江苏高考解析几何压轴题30题

江苏高考解析几何压轴题30题

B A O x y l P C ‎1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ 解：（1）由题意得， ，且 ，解得 则，‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ ‎2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为为半焦距）直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A、B.‎ ‎（1）求椭圆方程和直线方程；‎ ‎（2）试在圆N上求一点P，使。‎ ‎3.如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．‎ ‎（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积； ‎ ‎（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值； ②求的取值范围．‎ 解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，‎ 即， 联立，解得或（舍），即． ………………2分 连BF，则直线BF：，即，而，． …4分 故． ………………………5分 ‎（2）解法一：①设，且，则直线PM的斜率为，‎ 则直线PM的方程为，联立化简得，解得，…8分 ‎ 所以，， 所以为定值． ………10分 ‎② 由①知，，，‎ 所以， …………………13分 令，故，‎ 因在上单调递增，故，即的取值范围为．…16分 解法二：①设点，则直线PM的方程为，令，得. ……7分 所以，，所以（定值）.…10分 ‎②由①知，，，‎ 所以 ‎ ‎=． …13分 （第4题图） ‎ 令，则，因为在上单调递减，‎ 所以，即的取值范围为． ……16分 ‎4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足 ‎（），，为坐标原点.‎ ‎（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.‎ 解：（1） ‎ 直线的方程为：，直线的方程为： …………4分 由解得： 点的横坐标为 …………6分 ‎（2）设 ‎ ‎， 即 …9分 联立方程得：，消去得：，解得：或 …12分 ‎ 解得：，综上，椭圆离心率的取值范围为．…15分 ‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. （1）求椭圆的方程; （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由; （3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ 解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.…………………2分 又因为，所以椭圆C的标准方程为. …………………………4分 ‎（2）直线的方程为，由消元得，.‎ 化简得，，所以，. ………………………6分 当时，，‎ 所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.…8分 直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，‎ 则，即恒成立，所以恒成立，所以即 因此定点的坐标为. …………………………………10分 ‎（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，………12分 由，得 …………14分 ‎，当且仅当即时取等号，‎ 所以当时，的最小值为． …………………………16分 y x O F1‎ F2‎ B C ‎（第17题）‎ D ‎6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，‎ 且经过点(，)． （1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设 直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．‎ 解：（1）方法一：依题意，c=，a2=b2+3，…………………………2分 由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4．故所求椭圆方程为：．离心率e=．… 5分 ‎ 方法二 由椭圆的定义知，2a==4， 即a=2．又因c=，故b2=1．下略．‎ ‎ （2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2====． 8分 ‎ ②方法一由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=．‎ ‎ 所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2==， 所以，=4．……… 11分 ‎ 又2==，故．所以，OB2+OC2 ==5．……… 14分 ‎ 方法二由①知，k3k4=k1k2=．将直线y=k3x方程代入椭圆中，得．…………………… 9分 ‎ 同理，．所以，==4．……… 11分 下同方法一．‎ ‎7.如图，已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.‎ ‎（1）椭圆的标准方程； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的最大值.‎ 解：（1）由题意，解得，所以，椭圆方程为． …………………4分 ‎（2）解法一： ， ……………6分 直线方程为：，联立，得，所以　到的距离 ‎， 直线方程为：，联立，得…8分 所以，所以 ‎，……10分 所以，‎ 所以， 令，则，…………14分 当且仅当，即时，取“”， 所以的最大值为．…………16分 解法二：直线方程为，联立，得， ……………6分 直线方程为：，联立，得， ……………8分 ‎ ……10分 ‎， …………………………………12分 令，则，…………………14分 第18题 当且仅当，即时，取“”，所以的最大值为． ………16分 ‎8.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线 交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，‎ 并求出该定值；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）由，设，则，，‎ 所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为 ………………5分 ‎（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，‎ 由点的坐标为，所以，直线的方程为，‎ 联立直线与椭圆的方程，解得，‎ 又过原点，于是，，所以直线的方程为，‎ 所以点到直线的距离，………………10分 ‎（3）假设存在点，使得为定值，设，‎ 当直线与轴重合时，有，‎ 当直线与轴垂直时，， 由，解得，，所以若存在点，此时，为定值2. ………………12分 根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值2……………16分 x y A O B C D M N ‎(第18题图)‎ ‎9.