷两次 的所有情况有 种，所以两条直线相交的概率 ；两条直线平行的概率为 = ， 所对应的点为 ，易判断 在 的左下方，选 D. 本题 融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不等忽视了直线 重合这种情况，否则会选 C. 8．A．解析：设 ，由导数不难知道直线 的斜率分别为 进一步得 ① ②，由①②可得点 ，（1）因为 在 上，所以 ，所 以 ， 所 以 ； （ 2 ） 若 ， ，即 ，从而点 在 上. (1) b a (3) b a (2) b a ( ,1)m a b= − ( ,1)n b c= − bca 2=+ 4 15 2 3sin2 1 =⇒= acBac 5 3 25 3cos 222 =−+⇒= ac bcaB 1n = 0s = 2n = 0 1s = + 3n = 0 1 2 3s = + + = 4n = 20 1 2 2 7s = + + + = 5n = 2 30 1 2 2 2 15s = + + + + = 1n n= + 12nS S −= + 1 2 a b ≠ 1 2 a b = 1, 2a b= = 2, 4a b= = 3, 6a b= = 6 6 36× = 2 3 111 36 12P = − = 1P 2 1 36 18 = 1 2P Pi+ P 1 11( , )18 12 P 1 11( , )18 12 2 : 2 2l x y+ = 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 x xA x B x ,PA PB 1 2 1 1, .2 2PA PBk x k x= = :PA 2 1 1 1 .2 4 xy x x= − 2 2 2 1: .2 4 xPB y x x= − 1 2 1 2( , )2 4 x x x xP + P l 1 2 14 x x = − 14 xxx2 1x2 1kk 21 21PBPA −==⋅=⋅ PA PB⊥ PA PB⊥ 14 xxx2 1x2 1kk 21 21PBPA −==⋅=⋅ 1py = − P l 9． ．解析： ，从而 . 10． 解析： ，当 取得极值，得 又当 x 充 分 小 时 又 当 x 充 分 大 时 ， 若 有 3 个 实 根 ， 则 ， 得 本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，解题的关键是：深刻理解函数“零点”的定义及数 形结合方法的使用. 11．1．解析： ，而 表示过点(x,y)与（-1.-1）连线的斜率,易知 ，所以可作出可 行域，知 的最小值是 即 . 涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，式子 的处理应当成为解决本题的关键，一般来说， 高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了. 12． ．解析：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识.由题意知 的方程为： ，设 ，则 ,从而有 ，易知 ， ，不难 得出 , ,则 ,点 的对应点 所经过的路线长度为 . ( ) 1 1211 32 + ++=+ ++ x y x yx  1 1 + + x y 1 1 + + x y 20=n 100 35 25351030 357 =+++= n 20=n .3 40 << c cbxxxf +−= 23 3 1)( bxxxf 2)( 2 −=′∴ )(,2 xfx 时= 1=b 0)( xf 0)( =xf    <+−×= >= 0223 1)2( 0)0( 23 cf cf 40 .3c< < 0a > 1 4 min 1 0 ( 1) 1 1( ) 11 3 ( 1) 3 1 4 y ax a a + − −= = = ⇒ =+ − − + 2 3 1 x yz x + += + 3 π / /A B 4x y+ = / ( , )M x y 2 2( , )M x y 2 2 4x y+ = ( )/ 1,3 (1, 3)A A→ ( )/ 3,1 ( 3,1)B B→ 3AOX π∠ = 6BOX π∠ = 6AOB π∠ = /M M 12 2 12 3 ππ × × = BDOA C P 弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分. 13． ．解析：由题意知，直线 的倾斜角为 ，并过点 （2，0）；曲线 是以（1，0）为圆心、半径为 1 的圆， 且圆 也过点 （2，0）；设直线 与圆 的另一个交点为 ，在 中， ． 14． ．解析：由题意知，满足条件的 ；解不等式 有 ． 15． ， ．解析：由切割线定理得 , ；连结 OC，则 , , ． 16．解：(Ⅰ) 2 分 3 分 ； 由 , 6 分 7 分 (Ⅱ) , ； …8 分 所以 …9 分 = …10 分 ( Ⅲ ) 由 题 意 知 ， 所 以 ； 12 分 _O _Y _X _B _A _B 3 l 30 A C C A l C B OABRt∆ 330cos2 == AB 83 ≤≤ x 7=a 574 ≤−+− xx 83 ≤≤ x 32 3 2 12PC PB PA= ⋅ = 2 3PC∴ = 1 2OC OP= 30P∴∠ =  1 32CD PC∴ = = 2 2 2 23 3( ) | | 5 3sin cos 2cos 4cos sin2 2f x a b b x x x x x= ⋅ + + = + + + +   2 5 5 1 cos2 55 3sin cos 5cos 3sin 2 52 2 2 2 xx x x x += + + = + × + 5sin(2 ) 56x π= + + 6 7 622,26 πππππ ≤+≤≤≤ xx 得 1)62sin(2 1 ≤+≤−∴ π x 5, ( ) [ ,10].6 2 2x f x π π∴ ≤ ≤ 时 函数 的值域为 3( ) 5sin(2 ) 5 8, sin(2 )6 6 5f x x x π π= + + = + =则 6 7 622,26 πππππ ≤+≤≤≤ xx 得 4cos(2 ) ,6 5x π+ = − ( )12f x π− 3 35sin 2 5 5sin(2 ) 5 7.6 6 2x x π π= + = + − + = + ( ) 5sin(2 ) 5 ( ) 5sin[2( ) ) 5 5 5sin 26 12 6f x x g x x x π π π= + + → = − + + − = ( ) 5sin 2g x x= ，故 为奇函数． 13 分 17．解：(Ⅰ)设甲队获第一且丙队获第二为事件 A,则 …3 分 (Ⅱ) 可能取值为 0、3、6， 则甲两场皆输： 甲两场只胜一场： 6 分 甲两场皆胜： . 8 分 的分布列为: 0 3 6 10 分 E 12 分 18．（13 分） 解：(Ⅰ)以 C 为原点，分别以 CB、 、 CA 为 x、y、z 轴建立坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，3 分 ∴ ， ∥MN，故 MN∥平面 ． (Ⅱ)∵ 、 ， ∴ ；6 分 又 ，7 分 ，∴MN⊥ ，MN⊥CB， ∴ ⊥平面 ． … 9 分 (Ⅲ)作 CH⊥AB 于 H 点， ∵平面 ABC⊥平面 ，∴CH⊥平面 ，10 分 故平面 的一个法向量为 ， ( ) .18 1 3 114 1 3 1 =     −××=Ap ξ ( )0=ξP .2 1 4 113 11 =     −     −= ( ) 12 5 4 1 3 114 113 13 =×     −+     −×==ξp ( ) 12 1 4 1 3 16 =×==ξp ∴ξ ξ P 2 1 12 5 12 1 ξ .4 7 12 1612 532 10 =×+×+×= ( ) 5sin( 2 ) 5sin 2 ( )g x x x g x− = − = − = − ( )g x 1CC 1AC BC CC a= = = ( )A 0 , 0 , a ( )1C 0 , a , 0 a a aM , ,2 2 2     aN , a , 02     ( )1AC 0 , a , a= − a aMN 0 , ,2 2  = −    1AC 2MN=  1AC 1 1ACC A ( )1A 0 , a , a ( )B a , 0 , 0 ( )1A B a , a , a= − − 1 a aMN A B 0 a a a 02 2  ⋅ = × − × − × − =     a aMN CB 0 a 0 0 02 2  ⋅ = × + × + × − =     1A B MN 1A BC 1 1ABB A 1A BA 1A BA a aCH , 0 ,2 2  =     A B C 1A 1C N 1B M z x y 而平面 的一个法向量为 ，11 分 ∴ ，12 分 故二面角 的大小为 ． … 13 分 19．解：(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为 ,且 ， ∴ ， 即 ； ∴ 且 ,得 且 ． ∴ ,所以解析式为： ． (Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为 米时，即 时， ， 7 分 所以此时运动员距水面距离为 ，故此次跳水会出现失误． …9 分 (Ⅲ) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 ,则 . ∴ ,即 ∴ ，…13 分 所以运动员此时距池边的水平距离最大为 米. …1 20．解：(Ⅰ)设点 T 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，则 M1 的坐标为（0， ）， ，于是点 N 的坐标为 ，N1 的坐标 为 ，所以 2 分 由 由此得 由 即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆. 