2020-2021学年高考数学（理）考点：双曲线
2020-2021学年高考数学（理）考点：双曲线
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
b>0时，10时，e＝(亦称等轴双曲线)；当0.
1．（2020•天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点坐标为，
则直线的方程为，
双曲线的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，
，，
双曲线的方程为，
故选．
2．（2020•新课标Ⅰ）设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意可得，，，
，
，
，
△为直角三角形，
，
，
，
，
，
△的面积为，
故选．
3．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为4，则
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】由题意，设，，可得，，，，
可得，可得，
解得．
故选．
4．（2019•全国）已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，
，
，
，
，
，
，
故选．
5．（2019•新课标Ⅲ）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
联立，解得，．
．
故选．
6．（2019•新课标Ⅲ）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点．若，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的右焦点为，，渐近线方程为：，不妨在第一象限，
可得，，，
所以的面积为：．
故选．
7．（2019•浙江）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】根据渐近线方程为的双曲线，可得，所以
则该双曲线的离心率为，
故选．
8．（2019•北京）已知双曲线的离心率是，则
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】由双曲线，得，
又，得，即，
解得，．
故选．
9．（2019•新课标Ⅱ）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图，
由，可知过点，，
由图可得，得．
故选．
10．（2019•新课标Ⅰ）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，
则，
，
得，
．
故选．
11．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线
，即，，
，，，是梯形，
是的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选．
12．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线
，即，，
，，，是梯形，
是的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选．
13．（2018•浙江）双曲线的焦点坐标是
A．，，， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】双曲线方程可得双曲线的焦点在轴上，且，，
由此可得，
该双曲线的焦点坐标为
故选．
14．（2018•新课标Ⅲ）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为，
可得，即：，解得，
双曲线的渐近线方程为：，
点到的渐近线的距离为：．
故选．
15．（2018•新课标Ⅲ）设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线．的一条渐近线方程为，
点到渐近线的距离，即，
，，
，
，
在三角形中，由余弦定理可得，
，
即，
即，
，
故选．
16．（2018•新课标Ⅱ）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的离心率为，
则，
即双曲线的渐近线方程为，
故选．
17．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，
则：解得，，
解得：，
则．
故选．
18．（2017•全国）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支有两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为
，
由直线与的右支有两个交点，
且直线经过右焦点，
可得，
故选．
19．（2017•天津）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形为原点），则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形为原点），
可得，，即，，
解得，，双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线方程为：．
故选．
20．（2017•新课标Ⅰ）已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的右焦点，
与轴垂直，设，，则，
则，
，则，，
的面积，
同理当时，则的面积，
故选．
21．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的焦点坐标，
则双曲线的焦点坐标为，可得，
双曲线的一条渐近线方程为，
可得，即，可得，解得，，
所求的双曲线方程为：．
故选．
22．（2017•新课标Ⅱ）若，则双曲线的离心率的取值范围是
A．， B．， C． D．
【答案】C
【解析】，则双曲线的离心率为：．
故选．
23．（2020•北京）已知双曲线，则的右焦点的坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是__________．
【答案】，
【解析】双曲线，则，则，则的右焦点的坐标为，
其渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离，
故答案为：，．
24．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，
由题意可得，所以离心率，
故答案为：．
25．（2020•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为：．