如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，‎ 直线l：与椭圆E相交于A，B两点，，C，D是椭圆E上异于A，B两点，‎ 且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.‎ ‎（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值.‎ 解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．…… 2分 故椭圆方程为＋＝1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．‎ 由解得A(b，b)．又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．故a＝，b＝…5分 ‎（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．‎ ‎①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2．‎ 从而k1 ·kCB＝·＝＝＝＝－． 所以kCB＝－． …… 8分 同理kDB＝－．于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．‎ 由解得 从而点N的坐标为(，)． ‎ 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．………… 11分 所以kMN＝ ＝＝－1．即直线MN的斜率为定值－1． ……… 14分 ‎②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，‎ 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．‎ 仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．‎ BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，从而kMN＝－1也成立．‎ 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ………… 16分 方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．‎ ‎①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．显然k1≠k2．‎ 直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．‎ 由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．‎ 设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝． ‎ 所以C(，)．又B(－2，－1)，所以kBC＝＝－．………… 8分 所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．‎ 由解得从而点N的坐标为(，)． ‎ 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．……… 11分 所以kMN＝ ＝＝－1．即直线MN的斜率为定值－1． ……………… 14分 ‎②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，‎ 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．‎ 仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．‎ BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，从而kMN＝－1也成立．‎ 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ……………… 16分 ‎10.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．‎ ‎（1） 求椭圆C的方程；（2） 求证：AP⊥OM；‎ ‎（3） 试问 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值．‎ 解：（1）由题意得，，解得，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．……4分 （2） 设，显然直线的斜率都存在，设为，‎ ‎ 则，，‎ 所以直线的方程为：，‎ 消去得，化简得，故点在定直线上运动．……10分 （2） 由（2）得点的纵坐标为，又，所以，‎ 则，所以点到直线的距离 为， ‎ 将代入得，所以面积 ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ 故时，面积的最大值为． ……………16分 ‎12.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且∆是边长为的等边三角形. 求椭圆的方程；‎ 过右焦点的直线与椭圆交于两点，记∆，∆的面积分别为.若，求直线的斜率.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.‎ ‎（1）若AC=4，求直线CD的方程;‎ ‎（2）证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).‎ 解析：(1) 因为，所以，…………………………………1分 又因为，所以，所以，由，得，…………… 4分 所以直线的斜率，所以直线的方程为，即．…………6分 ‎（2)设，则．…………………………………………7分 则，因为，所以，所以点的坐标为 …8分 又设的外接圆的方程为，则有…10分 解得,,所以的外接圆的方程为，…12分 整理得，令，所以（舍）或 所以△的外接圆恒过定点为．…………………………………………14分 ‎14.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．‎ 解：（1）设，∵直线斜率为时，，∴，∴…………３分 ‎∴，∵，∴．∴椭圆的标准方程为． …６分 ‎（２）以为直径的圆过定点．设，则，且，即，‎ ‎∵，∴直线方程为： ，∴ ，‎ 直线方程为： ，∴， ………………９分 以为直径的圆为，即， …12分 ‎∵，∴，令，，解得，‎ ‎∴以为直径的圆过定点．…16分 ‎（第18题）‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．‎ 解（1）由题意，得，，故， 从而，‎ ‎ 所以椭圆的方程为．① ………5分 ‎ （2）证明：设直线的方程为， ②‎ ‎ 直线的方程为， ③ ………7分 ‎ 由①②得，点，的横坐标为， 由①③得，点，的横坐标为， ………9分 ‎ 记，，，，则直线，的斜率之和为 ‎…13分 ‎ ． ………16分 ‎16.椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是．‎ ‎（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．