6 分 (Ⅱ)点 A（5，0）在曲线 C 即椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆 C 1A BC a aMN 0 , ,2 2  = −    a a CH MN 12 2cos CH , MN 22a 2aCH MN 2 2 − ×⋅= = = − ⋅ ×      1A A B C− − 3 π 2( ) ( 0)y f x ax bx c a= = + + < (0) 0 (2) 10 f f =  = − 0 , 5 2c b a= = − − 2 2 25 2 (5 2 )( ) (5 2 ) ( ) ( 0)2 4 a ay f x ax a x a x aa a + += = − + = − − < 2 max (5 2 ) 2[ ( )] ( 0)4 3 af x aa += − = < 5 2 02 a a + > (6 25)(2 3) 0a a+ + = 5 2a < − 25 10,6 3a b= − = 225 10 6 3y x x= − + 335 3 83 25 5x = − = 28 25 8 10 8 16( ) ( )5 6 5 3 5 3y f= = − × + × = − 16 1410 53 3 − = < ( 2)m m > ( 2) 5f m − ≥ − 225 10( 2) ( 2) 56 3m m− − + − ≥ − 25 24 22 0m m− + ≤ 12 342 5m +< ≤ 12 34 5 + ),( yx ),( yx ′′ y′ 2 5 2 5 ( , )5 5ON OM x y′ ′= =  )5 52,5 52( yx ′′ )0,5 52( x′ 1 1 2 5( ,0), (0, ).5M M x N N y′ ′= =     ′= ′= ′+′=+= .5 52 , ),5 52,0()0,(),(,11 yy xx yxyxNNMMOT 所以有 .2 5, yyxx =′=′ ,1 45 ,5) 2 5(,5,5|| 22 2222 =+=+=′+′= yxyxyxOM 得所以有 无交点，所以直线 l 斜率存在，并设为 k. 直线 l 的方程为 …8 分 由方程组 依题意 10 分 当 时，设交点 PQ 的中点为 ， 则 又 12 分 而 不可能成立，所以不存在直线 l，使得|BP|=|BQ|. 1 21．解：（I） ， 2 分 是公比和首项均为 2 的等比数列， ， 即 6 分 （II）证明：因为等比数列{ }的前 n 项和 7 分 所以 8 分 故 10 分 所以 11 分 ).5( −= xky .02012550)45( )5( ,145 2222 22 =−+−+    −= =+ kxkxk xky yx 得 .5 5 5 5,0)8016(20 2 <<−>−=∆ kk 得 5 5 5 5 <<− k ),,(),,( 2211 yxQyxP ),( 00 yxR .45 25 2,45 50 2 2 21 02 2 21 +=+=+=+ k kxxxk kxx .45 20)545 25()5( 22 2 00 + −=−+=−=∴ k k k kkxky ,1|||| −=⋅⇔⊥⇔= BRkklBRBQBP ,420201204 20 45 251 45 20 22 2 2 2 2 2 −=⇔−=−= +− +⋅=⋅ kkk k k k k k kkk BR 42020 22 −= kk )(22 1 1 2 1 2 1 1 1 nnnn n n n n aaaaa a a a −=−⇒=− − ++ + + }{,2, 1 2 nnnnnn bbbaab 数列∴=−= + n nb 2=∴ ).0(2 2112 2 2 >++=⇒=− + n n n n nn aaaa  nb ,2212 )12(2 1 −=− −= +n n nx .12)( −= n nxf ,,,3,2,1,2 1 )2 12(2 12 12 12 )( )( 1 1 nkxf xf k k k k k k =< − −=− −= + + .2)( )( )( )( )( )( 13 2 2 1 n xf xf xf xf xf xf n n <+++ +  另一方面 12 分 1 1．设复数 是纯虚数，则 =（ ） A． B． C ． D． 2．已知命题 “若 ，则 ”，则命题 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．要完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家庭、200 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户，调查 社会购买能力的某项指标；② 从某中学的 5 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（ ） A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，② 分层抽样 D．①② 都用分层抽样 4．如图，一个几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，那么这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D．1 5．关于函数函数 ，以下结论正确的是（ ） A． 的最小正周期是 ，在区间 是增函数 B． 的最小正周期是 ，最大值是 2 C． 的最小正周期是 ，最大值是 D． 的最小正周期是 ，在区间 是增函数 6．某人欲购铅笔和圆珠笔共若干只，已知铅笔 1 元一只，圆珠笔 2 元一只．要求铅笔不超 ,)12(2 1 2 1 12 12 )( )( 11 1 −−=− −= ++ + kk k k k xf xf .,,2,1,2 1 2 1 222 1 2 1 111 nkk kkk =−>−+−= +++ .2 1)2 11(2 1 2)2 1 2 1 2 1(2 )( )( )( )( )( )( 132 13 2 2 1 −>−−=+++−≥ +++∴ + + nnn xf xf xf xf xf xf nn n n   .2)( )( )( )( )( )( 2 1 13 2 2 1 n xf xf xf xf xf xfn n n <+++<−∴ +  )2)(1( ++ imi m 1=m 1−=m 2=m 2 1−=m :p ba = |||| ba = p 3 2 3 1 3 2 =)(xf 1)sin3(coscos2 −+ xxx )(xf π ），（ 12 5 12 ππ− )(xf π2 )(xf π 3 )(xf π ），（ 612 ππ− 过 2 只，圆珠笔不超过 2 只，但铅笔和圆珠笔总数不少于 2 只，则支出最少和最多的钱数 分别是（ ） A．2 元，6 元 B．2 元，5 元 C．3 元，6 元 D． 3 元，5 元 7．已知 F1 、F2 分别是双曲线 （a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点， 若 ,且 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ） A．2 B． 3 C． 4 D． 5 8．函数 的最大值是（ ） A ． B． C ． D． 9 ． 已 知 集 合 ， 集 合 ．若 ，则 实 数 的 取 值 范 围 是 ____________． 10．关于函数 的流程图如下，现输入区间 ，则输出的区间是____________． 11．函数 在区间[ ，2] 上的最大值是 3，则实数 =____________． 12．设平面上 个圆周最多把平面分成 片（平面区域）， 则 ____________， ____________．（ ， 是自然数） 13.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 设 曲 线 的 参 数 方 程 为 是参数， ），若曲线 C 与直线 只有一个交点，则实数 的值是____________． 14.( 不等式选讲选做题）设函数 ，若不等式 ＜1 的解 ，则实数 =____________． 15.(几何证明选讲选做题）如右图，已知 是⊙ 的切线， 是切点， 是弧 上一点，若 ， 则 ． 16.（13 分）如图所示，正在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海 域．到达相关海域 处后发现，在南偏西 、5 海里外的洋面 M 处有一条海盗船，它正以每小时 20 海里的速度向南 偏东 的方向逃窜．某导弹护卫舰当即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇以每小时 30 海里的速度向南偏东 1b y a x 2 2 2 2 =− °=∠ 9021PFF 21PFF∆ x xxy sin2 sin3cos4 2 − −−= 3 7− 3− 3 7 1 }0|){( ≥+−= myxyxA ， }1|){( 22 ≤+= yxyxB ， φ=BA  m    ≤≤− ≤<−= 11cos 41)( xx xxxf ， ， ][ ba， 3)12(2 −−+= xaaxy 2 3− a n )(nf =)2(f =)(nf 1≥n n C θθ θ (,sin41 cos4    += += y ax 0>a 0543 =−+ yx a 2)( −−= axxf )(xf )4,2()0,2( −∈x a PB O A D AC °=∠ 70BAC _______=∠ADC O 20 40 θ 开始 输入 )(xf 输入区间 ][ ba， ?0)( >xf ?0)( ≤′ xf 输出区间 ][ ba， 结束 N N Y Y O B P C A D 的方向全速追击．请问：快艇能否追上海盗船？如果能追上，请求出 的值；如果未能追上，请说明理 由．（假设海面上风平浪静、海盗船逃窜的航向不变、快艇运转正常无故障等） 17.（12 分）某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付 款，其利润为 300 元． 表示经销一件该商品的利润，事件 为“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付 款”． (Ⅰ)求事件 的概率 ；(Ⅱ)求 的分布列及期望 ． 18.