26．（2020•新课标Ⅰ）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为3，则的离心率为__________．
【答案】2
【解析】为双曲线的右焦点，为的右顶点，
为上的点，且垂直于轴．所以，
若的斜率为3，可得：，
，代入上式化简可得，，
可得，，
解得．
故答案为：2．
27．（2019•上海）已知数列满足，，均在双曲线上，则__________．
【答案】
【解析】法一：由，可得，
，，
，，
求解极限可得．
方法二：当时，与渐近线平行，在轴的投影为1，渐近线倾斜角为，则，
故
故答案为：．
28．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是__________．
【答案】
【解析】双曲线经过点，
，解得，即．
又，该双曲线的渐近线方程是．
故答案为：．
29．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为__________．
【答案】2
【解析】如图，
，为的中点，且为的中点，
为△的中位线，
又，，则．
设，，，，
点在渐近线上，
，得．
又为的中点，，
在渐近线上，
，得，则双曲线的离心率．
故答案为：2．
30．（2018•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为__________．
【答案】2
【解析】双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：2．
31．（2018•北京）若双曲线的离心率为，则__________．
【答案】4
【解析】双曲线的离心率为，
可得：，解得．
故答案为：4．
32．（2018•上海）双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】双曲线的，，焦点在轴上
而双曲线的渐近线方程为
双曲线的渐近线方程为
故答案为：．
33．（2017•上海）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则__________．
【答案】11
【解析】根据题意，双曲线的方程为：，
其中，
则有，
又由，
解可得或（舍
故，
故答案为：11．
34．（2017•北京）若双曲线的离心率为，则实数__________．
【答案】2
【解析】双曲线的离心率为，
可得：，
解得．
故答案为：2．
35．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】双曲线的右顶点为，
以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．
若，可得到渐近线的距离为：，
可得：，即，可得离心率为：．
故答案为：．
36．（2017•江苏）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，，则四边形的面积是__________．
【答案】
【解析】双曲线的右准线：，双曲线渐近线方程为：，
所以，，，，．．
则四边形的面积是：．
故答案为：．
37．（2018•全国）双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆．
（1）求的轨迹方程；
（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．
【解析】（1）由已知得，，故，所以、，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
（2）设动点，，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得．
38．（2017•上海）已知双曲线，直线，与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点；
（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；
（2）若，点的坐标为，且，求的值；
（3）若，求关于的表达式．
【解析】（1）双曲线，点是的一个焦点，
，，，
的标准方程为：，
的渐近线方程为．
（2），双曲线为：，，，
，设，，
则有定比分点坐标公式，得：
，解得，，，
．
（3）设，，，，，
则，，，
由，得，
，，
由，得，
，，
，即，即，
，
化简，得，
或，
当，由，得，
由，得，
即，，代入，化简，得：
，解得或，
当时，满足，
当时，由，得（舍去），
综上，得．
强化训练
1．（2020•江西模拟）圆与双曲线的两条渐近线相切于、两点，若，则的离心率为
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】圆的圆心为，
双曲线的两条渐近线方程为，
由圆和两条渐近线都关于轴对称，可设，，，，
由题意可得，则，
由为切点，直线与渐近线垂直，
可得，则，
可得双曲线的离心率为，
故选．
2．（2020•红岗区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于、两点，若的周长为24，则当取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】可设，由代入双曲线的方程可得，
则，，
由题意可得，
结合，上式化简可得，可得，
则，
设，，导数为，
当时，，递减；当时，，递增．
可得在处取得最大值．
即有，，即，
而焦点到渐近线的距离为，
故选．
3．（2020•湖北模拟）已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，，若且，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
又， 是等腰直角三角形，
，渐近线方程不妨为，即
则 到该渐近线的距离为
，
又，，
又，
由余弦定理，
得，
整理得，，
故选．
4．（2020•运城模拟）当变化时，对于双曲线，值不变的是
A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率
【答案】D
【解析】由题意可得，，，显然双曲线实轴长，虚轴长，焦距都是变量；
而是常数．
故选．
5．（2020•镜湖区校级模拟）双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则
A．6或30 B．6 C．30 D．6或20
【答案】C
【解析】双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，
可得，解得，
点在上，，所以在双曲线的右支上，
则．
故选．
6．（2020•香坊区校级一模）已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