‎ 解：设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，‎ 由椭圆的离心率为，可得椭圆方程是，………2分（只要是一个字母，其它形式同样得分，）‎ 焦点，准线，设点，‎ ‎（1）是边长为的等边三角形，则圆半径为，且到直线的距离是，‎ 又到直线的距离是， 所以，，，所以 所以，圆的方程是。 6分 ‎（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，‎ 由点横坐标是得，， 8分 再由得：，，所以直线斜率 ……10分 直线：， 12分 原点到直线的距离，依题意，，所以，所以椭圆的方程是． 15分 M ‎ A ‎ P ‎ F O x ‎ y ‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围．‎ 解：（1）由已知，得，‎ ‎18.已知椭圆E：过点，且离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ 解法一：(Ⅰ)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为．‎ 故 所以，故G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点，则 由所以 所以不共线，所以为锐角 故点G在以AB为直径的圆外．‎ ‎19.如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。‎ ‎⑴求椭圆T与圆O的方程；‎ ‎⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）.‎ ‎①P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；‎ ‎②若，求与的方程.‎ 解: (1)由题意知: 解得可知:‎ 椭圆的方程为与圆的方程……………4分 ‎(2)设因为⊥,则 因为 所以,…………………7分 因为 所以当时取得最大值为，此时点…………9分 ‎(3)设的方程为,由解得；由解：…11‎ 把中的置换成可得，…………………………12分 所以，，‎ 由得解得………………………15分 所以的方程为，的方程为 或的方程为，的方程为…………………………16分 ‎20.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.‎ ‎(1)求圆的方程； (2)设为圆上的一个动点,求的最小值；‎ ‎(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.‎ 解:(1)设圆心,则,解得 (3分)‎ 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)‎ ‎(2)设,则,且 (7分)‎ ‎==,所以的最小值为 (可由线性规划或三角代换求得)…(10分)‎ ‎(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,‎ ‎,由,得 (11分)‎ ‎ 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)‎ ‎ 同理,,所以=‎ ‎ 所以,直线和一定平行… ………(16分)‎ ‎21.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为． （1）若，试求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；‎ ‎（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.‎ 解：（1）设，由题可知，所以，解之得：‎ 故所求点的坐标为或．　　　‎ ‎（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，　　　‎ 解得，或，故所求直线的方程为：或． ‎ ‎（3）设，的中点，因为是圆的切线 所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为： ‎ 化简得：，此式是关于的恒等式，‎ 故解得或 所以经过三点的圆必过定点或. ‎ ‎22.已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C． （1）求证:直线BO平分线段AC； （2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上．‎ 解:（1）由题意，，则，，故椭圆方程为，‎ 即，其中，，‎ ‎∴直线的斜率为，此时直线的方程为，‎ 联立得，解得（舍）和，即，‎ 由对称性知． 直线BO的方程为，线段AC的中点坐标为，‎ AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．‎ ‎（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，‎ 则，．∵，∴设，则，‎ 求得，，∴，‎ ‎∴，‎ 由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线上．‎ ‎23.椭圆C： 两个焦点为，点P在椭圆C上，且,，.‎ ‎(1)求椭圆C的方程. (2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.‎ 解：(1) ，又， ‎ ‎, 所求椭圆C的方程为.‎ ‎(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.‎ 由得,故，‎ ‎ 用代替上式中的，得,‎ 由 即即 ‎ 故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.‎ ‎24.已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．‎ O A B M x y ‎（1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值．‎ O A B M x y 解：（1）将与代入椭圆的方程，得，…………（2分）‎ 解得，．所以椭圆的方程为．…………（6分）‎ ‎（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称．‎ ‎①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时 ‎．……（1分）‎ 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时 ‎．……（2分）‎ ‎②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），‎ 则直线的方程为．设，，‎ 由，解得，，……（4分）‎ 所以，同理可得，‎ 所以．……（7分）‎ 综上，为定值．…………（8分）‎ ‎25.已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1； （3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．‎ 解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．