（13 分）如图，已知直四棱柱 ABCD- 的底面是边长为 2、 ∠ADC= 的菱形， 是侧棱 （ ＞ ）延长线上的一点，过点 、 、 作菱形截面 交侧 棱 于点 P．设截面 的面积为 ，四面体 的三侧面 、 、 面积的和为 ， ． (Ⅰ)证明： ；(Ⅱ) 当 取得最小值时，求 ∠ 的值． 19.（1）在直角坐标平面内，定点 、 ,动点 M,满足条件 . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (Ⅱ)过点 F 的直线交曲线 C 交于 A,B 两点，求以 AB 为直径的圆的方程，并判定这个圆与直线 的位置关 系． 20.（1）已知数列 的前 n 项和 ． (Ⅰ)求数列 的通项公式；(Ⅱ)设 为数列 的前 n 项和，求 O N M ￿ Q ￿ O ￿ D ￿ 1 ￿ C ￿ 1 ￿ B ￿ 1 ￿ A ￿ 1 ￿ P ￿ D ￿ C ￿ B ￿ A )40sin(  +θ ξ ξ P η A A ( )P A η Eη 1111 DCBA 120 Q 1DD 1DD 2 2 Q 1A 1C Q 1A P 1C 1BB Q 1A P 1C 1S PCAB 111 − 111 CAB∆ 11PCB∆ PAB 11∆ 2S 21 SSS −= QPAC ⊥ S cos 11QCA )0,1(−F )0,1('F 22|||| ' =+ MFMF 2−=x }{ na ,3,2,1,4232 =+⋅−= naS n nn }{ na nT }4{ −nS ⋅nT 21.（1）理科函数 的定义域为 ，设 ， 是 的导数． (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)确定 t 的范围使函数 在 上是单调函数； (Ⅲ)求证：对于任意的 ，总存在 ，满足 ；并确定这样的 的个数． 1．C．解析： ， ． 2．B．解析：原命题正确，所以，逆否命题也正确；逆命题不正确，所以，否命题也不正确． 3．B．解析：按照抽样方法的概念即可选 B． 4．A．解析：这个几何体由过正方体两底面对角线与正方体的两个对应顶点截去两个三棱锥而得，体积为 ． 5．D．解析： ，最小正周期是 ，在 是增函数． 6． A．解析：设购买铅笔 只，购买圆珠笔 只，则 满足 ，则 为支出的钱数，易知，答案是 A． 7．D．解析：设|PF1|=m, |PF2|=n，不妨设 P 在第一象限，则由已知得 5a2-6ac+c2=0 e2-6e+5=0 ，解得 e=5 或 e=1 （舍去），选 D ． 8 ．C ．解析：设 ， 则 ； 令 ， ，则 ． 是关于 的二次函数，其图象关于直线 对称；但 是关于 的增函数，而 ， 从 而 ﹥ 0 ， 所 以 是 关 于 的 的 增 函 数 ， 于 是 时 ， ．9． ．解析：如图， 表示直线 及其 下方区域， 表示圆 及内部，要使 ，则直线 在圆 的下方， 即 ＜ ，故 . 10． ．解析：依题意知，当 时， ＞0；此时若 ，则 ． 11． 或 ．解析：若 ﹥0，则函数图象对称轴是 ，最大值是 ， a aa ( ) 3 26f x x x= − [ ]2,t− ( ) ( )2 ,f m f t n− = = )(xf ′ )(xf n m≥ ( )f x [ ]2,t− 2t > − ( )0 2,x t∈ − ( )' 0 2 n mf x t −= + 0x immimi )21(2)2)(1( ++−=++ 2=m 3 226 11 =×− )62sin(2)( π+= xxf π ），（ 612 ππ− x y yx,    ≥+ ≤ ≤ 2 2 2 yx y x yx 2+    =+ =+ =− 2m2cn (2c)nm 2anm 222 ⇒ ⇒ tx =sin 1 2 1212 12 2 +     − −−=−−+−= t ttty tu −= 2 u uv 1−= 12 += vy y v 0=v v u 11 ≤≤− t vu ,31 ≤≤ y v 3=u 3 71 3 13 2 max =+     −=y 2−a 7=a 1=a 1− 2−− ax 1 ax − 1 ax − ax − ax − ax − 1− x +a x a 1− ax − a x a )(xf )4,2(−∈x 1=a ACDDAB ∠=∠ °=∠+∠=∠ 70CADDABBAC °=∠+∠ 70CADACD  11070180 =−=∠ADC t OMN∆ OM MN t ON t OMN 120 ttttt 10025400120cos205225400900 222 ++=××−+=  01420 2 =−− tt 10 61+=t  120sin)40sin( ONMN =+θ )40sin(  +θ 3 3 2 3 30 20 =×= t t A A 2( ) (1 0.4) 0.216P A = − = ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A= − = − = η 200 250 300 ( 200) ( 1) 0.4P Pη ξ= = = = ( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P Pη ξ ξ= = = + = = + = ( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P Pη η η= = − = − = = − − = η η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 200 0.4 250 0.4 300 0.2Eη = × + × + × 240= AC BD BDAC ⊥ ∵ ，则 ，∴ ． 而 ，∴ ． ----------------------------- (Ⅱ) 设 是 与 的交点， 、 ，则 ， = ． -------------------8 分 ∵令 ，则 ， ∴当 即 时， 取得最小值． -------------------11 分 此时， ，由余弦定理有 ∠ ． -------------------13 分 19. 解：(Ⅰ)易知 M 的轨迹是椭圆， ，方程为 ． -------3 分 (Ⅱ)①当斜率存在时，设 ，由 ，消去 整理得 ； 设 ，则有 ① -------6 分 以 为直径的圆的方程为 ，即 ；② -------7 分 由①得 ，③ ；④ -------8 分 将①③④代入②化简得 ， 即 ． -------10 分 对 任 意 的 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 是 ， ABCDPB 底面⊥ BPAC ⊥ QPBDAC 平面⊥ QPBDQP 平面⊂ QPAC ⊥ O 1A 1C Q P xQD =1 yQO = 22 1 yx =+ 21 SSS −= xyxy 2332)22 12322 1(322 12 −−=××+×−×× 3))1(3(2 2 −−+= xx xxm −+= )1(3 2 2)13())1(3( 22222 ++−=−+= xxxxm 13 2 += xx 2 2=x S 2 23 11 == QAQC cos 11QCA 3 1 2 11 1 2 1 2 1 2 1 −=× −+= QAQC CAQAQC 1,2,1 === bac 12 2 2 =+ yx )1(: += xkyl    += =+ )1( 12 2 2 xky yx y 0224)21( 2222 =−+++ kxkxk ),(),,( 2211 yxByxA       + −= +−=+ 2 2 21 2 2 21 21 22 21 4 k kxx k kxx AB 0))(())(( 2121 =−−+−− yyyyxxxx 0)()( 21212121 22 =+++−+−+ yyxxyyyxxxyx =++=+++=+ kxxkxkxkyy 2)()1()1( 212121 221 2 k k + 2 2 2121 2 11 2 21 21]1)([)1)(1( k kxxxxkxxkyy +−=+++=++= 021 2 21 2 21 4 2 2 22 2 22 =+ −++−+++ k kyk kxk kyx 2 2 2 2 2 2 2 2 ]21 )1(2[)21()21 2( k k k kyk kx + +=+−+++ Rk ∈ )21,21 2( 22 2 k k k k ++− 2−=x 2 2 2 2 21 22 21 22 k k k kd + +=+−= ， 即 ， 所 以 圆 于 直 线 相 离． -------12 分 当 斜 率 不 存 在 时 ， 易 得 半 径 为 ， 圆 的 方 程 是 ， 与 直 线 也 相 离． -------1 20.解：(Ⅰ) ∵ ，∴ ． -------2 分 当 时， ， ，于是 ；------- 令 ，则数列 是首项 、公差为 的等差数列， ； ∴ ． -------6 分 (Ⅱ) ∵ ， ∴ ， -------8 分 记 ①，则 ②，-------10 分 ①-②有 ， ∴ ． -------12 分 故 -------1 21. 解：(Ⅰ)设 ，则 ，所以 ． 2 分 (Ⅱ) ，令 ，得 ．3 分 当 时， 时， ， 是递增函数；当 时，显然 在 也是递增函数． ∵ 是 的一个极值点，∴当 时，函数 在 上不是单调函数．∴当 时，函数 在 上是单调函数． (Ⅲ)由（1），知 ，∴ ．6 分 又∵ ， 我们只要证明方程 在 内有解即可．7 分 记 ，则 ， ， ， ∴ ．