2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第七章7-4基本不等式及其应用
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)＋≥2(a，b同号).
(3)ab≤2 (a，b∈R).
(4)≥2 (a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.( × )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件.( × )
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.
答案 81
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤()2＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.(教材改编)若00，
故＝·
≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立.
∴0<≤.
3.(教材改编)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，函数z＝3x＋27y＋3的最小值是________.
答案 9
解析 z＝3x＋33y＋3≥2＋3＝2＋3＝2＋3＝9，当且仅当3x＝33y，即x＝1，y＝时，z取最小值.
4.(教材改编)已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
答案
解析 1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤()2＝，
当且仅当x＝4y＝，即时，(xy)max＝.
5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sin x＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2；③若x∈R，则≥4.其中正确结论的序号是________.
答案 ①③
解析 ①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0,1]，
所以①成立；
②只有在lg a>0，lg b>0，
即a>1，b>1时才成立；
③＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
例1 (1)已知01)的最小值为________.
答案 (1) (2)1 (3)2＋2
解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号.
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立.
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立.
引申探究
1.条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值.
解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)
＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号.
2.已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值.
解 由＋＝4，得＋＝1.
∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.
当且仅当a＝b＝时取等号.
3.将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值.
解 ∵a＋2b＝3，
∴a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号.
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
(2)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________.
答案 (1)5 (2)－2
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)
＝＋＋＋≥＋＝5.
(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y
＝＋·＋4(y－)
≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)∵a＋b＝2，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立.
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为________.
(2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则＋的最小值是________.
答案 (1) (2)2＋
解析 (1)由题意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0，
∴＋＝＋
＝＋＋＋
＝＋＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，即lg y＝2lg x，
即y＝x2时取等号.
(2)过点A作AO⊥平面BCD于点O，则O为△BCD的重心，所以OB＝××＝，
所以AO＝＝2.
又VP—BCD＋VP—ACD＝VA—BCD，
所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2.所以＋＝(＋)(x＋y)＝(4＋＋)≥2＋，当且仅当x＝3－，y＝－1时取等号.
思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
(1)设x，y>0，且x＋y＝4，若不等式＋≥m恒成立，则实数m的最大值为________.
(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
答案 (1) (2)8
解析 (1)＋＝(＋)()＝(5＋＋)≥(5＋2×2)＝，当且仅当y＝2x＝时等号成立.
(2)年平均利润为＝－x－＋18
＝－(x＋)＋18，
∵x＋≥2＝10，
∴＝18－(x＋)≤18－10＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，取等号.
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 若不等式x＋2≤a(x＋y)对任意的实数x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的最小值为________.
答案
解析 由题意得a≥＝恒成立.
令t＝ (t>0)，则a≥，再令1＋2t＝u(u>1)，则t＝，故a≥＝.因为u＋≥2(当且仅当u＝时等号成立)，故u＋－2≥2－2，从而0<≤＝，故a≥，即amin＝.
命题点2 求参数值或取值范围
例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________.
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
答案 (1)12 (2)[－，＋∞)
解析 (1)由＋≥，
得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝时等号成立)，
∴m≤12，∴m的最大值为12.
(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－(x＋)＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞).
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.
(2016·江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
解 (1)设每件定价为t元，
依题意得(8－×0.2)t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元.
(2)依题意知，x>25，
且ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x，
等价于a≥＋x＋(x>25).
由于＋x≥2＝10，
当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
8.利用基本不等式求最值
典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________.
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________.
错解展示
解析 (1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2，
∴≥2，∴x＋y≥2＝4，
∴x＋y的最小值为4.
(2)∵2x＋≥2，∴y＝1－2x－≤1－2.
∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－2].
答案 (1)4 (2)(－∞，1－2]
现场纠错
解析 (1)∵x>0，y>0，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，
∴当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋2，＋∞).
答案 (1)3＋2 (2)[1＋2，＋∞)
纠错心得
利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.(教材改编)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________.
①a2＋b2>2ab；
②a＋b≥2；
③＋>；
④＋≥2.
答案 ④
解析 因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab>0，所以＋≥2＝2.对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误.
2.(教材改编)用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是________ cm2.
答案 16
解析 设矩形长为x cm(00,8－x>0，可得S≤()2＝16，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，Smax＝16.所以矩形的最大面积是16 cm2.
3.当x>0时，函数f(x)＝有最________值，为________.
答案 大 1
解析 f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号.
4.(2016·盐城模拟)函数y＝的最小值为______.
答案 2
解析 y＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x＝0时，y取到最小值2.
5.设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”).
答案 ≤
解析 因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥，
所以loga≥loga＝logat.
6.设f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，则的取值范围是________.
答案 [，]
解析 ＝＝1＋，
当x＝0时，＝1；
当x>0时，＝1＋≤1＋＝；
当x<0时，x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2，
则＝1＋≥1－＝.
∴∈[，].
*7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是________.
答案 6
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴最小值为6.
8.(2016·南京一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，
∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号).
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，
即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12
(当且仅当x＝－2y时取等号).
综上可知4≤x2＋4y2≤12.
9.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为________.
答案 4
解析 由题意，知
所以＝＝＝＋2
≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立.
10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划在2015年的基础上增长率为b(a，b＞0)，若这两年的平均增长率为q，则q与的大小关系是________.
答案 q≤
解析 设2014年的年产量为1，
则2016年的年产量为(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋q)2＝(1＋a)(1＋b)，
∴1＋q＝≤＝1＋，
∴q≤，当且仅当a＝b时，取“＝”.
11.(2016·泰州模拟)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________.
答案 3
解析 因为2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，解得logab＝或logab＝3，因为a>b>1，所以logab∈(0,1)，故logab＝，从而b＝，因此a＋＝a＋＝(a－1)＋＋1≥3，当且仅当a＝2时等号成立.
12.(2016·南通模拟)设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________.
答案 6＋4
解析 方法一 因为－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈(－，)，则3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立.
方法二 令t＝3x2－2xy，则y＝，代入方程－y2＝1并化简得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，则8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋4，当取得最小值时，u＝2＋满足题意.
方法三 因为－y2＝1＝(＋y)(－y)，
所以令＋y＝t，则－y＝，
从而
则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立.
13.(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________.
答案 8
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，
sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
由已知，sin A＝2sin Bsin C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C.
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
A，B，C全为锐角，两边同时除以cos Bcos C得：
tan B＋tan C＝2tan Btan C.
又tan A＝－tan(B＋C)＝－
＝.
∴tan A(tan Btan C－1)＝tan B＋tan C.
则tan Atan Btan C－tan A＝tan B＋tan C，
∴tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋
2tan Btan C≥2，
∴≥2，
∴tan Atan Btan C≥8.
14.已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数).
(1)解不等式f(x)a时，f(x)有最小值为6，求a的值.
解 (1)f(x)0时，(x＋)(x－a)<0，
∴解集为{x|－0，
解集为{x|x>－或x0).
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有：2＋2a＝6，
解得a＝1.