‎ 所以，‎2a==，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为． ……4分 ‎(2)设A(，)，B(，)，则①，②．‎ ‎②－①，得 ．所以，k1=． ………9分 ‎(3)依题设，k1≠k2．设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，‎ 代入椭圆方程并化简得 ．于是，，．…11分 同理，，．‎ 当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==．………………13分 直线MN的方程为，即 ，‎ 亦即 ．此时直线过定点．………………………………15分 当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为． ………16分 ‎26.已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. ‎ 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； （2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；‎ ‎（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.‎ 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分 ‎, , ……2分 椭圆的标准方程为.……4分 ‎（2）证明：设点 将带入椭圆，化简得： ‎,……6分 , ‎ P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分 ‎（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,‎ PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ……8分 圆心（）满足，所以,……9分 圆过定点(2,0)，所以,……10分 圆过, 则 两式相加得：‎ ‎ ,……11分 ‎, .……12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，‎ 由解得: ……13分 代入圆的方程为：,‎ 整理得：,……14分 所以：……15分 解得：或(舍). ‎ ‎ 所以圆过定点(0,1).……16分 ‎(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:‎ .……8分 方程与方程为同解方程., ……11分 圆过定点(2,0)，所以 , ……12分 ‎ 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.‎ 解得: ,……13分 (以下相同)‎ ‎.‎ ‎ .‎ ‎27.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆 （1） 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ （2） 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. 证明：动圆圆心在一条定直线上运动； ‚动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.‎ 解：思路一：设圆：（），①‎ ‎ 易得圆：， ② 圆：，③‎ ‎ 由①②得，将代入得，‎ ‎ 由①③得，将代入得， ‎ ‎ 代入③得，整理得， ‎ ‎ 由得或 所以定点的坐标为，． ‎ ‎ 思路二（几何方法）：利用定点M在直线C‎1C2上，C‎1C2的中点为N，动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2，则CM2= CN2 —CC12+1= C1N2+1=9，进而得出结论．‎ ‎28.如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D。‎ ‎①求点B的轨迹方程； ②当D位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ的方程； ③若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。‎ 解：(1)由已知，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，所以点的轨迹方程为；……4分 ‎ ⑵当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，‎ 所以∥，且，所以的坐标分别为和，…………7分 因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，即直线的方程为． …10分 ‎⑶设点的坐标分别为和，则点的坐标为，‎ 因为点均在圆上，且，所以 ①‎ ‎ ② ③ …………………13分 所以，，．‎ 所以，‎ 即点到坐标原点的距离为定值，且定值为．………………………………16分 O x y A B l ‎29.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且．‎ ‎①求证：原点O到直线AB的距离为定值；②求AB的最小值．‎ 解：（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e．于是．‎ 设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，‎ 则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以．…3分 因为 所以椭圆方程为．…………………5分 ‎（2）①设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知．‎ 当直线的斜率不存在或斜率为时，或 于是． ……………7分 当直线的斜率存在且不为时，则，解得 同理……9分 在Rt△OAB中，，则 ‎，所以．综上，原点到直线的距离为定值．………11分 另解：，所以．‎ ‎②因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值． ，‎ ‎ 令，则，于是， ……………14分 因为，所以，当且仅当，即，取得最小值，因而 所以的最小值为．……………………………………………16分 ‎30.在平面直角坐标系xoy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.‎ ‎（1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为。 ①求圆M的方程；②当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由。‎ 解：（1）设，则直线的斜率分别为……………2分 由题意知，‎ 即所以动点的轨迹方程是……4分（说明：没有范围扣1分）‎ ‎（2）（ⅰ）由题意所以线段的垂直平分线方程为 …………6分 设，则圆的方程为 圆心到轴的距离，由，得，所以圆的方程为 …10分 ‎（ⅱ）假设存在定直线与动圆均相切当定直线的斜率不存在时，不合题意 设直线：则对任意恒成立 由 ……12分 得所以，解得或 所以存在两条直线和与动圆均相切 ………16分（说明：少一条直线扣1分）‎