9 分 021 )1)(22( 21 )1(2 21 22 2 2 2 2 2 2 >+ +−=+ +−+ +=− k k k k k kRd Rd > 2 1 2 1)1( 22 =+− yx 2−=x 22 111 −== aSa 21 =a 2≥n 1−−= nnn SSa 1 1 232 − − ×+= n nn aa 2 3 22 1 1 += − − n n n n aa n n n ab 2 = }{ nb 11 =b 2 3 2 13 −= nbn )13(22 1 −== − nba n n n n 2223)43(24 +−××=−=− nnn n nnS )222(4)22212(3 22 nn n nT +++−×++×+×=  nW n n ×++×+×= 22212 2  nW n n ×++×+×= +132 222122  2)1(222212 112 −−=×−+++×=− ++ nnW nnn n  2)1(2 1 +−= + nW n n [ ] ⋅+−=− −−+−×= ++ 14)73(221 )21(242)1(23 11 nnT n n n n ( )h t n m= − ( )h t = 223 )4)(2(326 −+=+− tttt 0≥ n m≥ ( ) 23 12f x x′ = − ( ) 0f x′ = 1 20, 4x x= = ( )2,0t ∈ − [ ]2,x t∈ − ( )' 0f x > ( )f x 0t = ( )f x [ ]2,0− 0x = ( )f x 0t > ( )f x [ ]2,t− ( ]2,0t ∈ − ( )f x [ ]2,t− 2( 2)( 4)n m t t− = + − ( )242 n m tt − = −+ ( )' 23 12f x x= − ( )223 12 4 0x x t− − − = ( )2,t− ( ) ( )223 12 4g x x x t= − − − ( ) ( ) ( )( )22 36 4 2 10g t t t− = − − = − + − ( ) ( ) ( )( )223 12 4 2 2 4g t t t t t t= − − − = + − ( ) ( ) ( ) ( )2 222 36 4 0, 3 12 4 0g t g t t t t− = − − > = − − − > ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 4 10g g t t t t− ⋅ = − + − − ①当 时， ，方程 在 内有且只有一解；10 分 ②当 时， ， ，又 ，∴方程 在 内分别各有一解，方程 在 内两解；11 分 ③当 时，方程 在 内有且只有一解 ；12 分 ④当 时，方程 在 内有且只有一解 ．13 分 综上，对于任意的 ，总存在 ，满足 ． 当 时，满足 ， 的 有且只有一个； 当 时，满足 ， 的 恰有两个．1 1．设集合 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.公差不为 0 的等差数列 中, ,数列 是等比数列，且 ,则 （ ） A．4 B．8 C．16 D．36 3. 若纯虚数 满足 （其中 是虚数单位， 是实数），则 （　　） A． B． C．-4 D．4 4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6 5．已知直线 （其中 ）与圆 交于 ，O 是坐标原点，则 · =（ ） A．- 1 B．- 1 C． - 2 D．2 6．设 ，则二项式 ，展开式中含 项的系数是（ ） A. B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数 是增函数,则函数 的图象大致是（ ） 8．关于 的方程 的两实根为 ，若 ，则 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． ( ) ( )2,4 10,t ∈ − ∪ +∞ ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 4 10 0g g t t t t− ⋅ = − + − − < ( )∗ ( )2,t− ( )4,10t ∈ ( ) ( )( )2 2 10 0g t t− = − + − > ( ) ( )( )2 2 4 0g t t t= + − > ( ) ( )22 12 4 0g t= − − − < ( )∗ ( ) ( )2,2 , 2,t− ( )∗ ( )2,t− 4t = ( ) 23 12 0g x x x= − = ( )2,4− 0x = 10t = ( ) ( )( )23 12 36 3 2 6 0g x x x x x= − − = + − = ( )2,10− 6x = 2t > − ( )0 2,x t∈ − ( )' 0 2 n mf x t −= + ( ] [ )2,4 10,t ∈ − ∪ +∞ ( )' 0 2 n mf x t −= + ( )0 2,x t∈ − 0x ( )4,10t ∈ ( )' 0 2 n mf x t −= + ( )0 2,x t∈ − 0x 3 3{ | 0}, { || | }, " " " "1 2 2 xP x Q x x m P m Qx = ≤ = − ≤ ∈ ∈− 那么 是 { }na 2 2005 2007 20093 3 0a a a− + = { }nb 2007 2007b a= 2006 2008b b = z 2(2 i) 4 (1 i)z b− = − + i b b = 2− 2 12 3 36 3 27 3 0=++ CByAx 0,222 ≠=+ CCBA 422 =+ yx NM , OM ON 0 (sin cos )a x x dx π= +∫ 61( )a x x − 2x 192− ( ) logaf x x= (| | 1)f x + x 2 ( 1) 1 0( 0, )x a x a b a a b+ + + + + = ≠ ∈R、 1 2,x x 1 20 1 2x x< < < < b a 4( 2, )5 − − 3 4( , )2 5 − − 5 2( , )4 3 − − 5 1( , )4 2 − − A B C D 9. 右图是 2008 年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数为 ；方差为 . 10.已知 ，则 的值为_______． 11. 在如下程序框图中，已知： ，则输出的是_________ _. 12. 设椭圆 的两个焦点分别为 ，点 在椭圆上，且 ， ， 则该椭圆的离心率为 ． 13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点 O 作直线与另一直线 相交于点 M，在 OM 上取 一点 P，使 .设 R 为 上任意一点，则 RP 的最小值 ． 14. （不等式选讲选做题）若关于 的不等式 ( R)的解集为 ，则 的取值范围是 ． 15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O1 与⊙O2 交于 M、N 两点，直线 AE 与这两个圆及 MN 依次交于 A、B、C、D、E．且 AD＝19，BE＝16，BC＝4，则 AE＝ ． 16.已知在 中， 所对的边分别为 ，若 且 (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小；(Ⅱ)设函数 ，求函数 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离. 17. 在 2008 年北京奥运会某项目的选拔比赛中, 、 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, 队队员是 队队员是 按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵 方式出场进行三场比赛, 每场胜队得 1 分, 负队得 0 分, 设 A 队、B 队最后所得总分分别为 、 , 且 . （Ⅰ）求 A 队得分为 1 分的概率； （Ⅱ）求 的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强. 18. 已知椭圆 的左焦点为 ，左右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三点作圆 ， 其中圆心 的坐标为 . (Ⅰ)当 时，椭圆的离心率的取值范围.(Ⅱ)直线 能否和圆 相切？证明你的结论. 19. （13 分） 在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图 1）.将△ AEF 沿 EF 折起到 的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角，连结 A1B、A1P（如图 2） 对阵队员 队队员胜 队队员负 对 对 对    >+− ≤= 0,1)1( 0,cos)( xxf xxxf π 4( )3f 0 ( ) xf x xe= ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1 2,F F P 1 2 0PF PF⋅ =  1 2 3tan 3PF F∠ = : cos 4l ρ θ = 12OM OP⋅ = l x 1x x a+ − < a∈ ∅ a ABC A B C∠ ∠ ∠﹑ ﹑ a﹑b﹑c cos cos A b B a = sin cosC A= ( ) ( )sin cos 22 2 Cf xx x A  = + −+    ( )f x A B A 1 2 3 ,A A A、 、 B 1 2 3 ,B B B、 、 ξ η 3ξ η+ = ξ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A C、 B CBF ,, P P ( )nm, 0m n+ ≤ AB P EFA1∆ A A 1A 1B 2 3 1 3 2A 2B 2 5 3 5 3A 3B 3 7 3 5 否 是 开始 输入f 0 (x ) 0=i )()( 1 ' xfxf ii −= 结束1+= ii i =2009 输出 f i (x) Ⅰ）求证：A1E⊥平面 BEP；（Ⅱ）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（III）求二面角 B－A1P－F 的余弦值. 20. 已知函数 （ 为常数， 且 ），且数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求证：数列 是等比数列； (Ⅱ) 若 ，当 时，求数列 的前 项和 ； （III）若 ，问是否存在实数 ，使得 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 的范围；若 不存在，说明理由． 21. 