中考数学压轴题专项训练题二附答案

中考数学压轴题专项训练题二附答案

‎2019中考数学压轴题专项训练题二 如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．‎ ‎（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；‎ ‎（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？‎ （1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD•BC=AP•BP．‎ ‎（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．‎ ‎（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：‎ 如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．‎ ‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．‎ ‎（1）求抛物线所对应函数的表达式；‎ ‎（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时,解答下列问题：‎ ‎（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时,S有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在,请说明理由．‎ 如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；‎ ‎（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．‎ 答案：‎ ‎1.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE==3．∴CE=2．‎ ‎∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．‎ 解得：OD=2.5．∴D点坐标为（0，2.5）．‎ ‎（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=2.5，AE=5，PM=0.5t×2.5=0.5t，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．‎ S矩形PMNE=PM•PE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；∴S四边形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）2+，‎ 又∵0＜2.5＜5．∴当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值．‎ ‎（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）‎ 在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t=AP=0.5AE=2.5．‎ 又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，‎ ‎∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．‎ 此时M点坐标为（2.5，1.25）．‎ ‎（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）‎ 在Rt△AOD中，AD===．‎ 过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．‎ ‎∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，‎ ‎∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．‎ 综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，‎ 相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．‎ ‎2.（1）证明：如图1，‎ ‎∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，‎ ‎∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；‎ ‎（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，‎ 又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，‎ ‎∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；‎ ‎（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎ ‎ ‎∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，‎ ‎∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，‎ ‎∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，‎ 由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，‎ 又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．‎ ‎3.解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，‎ ‎∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，‎ ‎∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，‎ ‎∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入 得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，‎ ‎（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.‎ ‎∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），‎ 设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5‎ ‎∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，‎ ‎（3）存在符合条件的点P，Q．‎ ‎∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，‎ ‎∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，‎ ‎∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，‎ ‎∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）‎ ‎∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．‎ ‎∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；‎ 当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；‎ ‎（4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，‎ 设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得 ‎-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，‎ ‎∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5‎ ‎∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为（0.5，3）‎ ‎4.解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，‎ 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，‎ 如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，‎ 解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；‎ ‎（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=0.5OM•PN=0.5（4﹣x）•=﹣x2+1.x，‎ ‎∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+1.x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+1.5，‎ ‎∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是1.5；‎ ‎（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：‎ 分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，‎ ‎∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；‎ ‎②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，‎ ‎∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；‎ 综上所述：x的值是2秒或秒．‎ ‎5.‎ ‎ ‎ ‎ ‎