全国高考新课标卷文科数学试题解析

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全国高考新课标卷文科数学试题解析

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.i(2+3i)=( ) ‎ A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 解析:选D ‎2.已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( ) ‎ A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}‎ 解析:选C ‎3.函数f(x)= 的图像大致为 ( )‎ 解析:选B f(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B ‎4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( )‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 解析:选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3‎ ‎5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3‎ 解析:选D 5人选2人有10种选法,3人选2人有3中选法。‎ ‎6.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选A e= c2=3a2 b=a ‎ ‎7.在ΔABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )‎ A.4 B. C. D.2 解析:选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4 ‎8.为计算S=1- + - +……+ - ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )‎ A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4‎ 解析:选B ‎9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )‎ A. B. C. D. 解析:选C 即AE与AB所成角,设AB=2,则BE=,故选C ‎10.若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )‎ A. B. C. D.π 解析:选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。‎ ‎11.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=600,则C的离心率为( )‎ A.1- B.2- C. D.-1‎ 解析:选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=c,由| PF1|+| PF2|=2a可得 ‎12.已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数,满足f(1-x)= f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+‎ ‎…+f(50)= ( )‎ A.-50 B.0 C.2 D.50‎ 解析:选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________.‎ 解析:y=2x-2‎ ‎14.若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________.‎ 解析:9‎ ‎15.已知tan(α- )=,则tanα=__________.‎ 解析:由两角差的正切公式展开可得tanα= ‎16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为300,若ΔSAB的面积为8,则该圆锥的体积为__________.‎ 解析:设母线为2a,则圆锥高为a,底面半径为a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(2)×2=8π 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.‎ ‎18.(12分)‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. ‎ 解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5 (亿元).‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下:‎ ‎(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. ‎ ‎(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎19.(12分)‎ ‎ 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.‎ ‎(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.‎ 连结OB.因为AB=BC=AC,所以ΔABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.‎ ‎(2)解:作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离.‎ 由题设可知OC=AC =2,CM=BC=,∠ACB=45°.‎ 所以OM=,CH==.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎※也可用等积法求 ‎20.(12分)‎ 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.‎ 所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ,解得k=-1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1).‎ ‎ (1)若a=3,求f(x)的单调区间;‎ ‎ (2)证明:f(x)只有一个零点.‎ 解:‎ ‎(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3),f ′(x)=x2-6x-3.‎ 令f ′(x)=0解得x=3-2或x=3+2.‎ 当x∈(–∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f ′(x)>0;‎ 当x∈(3-2,3+2)时,f ′(x)<0.‎ 故f(x)在(–∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.‎ ‎(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于 - 3a=0.‎ 设g(x)= - 3a,则g ′(x)= ≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. ‎ 又f(3a–1)=-6a+2a- =-6(a- )2- <0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.‎ 综上,f(x)只有一个零点.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα,‎ 当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得2cosα+sinα=0,,于是直线l的斜率k=tanα=-2.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=1时, 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.得a≤-6或aα2,‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A ‎7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C 二、填空题 ‎13.y=2x–2 14.9 15. 16.8π 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ ‎18.解:‎ ‎(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=99+17.5×9=256.5(亿元).‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下:‎ ‎(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①‎ 得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.学科@网 ‎19.解:‎ ‎(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.‎ 连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.‎ 由知,OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离.‎ 由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.‎ 所以OM=,CH==.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得.‎ ‎,故.‎ 所以.‎ 由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x–1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 ‎,即.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为 或.‎ ‎21.解:‎ ‎(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.‎ 令f ′(x)=0解得x=或x=.‎ 当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;‎ 当x∈(,)时,f ′(x)<0.‎ 故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.‎ ‎(2)由于,所以等价于.‎ 设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.学·科网 又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.‎ 综上,f(x)只有一个零点.‎ ‎22.解:‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程为.‎ 当时,的直角坐标方程为,‎ 当时,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程 ‎.①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.‎ 又由①得,故,于是直线的斜率.‎ ‎23.解:‎ ‎(1)当时,‎ 可得的解集为.‎ ‎(2)等价于.‎ 而,且当时等号成立.故等价于.‎ 由可得或,所以的取值范围是.‎
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