已知函数 F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t 为常数，t∈R）. (Ⅰ)写出此函数 F(x)在 R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程 F(x)－k=0 恰有两解，求实数 k 的值． 1.【解析】A. ; , .选 A. 【链接高考】本题主要考查集合的有关知识,解不等式,以及充要条件等知识.集合是学习其它知识的基础，在高考中时 有出现，通常与函数、不等式的知识综合考查，难度不大，基本是送分题. 2. 【 解 析 】 D. 解 : , 即 , , 由 知 , . . 【链接高考】 本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质. 纵观近几年的高考，基本上是考查两个基本数列 的通项公式和前 n 项和公式的简单运用.这种趋势近几年还会保持. 两类基本数列问题,是高考的热点. 3．【解析】C．设 ,则有 ,即 ,即 ,解得 . 【链接高考】有关复数的考查，最近五年只是一道选择题，主要考查复数的基本概念和复数的简单运算. 4．【解析】B.棱柱的高是 4，底面正三角形的高是 ，设底面边长为 ，则 ， ，故三棱柱体积 . 【链接高考】三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视． 5．【解析】C.圆心 O 到直线 的距离 ，所以 ,，所以 · = （· ，故选 C. 【链接高考】本题是考察平面几何、向量、解析几何有关知识，预测也是今年是高考考热点，要注意. 6 ．【 解 析 】 A. ， 二 项 式 的 通 项 公 式 为 ， 令 ， 得 ， 故 展 开 式 中 含 项 的 系 数 是 . 【链接高考】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视. 7．【解析】B. 由函数 是增函数知, .故选 B. 【链接高考】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力.这类试题经常出现,要高 度重视. 8．【解析】D.设 ，则方程 的两实根 满足 的 ( ) logkf x x= k 0k > 1k ≠ { }( )nf a { }na ( )n n nb a f a= ⋅ 2k = { }nb n nS lgn n nc a a= k { }nc k 0 ( 1) 0( 1) 0 11 x x x x xx ≤ ⇔ − ≤ ≠ ⇔ ≤ <− 3 3 3 3 3| | 0 32 2 2 2 2x x x− ≤ ⇔− ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ P Q⊂ 2 2005 2007 20093 3 0a a a− + = 2 2007 20076 0a a− = 2007 2007( 6) 0a a − = 2007 2007 0a b= ≠ 2007 2007 6b a= = 2007 2 2 2006 2008 6 36b b b= = = ( 0)z ai a= ≠ (2 i) 4 2 iai b− ⋅ = − 2 4 2 ia ai b+ = − 4,2 2a a b= = − 4b = − 3 3 a 3 3 32 a = 6a∴ = 21 36 4 36 32 2V = ⋅ ⋅ ⋅ = 0=++ CByAx 2 2 1Cd A B = = + 2 3AOB π∠ = OM ON cosOA OB   22 2cos 23AOB π∠ = = − 00 (sin cos ) ( cos sin ) 2a x x dx x x π π= + = − + =∫ 61(2 )x x − 6 6 3 1 6 6 1(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r rT C x C x x − − − + = − = − 3 2r− = 1r = 2x 1 1 6 1 6( 1) 2 192C −− = − log ( 1), 0(| | 1) log (| | 1) log [ ( 1)], 0. a a a x xf x x x x + ≥+ = + =  − − < ( ) logaf x x= 1a > 2( ) ( 1) 1f x x a x a b= + + + + + ( ) 0f x = 1 2,x x 1 20 1 2x x< < < < 充要条件是 ，作出点 满足的可行域为Δ 的内部，其中点 、 、 ， 的几何意义是Δ 内部任一点 与原点 连线的斜率，而 ， ， 作 图，易知 . 【链接高考】本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能 力要求较高. 9.【解析】 ； . 由茎叶图知，去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后，所剩数据 84，84，86，84，87 的平均数为 ；方差为 . 【链接高考】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视， 确保稳拿这部分的分数. 10.【解析】 .当 时, ,故 . 【链接高考】本题主要考查分段函数,函数的周期性,三角函数的求值等.有关函数方程问题时常出现在高考试题中, 考生应该进行专题研究. 11. 由 . 【链接高考】读懂流程图是高考对这部分内容的最基本的要求，也是最高考常见的题型.本题是把导数的运算与流 程图结合在一起的综合题. 12. 【 解 析 】 . 由 知 , . 由 知 , . 则 ,即 . 【链接高考】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三角形知识的运用. （二）选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题） 13.（坐标系与参数方程选做题）【解析】1.设 ， ， .故 P 在圆: 上,而 R 为直线 : .由图象知, . 【链接高考】本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思想方法.解决本题的关键是将 它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理. 14. （不等式选讲选做题）【解析】 .因为 ，所以若不等 式 的解集为 ，则 的取值范围是 . 【链接高考】本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质，这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练 掌握. 15. （几何证明选讲选做题）【解析】28．因为 A，M，D，N 四点共圆，所以 ．同理，有 ．所以 ，即 ，所以 AB·CD＝BC·DE． 设 CD ＝ x, 则 AB ＝ AD- BC-CD ＝ 19-4-x=15-x, DE ＝ BE- BC-CD ＝ 16-4-x=12-x, 则 ， 即 ，解得 或 （舍）. AE＝AB+ DE- BD＝19+16-7=28. 【链接高考】本小题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和解决问题的能力,以及转化 与化归的思想方法. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (0) 1 0 (1) 2 3 0 (2) 3 7 0 f a b f a b f a b = + + >  = + + <  = + + > ( , )a b ABC ( 2,1)A − ( 3,2)B − ( 4,5)C − b a ABC ( , )a b O 1 2OAk = − 2 3OBk = − 5 4OCk = − 5 1( , )4 2 b a ∈ − − 85 8 5 84 84 86 84 87 855 + + + + = 2 2 2 2 21 8[(84 85) (84 85) (86 85) (84 85) (87 85) ]5 5 − + − + − + − + − = 3 2 0x > ( ) ( 1) 1f x f x= − + 4 4 1( ) ( 1) 1 ( ) 13 3 3f f f= − + = + 1( 1) 1 13f= − + + 2( ) 23f= − + 2 1 3cos( ) 2 23 2 2 π= − + = − + = 1 2 1 2009( ) ( )' , ( ) '( ) 2 , ( ) 2009x x x x x x xf x xe e xe f x f x e xe f x e xe= = + = = + = + 3 1− 1 2 0PF PF⋅ =  1 2PF PF⊥ 1 2 3tan 3PF F∠ = 1 2 30PF F∠ =  1 2 2| | | | | | ( s30 sin30 ) ( 3 1) 2PF PF FF co c a+ = + = + =  2 3 1 3 1 ce a = = = − + ( ),P ρ θ 4 cosOM θ= 3cosρ θ= 2 2 23x y+ = l 4x = min 1RP = ( ,1]−∞ 1 ( 1) 1x x x x+ − ≥ − − = 1x x a+ − < ∅ a 1a ≤ AC CD MC CN⋅ = ⋅ BC CE MC CN⋅ = ⋅ AC CD BC CE⋅ = ⋅ ( ) ( )AB BC CD BC CD CE+ ⋅ = ⋅ + (15 ) 4(12 )x x x− = − 2 19 48 0x x− + = 3x = 16x = 16.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知: ,得 ∴ 或 ,即 或 当 时,有 , 即 ,得 , ; 当 时,有 ,即 不符题设 ∴ , …7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: 当 时, 为增函数 即 的单调递增区间为 . …11分 它的相邻两对称轴间的距离为 . …12 分 【链接高考】 解决本题的关键是,利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数问题是解题的关键，三角形 与三角函数、向量与三角函数高考考察的热点. 