2017年度高考数学（理）一模试题（湖南卷）

2017年度高考数学（理）一模试题（湖南卷）

湖南省2014年长沙市高考模拟试卷（二模）‎ 数学（理）试题 注意事项：‎ ‎ 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。‎ ‎2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。‎ ‎3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。‎ ‎4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。‎ 姓 名 ‎ 准考证号 ‎ ‎绝密★启用前 高考湘军 长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分：150分 时量：120分钟 说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1．已知复数满足（i为虚数单位），则z的值为 A．i B．－i C．1 D．－1‎ ‎2．设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎3．二项式的展开式中常数项为 A．－15 B．‎15 ‎ C．－20 D．20 ‎ ‎4．设A，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则是的 A．充分且必要条件 B．充分非必要条件 ‎ C．必要非充分条件 D．非充分且非必要条件 ‎5．已知集合，若，使得成立，则实数b的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为 A． B．‎4 ‎ C．3 D．‎ F D A B C ‎8．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则 的值是 A． B． C． D．‎ ‎9．若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 A．12对 B．18对 C．24 对 D．30对 ‎10．已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。‎ ‎（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。‎ ‎11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=_________.‎ ‎12．（选修4－3：不等式证明）不等式有实数解的充要条件是_____.‎ ‎13．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.‎ ‎（二）必做题（14~16题）‎ ‎14．设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为______.‎ ‎15．已知数列中，，若利用如图所示的程 序框图进行运算，则输出n的值为 .‎ ‎16．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、 ‎ b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集 合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好 集”.若集合，集合.则 ‎（1）“好集” P中的元素最大值为 ；‎ ‎（2）“好集” P的个数为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求f(B)的取值范围．‎ ‎18．（12分）在如图所示的几何体中，平面，∥， 是的中点，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；‎ ‎（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎20．（13分）某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.‎ ‎（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?‎ ‎（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.‎ ‎21．（13分）已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.‎ ‎（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；‎ ‎（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值.‎ ‎22.（13分）设函数在上的最大值为（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；‎ ‎（III）设数列的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有成立．‎ ‎2014年长沙市高考模拟试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 因此f (x)的值域为. ……12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，∥，所以平面．‎ 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则相关各点的坐标分别是，，，，‎ ‎， ． ‎ 所以，‎ 因为平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 又因为平面，所以平面． ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．‎ 设是平面的一个法向量，由 得 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤‎3”‎的事件为A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”，‎ 因为P(X＝5)＝×，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以 .……6分 ‎（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，‎ 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，‎ 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，‎ 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，‎ 从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.‎ ‎ ……12分 ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为，‎ 渔场的水质达到有效净化 ‎ 或 ‎ 或，即：，‎ 所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天 .………6分 ‎21.（本小题满分13分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设， （）.‎ 易知斜率存在，设为，则方程为.‎ 由得， …………… ①‎ 由直线与抛物线相切，知.‎ 于是，，方程为.‎ 同理，方程为.‎ 联立、方程可得点坐标为 ，‎ ‎∵ ，方程为，‎ 过抛物线的焦点.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ . ‎ 设（），，‎ 由知，，当且仅当时等号成立.‎ ‎∴ .‎ 设，则.‎ ‎∴ 时，；时，.在区间上为减函数；‎ 在区间上为增函数.‎ ‎∴ 时，取最小值.‎ ‎∴ 当，，‎ 即，时，面积取最小值. ………… 13分 ‎22.（本小题满分13分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎，‎ 当时，由知或， ‎ 当时，则，时，，在上单调递减，‎ 所以 当时，，时，，时，，‎ ‎∴在处取得最大值，即 当 时，由（II）知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 所以，对任意正整数，都有成立． ……13分