设在渐近线上，可得，
若，则为的中点如图，
且，可得为等腰三角形，
则，
在直角三角形中，可得，
即，，
则双曲线的方程为．
故选．
7．（2020•二模拟）双曲线的左、右焦点分别为，，过其中一个焦点作轴的垂线，与交于，两点，若，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，双曲线的通径为：，双曲线的左、右焦点分别为，，过其中一个焦点作轴的垂线，与交于，两点，若，
可得，即：，即，．
解得．
故选．
8．（2020•南岗区校级模拟）已知双曲线的右焦点为，和为双曲线上关于原点对称的两点，且在第一象限．连结并延长交于，连结，，若△是以为直角的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为，，
由，，可得四边形为平行四边形，
则，且，
连接，由双曲线的定义可得，
又，
在直角三角形中，可得，①
在直角三角形中，可得，
化为，代入①可得，
即有，即．
故选．
9．（2020•安徽模拟）已知双曲线的离心率为2．则其渐近线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的离心率为2．
可得：，即，
可得，
则双曲线的渐近线方程为：．
故选．
10．（2020•汉阳区校级模拟）已知为双曲线的右支上一点，、为其左、右焦点，且焦距的长度为6，为的角平分线，是与轴的交点，是坐标原点，满足，，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，焦距的长度为6，满足，，
故，；
为的角平分线，
；
设，则；
△中，；①
△中，；②
联立①②可得：；
；
．
故选．
11．（2020•东湖区校级三模）已知、为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点．若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】、为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点，
若恰好被轴平分，
则垂直轴，因为，
所以，可得，，可得，
可得，则．
则的渐近线方程为．
故选．
12．（2020•辽宁模拟）已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，分别为双曲线的两个焦点，
不妨设双曲线的焦点坐标为、，
，所以，，
，，双曲线上的点到原点的距离为，所以，
，，，，，设，，，把点的坐标代入双曲线方程可得：，
该双曲线的渐近线方程．
故选．
13．（2020•碑林区校级模拟）双曲线的左、右焦点为，，以为圆心，为半径作圆，过作直线与圆切于点，若在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】 为圆的切线，故，
又，，
，，
．
故选．
14．（2020•思明区校级一模）已知、为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，线段与双曲线的左支交于点，，
，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：，
不妨设，
，
，，
，，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，
，，
在△中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，
即．
故选．
15．（2020•黄州区校级三模）已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第一象限，若，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意可得直线的方程为：，与渐近线联立，
可得，，
因为，即，
整理可得，，即，
因为，
解得．
故选．
16．（2020•吉林模拟）已知是双曲线的左焦点，为双曲线右支上一点，圆与轴的正半轴交点为，的最小值4，则双曲线的实轴长为
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，设为双曲线的右焦点，则，，，，．
，
三点，，共线时取等号．
所以，解得，故实轴长为2．
故选．
17．（2020•松原模拟）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若△的外接圆半径为4，且为锐角，则
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】点是双曲线上一点，，，，，
△的外接圆半径为4，可得圆的圆心，圆的方程为：，不妨设在第一象限，
圆的方程与双曲线联立可得，
．
故选．
18．（2020•红岗区校级模拟）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的焦距为
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程是，
可得，所以，
所以双曲线的焦距为6．
故选．
19．（2020•龙潭区校级模拟）设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，
可得，所以，即，
所以双曲线的离心率为：．
故选．
20．（2020•运城模拟）过双曲线的左焦点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，与轴交于点，若，则双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知点在第二象限，点在第一象限，直线方程为，
由得，由得，，
由，可得，即整理得，
又因为，所以，得，
所以．
故选．
21．（2020•大同模拟）已知双曲线的右焦点，半焦距，点到直线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意可得，，，解得：，，
所以双曲线的方程为：；
（2）证明：设设过的弦所在的直线方程为：，，，，，
则有中点，，
联立直线与双曲线的方程：整理可得：，
因为弦与双曲线有两个交点，所以，
，所以，
所以，；
当时，点即是，此时直线为轴；
当时，将的坐标中的换成，
同理可得的坐标，，
①当直线不垂直于轴时，
直线的斜率，
将代入方程可得直线，
化简可得，
所以直线恒过定点；
②当直线垂直于轴时，可得，直线也过定点；
综上所述直线恒过定点．
22．（2019•陕西三模）设离心率为3，实轴长为1的双曲线的左焦点为，顶点在原点的抛物线的准线经过点，且抛物线的焦点在轴上．
求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线与抛物线交于不同的两点，，且满足，求的最小值．