17.【解析】（Ⅰ）设A 队得分为 1 分的事件为 , ∴ . （Ⅱ） 的可能取值为 3 , 2 , 1 , 0 ; , , , ∴ 的分布列为: 10 分 于是 , 11 分 ∵ , ∴ . … 12 分 由于 , 故 B 队比 A 队实力较强. … 13 分 【链接高考】本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题.这是概率与统计大题考查的主阵地,预计还有可 能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查. 18. 【解析】(Ⅰ)由题意 的中垂线方程分别为 ， 于是圆心坐标为 . … 0 1 2 3 P cos sin cos sin A B B A = sin 2 sin 2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = A B= sin( 2 ) cosA Aπ − = 1sin 2A = 6A B π= = 2 3C π= 2A B π+ = sin( ) cos2 A ππ − = cos 1A = 6A B π= = 2 3C π= ( ) sin(2 ) cos(2 ) 2sin(2 )6 3 6f x x x x π π π= + + − = + 2 [2 ,2 ]( )6 2 2x k k k Z π π ππ π+ ∈ − + ∈ ( ) 2sin(2 )6f x x π= + ( ) 2sin(2 )6f x x π= + [ , ]( )3 6k k k Z π ππ π− + ∈ 2 π 0A 0 2 3 4 1 2 4 1 3 3 41( ) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P A = × × + × × + × × = ξ 0 2 2 3 12( 3) ( ) 3 5 7 105P P Aξ = = = × × = 2 2 4 1 2 3 2 3 3 40( 2) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P ξ = = × × + × × + × × = 2 3 4 1 2 4 1 3 3 41( 1) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105P ξ = = × × + × × + × × = 1 3 4 12( 0) 3 5 7 105P ξ = = × × = ξ 12 41 40 12 1570 1 2 3105 105 105 105 105Eξ = × + × + × + × = 3ξ η+ = 1583 105E Eη ξ= − + = E Eη ξ> BCFC, ,2 2 2 a c b a ax y xb −  = − = −   2 ,2 2 a c b ac b  − −    ξ 12 105 41 105 40 105 12 105 = ，即 , 即 ,所以 ，于是 ＞ 即 ， 所以 ,即 ＜ ＜ . 7 分 （Ⅱ）假设相切， 则 ， …9 分 ，11 分 这与 矛盾. 故直线 不能与圆 相切. 13 分 【链接高考】 本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能力.圆锥曲线与圆的综合题经 常出现在高考试题中，要引起足够的重视. 19. 【解析】不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . （解法一）(I)在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF． ∵AE EB=CF FA=1 2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又 AE=DE=1，∴EF⊥AD．2 分 在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE． 又 BE∩EF=E，∴A1E⊥平面 BEF，即 A1E⊥平面 BEP．…. (II)在图 2 中，∵A1E 不垂直于 A1B，∴A1E 是平面 A1BP 的斜线． 又 A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP, 从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）． 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于点 Q，则 ∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角，…6 分 且 BP⊥A1Q． 在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP 是等边三角形，∴BE=EP． 又 A1E⊥平面 BEP，∴A1B=A1P，∴Q 为 BP 的中点，且 EQ= ， 又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q= ,∴∠EA1Q=600． 所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600．…8 分 (III)在图 3 中，过 F 作 FM⊥A1P 于 M，连结 QM，QF． ∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形，∴PF=1． 又 PQ= BP=1，∴PF=PQ． ① ∵A1E⊥平面 BEP，EQ=EF= ， ∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP, nm + 2 02 2 a c b ac b − −+ ≤ 2 0ab bc b ac− + − ≤ ( )( ) 0a b b c+ − ≤ b c≤ 2 2b c≤ 2 c 2 22a c≤ 2 1 2e ≥ 0 e 2 12 e≤ < 1−=• PBAB kk 2 2 22 , , 1( ) ( )0 2 PB AB PB AB b acb b ac b b acbk k k ka c b c a a a c a −− + += = = ∴ = = −− − −−  2 2 2 2, 2 , 0, 2a c ac a ac c ac c c a∴ − + = − = > ∴ =即 0 c a< < AB P : : : 3 3 1 = EA EQ 2 1 3 从而∠A1PF=∠A1PQ. ② 由①②及 MP 为公共边知,△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=900，且 MF=MQ， 从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角.…10 分 在 Rt△A1QP 中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P= . ∵MQ⊥A1P, ∴MQ= ,∴MF= . 在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得 QF= . 在△FMQ 中，cos∠FMQ= . 所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ．.…..13 分 （解法二）(I)同解法一． (II)建立分别以 ED、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则 E(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),则 , ． 设平面 ABP 的法向量为 ， 由 平面 ABP 知， ，即 令 ，得 ， ． , , 所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600． (II) ，设平面 AFP 的法向量为 ． 由 平面 AFP 知， ，即 令 ，得 ， ． , 所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ．.…..13 分 【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角,二面角的问题,以及分析问题 与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体,特别是棱柱和棱锥. 20.【解析】(Ⅰ) 证：由题意 ，即 ， 1 分 ∴ ∴ . 2 分 ∵常数 且 ，∴ 为非零常数， ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 3 分 (II) 解：由(1)知， ， 当 时， . 5 5 52 1 1 =⋅ PA PQQA 5 52 3 8 7 2 222 −=⋅ −+ MQMF QFMQMF 7 8 − 3 3 (0,0, 1)AE = − (2,0, 1), ( 1, 3,0)AB BP= − = −  1 1 1 1( , , )n x y z= 1n ⊥ 1 1,n AB n BP⊥ ⊥    1 1 1 1 2 0, 3 0. x z x y − =− + = 1 3x = 1 11, 2 3y z= = 1 ( 3,1,2 3)n = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 3 0 1 0 2 3 ( 1) 3cos , 2| | | | ( 3) 1 (2 3) 0 0 ( 1) AE nAE n AE n ⋅ × + × + × −< >= = = − ⋅ + + ⋅ + + −      1, 120AE n< >=   (0, 3, 1), ( 1,0,0)AF PF= − = −  2 2 2 2( , , )n x y z= 2n ⊥ 2 2,n AF n PF⊥ ⊥    2 2 2 2 0, 3 0. x y z − = − = 2 1y = 2 20, 3x z= = 2 (0,1, 3)n = 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 0 1 1 2 3 3 7cos , 8| | | | ( 3) 1 (2 3) 0 1 ( 3) n nn n n n ⋅ × + × + ×< >= = = ⋅ + + ⋅ + +      7 8 − ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = + log 2 2k na n= + 2 2n na k += 2( 1) 2 21 2 2 n n n n a k ka k + + + += = 0k > 1k ≠ 2k { }na 4k 2k 2 2( ) (2 2)n n n nb a f a k n+= = ⋅ + 2k = 1 2(2 2) 2 ( 1) 2n n nb n n+ += + ⋅ = + ⋅ ∴ ， ① . ② ②－①，得 ∴ . 