中考数学压轴题专项训练题二附答案

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中考数学压轴题专项训练题二附答案

‎2019中考数学压轴题专项训练题二 如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.‎ ‎(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标;‎ ‎(2)如图2,若AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,s有最大值,最大值是多少?‎ ‎(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标?‎ (1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD•BC=AP•BP.‎ ‎(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.‎ ‎(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:‎ 如图3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.‎ ‎ ‎ 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,tan∠ACB=2,将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF.点A的对应点为点D,点B的对应点为点E,点C的对应点为点F,抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A,C,F.‎ ‎(1)求抛物线所对应函数的表达式;‎ ‎(2)在边DE上是否存在一点M,使得以O,D,M为顶点的三角形与△ODE相似,若存在,求出经过M点的反比例函数的表达式,若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在x轴的上方是否存在点P,Q,使以O,F,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍,且点P在抛物线上,若存在,请求出P,Q两点的坐标;若不能存在,请说明理由;‎ ‎(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得HA﹣HC的值最大,若存在,直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:‎ ‎(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);‎ ‎(2)设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?‎ ‎(3)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.‎ 如图所示,已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标;‎ ‎(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;‎ ‎(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.‎ 答案:‎ ‎1.解:(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,‎ ‎∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4.BE==3.∴CE=2.‎ ‎∴E点坐标为(2,4).在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,又∵DE=OD.∴(4﹣OD)2+22=OD2.‎ 解得:OD=2.5.∴D点坐标为(0,2.5).‎ ‎(2)如图②∵PM∥ED,∴△APM∽△AED.∴,又知AP=t,ED=2.5,AE=5,PM=0.5t×2.5=0.5t,又∵PE=5﹣t.而显然四边形PMNE为矩形.‎ S矩形PMNE=PM•PE=0.5t×(5﹣t)=﹣0.5t2+2.5t;∴S四边形PMNE=﹣0.5(t﹣2.5)2+,‎ 又∵0<2.5<5.∴当t=2.5时,S矩形PMNE有最大值.‎ ‎(3)(i)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA(如图①)‎ 在Rt△AED中,ME=MA,∵PM⊥AE,∴P为AE的中点,∴t=AP=0.5AE=2.5.‎ 又∵PM∥ED,∴M为AD的中点.过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线,‎ ‎∴MF=0.5OD=1.25,OF=0.5OA=2.5,∴当t=2.5时,(0<2.5<5),△AME为等腰三角形.‎ 此时M点坐标为(2.5,1.25).‎ ‎(ii)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5(如图②)‎ 在Rt△AOD中,AD===.‎ 过点M作MF⊥OA,垂足为F.∵PM∥ED,∴△APM∽△AED.∴.‎ ‎∴t=AP===2,∴PM=t=.∴MF=MP=,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2,‎ ‎∴当t=2时,(0<2<5),此时M点坐标为(5﹣2,).‎ 综合(i)(ii)可知,t=2.5或t=2时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,‎ 相应M点的坐标为(2.5,1.25)或(5﹣2,).‎ ‎2.(1)证明:如图1,‎ ‎∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,‎ ‎∴∠APD=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴,∴AD•BC=AP•BP;‎ ‎(2)结论AD•BC=AP•BP仍成立;理由:证明:如图2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,‎ 又∵∠BPD=∠A+∠APD,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD,‎ ‎∵∠DPC=∠A=θ,∴∠BPC=∠APD,又∵∠A=∠B=θ,∴△ADP∽△BPC,∴,∴AD•BC=AP•BP;‎ ‎(3)解:如下图,过点D作DE⊥AB于点E,‎ ‎ ‎ ‎∵AD=BD=10,AB=12,∴AE=BE=6∴DE==8,‎ ‎∵以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,∴DC=DE=8,∴BC=10﹣8=2,‎ ‎∵AD=BD,∴∠A=∠B,又∵∠DPC=∠A,∴∠DPC=∠A=∠B,‎ 由(1)(2)的经验得AD•BC=AP•BP,‎ 又∵AP=t,BP=12﹣t,∴t(12﹣t)=10×2,∴t=2或t=10,∴t的值为2秒或10秒.‎ ‎3.解:(1)∵矩形OABC,∴BC=OA=1,OC=AB,∠B=90°,‎ ‎∵tan∠ACB=2,∴AB:BC=2∴OC:OA=2,则OC=2,‎ ‎∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF,‎ ‎∴OF=2,则有A(﹣1,0)C(0,2)F(2,0)‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A,C,F,把点A、C、F坐标代入 得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2,‎ ‎(2)存在,当∠DOM=∠DEO时,△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.‎ ‎∴DM2=0.5,∴点M坐标为(0.5,1),‎ 设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1,把点M代入解得k=0.5‎ ‎∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1,‎ ‎(3)存在符合条件的点P,Q.‎ ‎∵S矩形ABCD=2×1=2,∴以O,F,P,Q为顶点平行四边形的面积为4,‎ ‎∵OF=2,∴以O,F,P,Q为顶点平行四边形的高为2,‎ ‎∵点P在抛物线上,设点P坐标为(m,2),∴﹣m2+m+2=2,解得m1=0,m2=1,‎ ‎∴点P坐标为P1(0,2),P2(1,2)‎ ‎∵以O,F,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,∴PQ∥OF,PQ=OF=2.‎ ‎∴当点P坐标为P1(0,1)时,点Q的坐标分别为Q1(2,2),Q2(﹣2,2);‎ 当点P坐标为P2(1,2)时,点Q的坐标分别为Q3(3,2),Q4(﹣1,2);‎ ‎(4)若使得HA﹣HC的值最大,则此时点A、C、H应在同一直线上,‎ 设直线AC的函数解析式为y=kx+b,把点A(﹣1,0),点C(0,2)代入得 ‎-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2,‎ ‎∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2,∴对称轴为x=0.5‎ ‎∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为(0.5,3)‎ ‎4.解:(1)根据题意得:MA=x,ON=1.25x,‎ 在Rt△OAB中,由勾股定理得:OB===5,作NP⊥OA于P,‎ 如图1所示:则NP∥AB,∴△OPN∽△OAB,∴,即,‎ 解得:OP=x,PN=,∴点N的坐标是(x,);‎ ‎(2)在△OMN中,OM=4﹣x,OM边上的高PN=,∴S=0.5OM•PN=0.5(4﹣x)•=﹣x2+1.x,‎ ‎∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+1.x(0<x<4),配方得:S=﹣(x﹣2)2+1.5,‎ ‎∵﹣<0,∴S有最大值,当x=2时,S有最大值,最大值是1.5;‎ ‎(3)存在某一时刻,使△OMN是直角三角形,理由如下:‎ 分两种情况:①若∠OMN=90°,如图2所示:则MN∥AB,此时OM=4﹣x,ON=1.25x,‎ ‎∵MN∥AB,∴△OMN∽△OAB,∴,即,解得:x=2;‎ ‎②若∠ONM=90°,如图3所示:则∠ONM=∠OAB,此时OM=4﹣x,ON=1.25x,‎ ‎∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA,∴△OMN∽△OBA,∴,即,解得:x=;‎ 综上所述:x的值是2秒或秒.‎ ‎5.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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