【解析】离心率为3，实轴长为1，即，，
可得，，，
可设抛物线的方程为，，
可得，即，
可得抛物线的方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，设点，、，，
则，，
将直线的方程与抛物线的方程联立，得，
由韦达定理得，，
，，即，
由△恒成立，
则
，
当且仅当时，取得最小值12．
23．（2019•天河区校级三模）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且的渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．
【解析】（1）根据题意，的渐近线方程为，则设双曲线的方程为，则，，
又双曲线的焦距为4，则，即，
于是由，
故的方程为；
（2）根据题意，将代入得，
由直线与椭圆有两个不同的交点得，即，①
将代入得，
由直线与双曲线有两个不同的交点，，
则有，即且，②
设，，，，则，，
则得，
而，
于是，解此不等式得，或，③
由①，②，③得，或，
故的取值范围为．
24．（2019•龙岩模拟）双曲线的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，，直线与直线的交点为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
【解析】（1）因为，，
设，，，则，，且，①，
因为动直线交双曲线于不同的两点，，所以且，
因为直线的方程为，②，
直线的方程为，③，
由②③得，
把①代入上式得，化简得，
所以点的轨迹的方程为．
（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，得，
则△，
设，，，，则，，
所以的中点，，
同理的中点，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得，
所以直线恒过定点，，即过两弦，中点的直线恒过定点，．
25．（2019•丹东一模）已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，分别为的左右顶点，为异于，一点，直线与分别交轴于，两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点．
【解析】（1）设，因为离心率为2，所以，．
所以的渐近线为，由，得．
于是，，故的方程为．
（2）方法一、设，，因为，，
可得直线与方程为，．
由题设，所以，，，
中点坐标，于是圆的方程为．
因为，所以圆的方程可化为．
当时，，因此经过两个定点和．
方法二、设，，因为，，
可得直线与方程为，，
由题设，所以，．
设是圆上点，则，即，
于是圆的方程为．
因为，所以圆的方程可化为．
当时，，因此经过两个定点和．
26．（2019•浦东新区一模）已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．
（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：
即，所以，
从而，，
所以．
（2）设，，则由条件知：，，即．
所以，，
代入双曲线方程知：
双曲线的方程：，
（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为：，
令，，所以，，令，所以，，令，所以，
故以为直径的圆的方程为：，
即，
即，
若以为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过轴上两个定点和．
27．（2018•临川区校级模拟）已知曲线是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段是过曲线右焦点的一条弦，是弦的中点．
（1）求曲线的方程；
（2）当点在曲线上运动时，求点到轴距离的最小值；
（3）若作出直线，使点在直线上的射影满足．当点在曲线上运动时，求的取值范围．【参考公式：若，为双曲线右支上的点，为右焦点，则．为离心率）】
【解析】（1）设双曲线的方程为，
由题意可得，，
由，解得，，，
即有曲线的方程是；
（2）由（1）知，曲线的右焦点的坐标为，若弦的斜率存在，
则弦的方程为：，代入双曲线方程得：
，
设点，， ，，
由△，可得，显然成立；
，，
解得，
点到轴距离：，
而当弦的斜率不存在时，点到轴距离为．
所以点到轴距离的最小值为2．
（3）点在直线上的射影满足，，
到直线的距离为①
由焦半径公式，
可得②
将②代入①，得：，
，且，
．
28．（2018•青岛二模）在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线上．不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知动直线与轨迹交于不同的两点、，且与圆交于不同的两点、，当变化时，恒为定值，求常数的值．
【解析】（1）点、分别为，，，
由已知，
，
，，
点在双曲线上，
，
则，
即，
解得，，
，
连接，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长为，
，
动点的轨迹是以，分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，（除去左右定点），
（2）设，，，，由题意：得，
，，
又△，
，
又直线到定圆圆心的距离为，
，
为定值，
为定值），
化简得，
且，
，
解得．
29．（2018•浦东新区二模）已知双曲线．
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点、，求线段的中垂线在轴上截距的取值范围．
【解析】（1）双曲线的右焦点为，，渐近线方程为：．
到渐近线的距离为，
圆的方程为．
（2）设经过点的直线方程为，，，，，
联立方程组，消去得：，
，解得．
的中点为，，
线段的中垂线方程为：，
令得截距．
即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．
30．（2018•青岛二模）在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线上．不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）在动点的轨迹上有两个不同的点，、，，线段的中点为，已知点，在圆上，求的最大值，并判断此时的形状．
【解析】（1）设，分别为，
可得，，
又点在双曲线上，，
解得，．
连接，，，四边形的周长为平行四边形．
四边形，动点的轨迹是以点、分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点），
动点的轨迹方程；
（2），，．
．
当时取最值，
此时，为直角三角形．