8 分 (III) 解：由(1)知， ，要使 对一切 成立， 即 对一切 成立. 9 分 ① 当 时， ， 对一切 恒成立；10 分 ② 当 时， ， 对一切 恒成立，只需 ，11 分 ∵ 单调递增，∴当 时， . 12 分 ∴ ，且 ， ∴ . 13 分 综上所述，存在实数 满足条件. 1 【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法. 错位相减 法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视. 21.【解析】(Ⅰ) ∴ .….. 由－3x2+3=0 得 x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0 恒成立， ∴ i) 当 <－1 时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数， 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数． ii) 当 1> ≥－1 时，F(x)在区间(－∞， )上是减函数， 在区间( ，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数． iii) 当 ≥1 时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数． .…..8 分 (II)由 1）可知 i) 当 <－1 时，F(x)在 x=－1 处取得极小值－1－t， 在 x=1 处取得极大值 3－t，若方程 F(x)－m=0 恰有两解， 此时 m=－1－t 或 m=3－t． ii) 当－1≤ <1，F(x)在 x= 处取值为 ， 在 x=1 处取得极大值 3－t，若方程 F(x)－m=0 恰有两解， 此时 m= 或 m=3－t． iii) 当 ≥1 时，不存在这样的实数 m，使得 F(x)－m=0 恰有两解．.…..14 【链接高考】本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论. 在新高考中每年有一 2543 2)1(242322 +⋅+++⋅+⋅+⋅= n n nS  2 nS = 4 5 2 32 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n+ +⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ 3 4 5 2 32 2 2 2 2 ( 1) 2n n nS n+ += − ⋅ − − − − + + ⋅ 3 3 4 5 2 32 (2 2 2 2 ) ( 1) 2n nn+ += − − + + + + + + ⋅ 3 3 32 (1 2 )2 ( 1) 21 2 n n nS n +−= − − + + ⋅− 32nn += ⋅ 2 2lg (2 2) lgn n n nc a a n k k+= = + ⋅ 1n nc c +< *n∈N 2( 1)lg ( 2) lgn k n k k+ < + ⋅ ⋅ *n∈N 1k > lg 0k > 21 ( 2)n n k+ < + *n∈N 0 1k< < lg 0k < 21 ( 2)n n k+ > + *n∈N 2 min 1 2 nk n + <  +  1 112 2 n n n + = −+ + 1n = min 1 2 2 3 n n +  = +  2 2 3k < 0 1k< < 60 3k< < 6(0, ) (1, )3k ∈ +∞      <++−− ≥−++− =++−−= 21 2,13 1|2|)( 3 3 3 txtxx txtxx xxtxxF      <−− ≥+− = 2,13 2,33 )(' 2 2 txx txx xF 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 128 3 ++− tt 128 3 ++− tt 2 t 道导数综合题,同学们应高度重视. （1）若圆台的高为 4，母线长为 5，侧面积是 45π，则圆台的体积是（ ）. （A）252π （B）84π （C）72π （D）63π （2）若曲线 x2+y2+a2x+ (1–a2)y–4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身，则实数 a=（ ）. （A） （B） （C） （D） （3）设 ， .tgα，tgβ是方程 的两个不等实 根.则α+β的值为（ ）. （A） （B） （C） （D） （4）等边ΔABC 的顶点 A、B、C 按顺时针方向排列，若在复平面内，A、B 两点分别对应 的复数为 和 1，则点 C 对应的复数为（ ）. （A） （B） （C） （D）–3 （5）对于每一个实数 x，f(x)是 y=2–x2 和 y=x 这两个函数中的较小者，则 f(x)的最大值是（ ）. （A）1 （B）2 （C）0 （D）–2 （6）已知集合 A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy)}，则 A∩B=（ ）. （A）{（x，y）|x2+y2=1，x>0，y>0} （B）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0} （C）{（x，y)|x2+y2=1，y≥0} （D）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0，y≥0} （7）抛物线 y2=2px 与 y2=2q（x+h）有共同的焦点，则 p、q、h 之间的关系是（ ）. （A）2h=q–p （B）p=q+2h （C）q>p>h （D）p>q>h （8）已知数列{an}满足 an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记 Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结 论正确的是（ ）. （A）a100=–a，S100=2b–a （B）a100=–b，S100=2b–a （C）a100=–b，S100=b–a （D）a100=–a，S100=b–a （9）已知ΔABC 的三内角 A，B，C 依次成等差数列，则 sin2A+sin2C 的取值范围是（ ）. （A） （B） （C） （D） （10）如图，在三棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P， Q 满足 A1P=BQ，过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两 部分，则其体积之比为（ ）. （A）3:1 （B）2:1 （C）4:1 （D） :1 （11）中心在原点，焦点坐标为（0， ）的椭圆被直线 3x–y–2=0 截得的弦的中点的 横坐标为 ，则椭圆方程为（ ）. （A） （B） （C） （D） （12）已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0，+∞）上是增函数，且 ，则不等式 f(log4x)>0 的解集为（ ）. （A）{x | x>2}（B）{x | 02}（D）{x | 2} 2 1± 2 2± 2 2 2 1 −或 2 2 2 1 或− 22 παπ <<− 22 πβπ <<− 04332 =+− xx 3 π 3 π− 3 2π 3 2 3 ππ −− 或 i321+− 32− 3− i322 −−     2 3,1     2 3,4 3      2 3,4 3      2 3,4 3 3 25± 2 1 175 2 25 2 22 =+ yx 125 2 75 2 22 =+ yx 17525 22 =+ yx 12575 22 =+ yx 0)2 1( =f 2 1 2 1 2 1 x=3+2cosθ y=cos2θ （13）如图，将边长为 5+ 的正方形，剪去阴影部分后， 得到圆锥的侧面和底面的展 开图，则圆锥的体积是（ ）. （A） （B） （C） （D） （14）一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长为 400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于 千米，那么这批物质全部运到 B 市，最快需要（ ） （A）6 小时 （B）8 小时 （C）10 小时 （D）12 小时 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） （15）函数 的最小正周期是__________. （16）参数方程 （θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是__________. （17）（1+x）6（1–x）4 展开式中 x3 的系数是__________. （18）已知 m，n 是直线，α.β. γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β； ②若 n⊥α,n⊥β,则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β； ④若 n α，m α且 n∥β,m∥β，则α∥β ⑤若 m，n 为异面直线，且 n α，n∥β，m β，m∥α，则α∥β 则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （19）在ΔABC 中，求 的最小值.并指出取最小值时ΔABC 的形状，并说明理由. （20）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱 PB= ，PD= . （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAD； （Ⅱ）若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角， 试求二面角 P—BC—A 的大小. （21）已知 F(x)=f(x)–g(x)，其中 f(x)=loga(x–1)，并且当且仅当点（x0，y0）在 f(x)的图像上时，点（2x0，2y0）在 y=g (x) 的图像上. （Ⅰ）求 y=g(x)的函数解析式；（Ⅱ）当 x 在什么范围时，F(x)≥0？ （22）某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从 A 地运到 B 地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三 种运输工具的主要参考数据如下： 运输工具 途中速度 途中费用 装卸时间 装卸费用 （千米/小时） （元/千米） （小时） （元） 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 2000 飞机 200 16 2 1000 若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为 300 元/小时，问采用哪 种运输工具比较好，即运输过程中的费 用与损耗之和最小. 2 π 3 302 π 3 62 π 3 30 π 3 60 2 20      V 2 3cos3cossin 2 −+= xxxy ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 2sin2sin2sin 222 CBA ++ 15 3 23） 已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行，顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3 个单位，则在 x 轴上截得 的线段为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段的一半；若将抛物线 C 向左平移 1 个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线 C 的方程. （24）已知 a>0，a≠1，数列{an}是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令 bn=anlgan（n∈N） （Ⅰ）求数列{bn}的前 n 项和 Sn； （Ⅱ）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求 a 的取值范围. 高三数学试题（理科）评分参考标准 一、选择题 （1）B； （2）B； （3）C； （4）D； （5）A； （6）D； （7）A； （8）A； （9）D； （10）B； （11）C； （12）C； （13）A； （14）B. 二、填空题 （15）π； （16） ； （17）–8； （18）②，⑤. 三、解答题 （19）解：令 ……………………………………1 分 ………………………3 分 ∵在ΔABC 中， ，∴ …………………4 分 又 . ∴ …………………………………………6 分 …………………………………………………………8 分 ， 当 时，y 取得最小值 .…………………………………9 分 由 知 A=C，………………………………………………………10 分 由 知 ，B=60°.……………………………………………11 分 故 A=B=C=60°， 即 y 取最小值 时，ΔABC 的形状为等边三角形.…………………………12 分 （20）（1）证：由已知 AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 故 BD2=AD2+AB2–2AD • ABcos60° =4+16–2×2×4× =12.…… …………………………………1 分 )2 1,3( − 2sin2sin2sin 222 CBAy ++= 2 cos1 2 cos1 2 cos1 CBA −+−+−= )coscos(cos2 1 2 3 CBA ++−= )2sin212cos2cos2(2 1 2 3 2 BCACA −+−+−= 222 BCA −=+ π 2sin2cos BCA =+ 12cos ≤− CA )2sin212sin2(2 1 2 3 2 BBy −+−≥ 12sin2sin 2 +−= BB 4 3)2 1 2(sin 2 +−= B 12cos =− CA 4 3 2 1 2sin =B 12cos =− CA 2 1 2sin =B °= 302 B 4 3 2 1 ⇒ ⇒ 又 AB2=AD2+BD2， ∴ΔABD 是直角三解形，∠ADB=90°， 即 AD⊥BD.……………………………3 分 在ΔPDB 中，PD= ，PB= ，BD= ， ∴PB2=PD2+BD2，故得 PD⊥BD.……………………………………………5 分 又 PD∩AD=D，∴BD⊥平面 PAD.…………………………………………6 分 （2）由 BD⊥平面 PAD，BD 平面 ABCD. ∴平面 PAD⊥平面 ABCD.……………………………………………………7 分 作 PE⊥AD 于 E，又 PE 平面 PAD.∴PE⊥平面 ABCD. ∴∠PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角，∴∠PDE=60°………………8 分 ∴PE=PDsin60°= . 作 EF⊥BC 于 F，连 PF，则 PF⊥BC. ∴∠PFE 是二面角 P—BC—A 的平面角.……………………………………10 分 又 EF=BD= ，在ΔRtΔPEF 中， . 故二面角 P—BC—A 的大小为 .…………………………………12 分 （21）解：（1）由点（x0，y0）在 y=loga（x–1）的图像上，y0=loga（x0–1），…………1 分 令 2x0=u，2y0=v，则 ， ∴ ，即 .…………………………3 分 由（2x0，2y0）在 y=g（x）的图像上，即（u，v）在 y=g（x）的图像上. ∴ .……………………………………………4 分 （2） . 由 F(x)≥0，即 ①…………………5 分 当 a>1 时，不等式①等价于不等式组 x–1>0 ……………………………………………………………6 分 x2–8x+8≤0 x>2 x>2 .………………………………………………………8 分 当 0−x 224224 +≤≤− x 2242 +≤<⇒ x ⇒ ⇒ x>1 ………………………………………………………………………9 分 x2–8x+8≥0 x≤4– 或 x≥4+ x>2 x>2 .…………………………………………………………11 分 故当 a>1，20，∴F1F2，并满足 F3>F2，此时采用火车较好； ……………………………………………………………………………12 分 （23）解：设所求抛物线方程为(x–h)2=a(y–k) (a∈R，a≠0) ①…………………………1 分 由①的顶点到原点的距离为 5，则 ②…………………………2 分 在①中，令 y=0，得 x2–2hx+h2+ak=0.设方程二根为 x1，x2，则 | x1–x2| = .……………………………………………………3 分 2)12(1 −≤− xx 12 >x 22 22 224 +≥⇒ x 224 + 224 + 250 +S 4100 +S 2200 +S 250 +S 4100 +S 2200 +S 7 1600S 7 1600S 522 =+ kh ak−2 将抛物线①向上平移 3 个单位，得抛物线的方程为 （x–h）2=a（y–k–3），……………………………………………………4 分 令 y=0，得 x2–2hx+h2+ak+3a=0.设方程二根为 x3，x4，则 | x3–x4| = .…………………………………………………5 分 依题意得 = ， 即 4（ak+3a）=ak ③ …………………6 分 将抛物线①向左平移 1 个单位，得（x–h+1）2=a（y–k）， …………………7 分 由过原点，得(1–h)2=–ak ④ …………………8 分 由②③④解得 a=1，h=3，k=–4 或 a=4，h=–3，k=–4 …………………11 分 所求抛物线方程为（x–3）2=y+4， 或（x+3）2=4（y+4）. ………………………………………………13 分 （24）解：（Ⅰ）由题意知 an=an，bn=nanlga. ………………………………………………2 分 ∴Sn=（1 • a+2 • a2+3 • a3+……+n • an）lga. a Sn=（1 • a2+2 • a3+3 • a4+……+n • an+1）lga. 以上两式相减得 （1–a）Sn=（a+a2+a3+……+an–n • an+1）lga ……………………………4 分 . ∵a≠1，∴ . ………………………6 分 （Ⅱ）由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga =aklga[k(a–1)+a]. ………………………………………………7 分 由题意知 bk+1–bk>0，而 ak>0， ∴lga[k(a–1)+a]>0. ①……………………………………………8 分 （1）若 a>1，则 lga>0，k(a–1)+a>0，故 a>1 时，不等式①成立； ……………………………………………………………………10 分 （2）若 0

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