备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题28 平面向量的数量积求解两法

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题28 平面向量的数量积求解两法

专题28 平面向量的数量积求解两法 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法，一是遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解.‎ ‎（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：‎ ‎1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得.其中成为平面向量的一组基底.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）‎ ‎2、向量数量积运算，其中为向量的夹角 ‎3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，‎ 其中：同向 ：反向 ： ‎ ‎4、数量积运算法则：‎ ‎（1）交换律： ‎ ‎（2）系数结合律：‎ ‎（3）分配律：‎ 因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：‎ 例如： ‎ ‎5、若，则 18‎ 由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算 ‎（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：‎ ‎1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.‎ ‎2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：‎ ‎（1）向量的加减运算 ‎ ‎（2）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一.特别的，如果是边上的中线，则 ‎3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角 ‎（二）平面向量的坐标运算 ‎1、向量的坐标表示 ‎（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一.其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标 ‎（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时，终点的坐标 ‎（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则 （可记为“终”“起”‎ 18‎ ‎），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求.另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标 ‎2、向量的坐标运算：设，则有：‎ ‎（1）加减运算： ‎ ‎（2）数乘运算： ‎ ‎（3）数量积运算： ‎ ‎（4）向量的模长： ‎ ‎3、向量位置关系的判定：‎ ‎（1）平行： ‎ ‎（2）垂直： ‎ ‎（3）向量夹角余弦值： ‎ ‎4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决 ‎（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 ‎（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 ‎（3）具备特殊角度的图形（等）‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（ ）‎ A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 以上说法都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 18‎ ‎.‎ 即的值为负数.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ 例2.【2019届贵阳第一中学高考适应月考卷七】如图，在圆中，若，，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，过点作交于点，连接，则为的中点，，‎ ‎∴.又，‎ ‎ ‎ 18‎ ‎，故选C．‎ 例3. 如图，在中，是边上一点，，则_______________‎ ‎【答案】‎ 答案：‎ 例4.如图，已知在中，，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：观察条件，很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,条件中(数量积有了），（模长有了），所以考虑用 18‎ 作为基底.下一步只需将表示出来，（底边比值——联想到“爪”字型图）,解得：‎ 所以 答案：.‎ 例5.在边长为1的正三角形中，设，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，两两数量积均可计算，所以考虑用三边向量进行表示，表示的方法很多，‎ 点睛：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴.坐标完成之时，就是计算的完成之日，且此法在计算上更为简便.‎ 例6.【2019届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．‎ 18‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.‎ 详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,‎ 设，‎ 所以，‎ 所以=，‎ 所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.‎ 故答案为：‎ 点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2‎ 18‎ ‎）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.‎ 例7．如图，在矩形中，，点为中点，点在边上，若，则的值是____________‎ ‎【答案】‎ 答案：‎ y x 例8.如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以为轴，过的垂线作为轴 ‎ 18‎ 可 ‎ ‎ 答案： ‎ 例9.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为_____________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出坐标，可先设高为。‎ 18‎ 解：以为轴建立直角坐标系，设梯形高为 ‎ 则，设动点，则 ‎ ‎ ‎ ‎ （等号成立：）‎ 答案： ‎ 点睛：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用 ‎ 例10. 平面向量满足，则的最小值是______‎ ‎【答案】‎ 而，由轮换对称式不妨设，则 ‎ ‎ ‎ 18‎ 答案： ‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届河北省武邑中学一模】是圆上两个动点，，，为线段的中点，则值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用基底表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．‎ 详解：由，，‎ 所以•=（）=，‎ 又△OAB为等边三角形，所以=1×1×cos60°=．‎ ‎•==.‎ 故选：B ．‎ ‎2．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C 18‎ ‎ ‎ ‎3．【2019届山西省二模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可．‎ 详解：向量与的夹角是，且||=|+|，‎ 18‎ ‎∴向量与+的夹角是120°．‎ 故答案为：120°．‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎4．【2019届山东省潍坊市二模】在等腰中， ， ，点为边的中心，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据等腰三角形的性质判断出，结合向量的加法运算，可得，再根据，即可求出.‎ 详解：∵点为边的中心 18‎ ‎∴， ‎ ‎∵为等腰三角形， ‎ ‎∴，即.‎ ‎∴‎ ‎∵ x/k.w ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查了向量的加法及向量的数量积运算，解题时要注意共线同向的向量数量积结果为正，共线反向的向量数量积结果为负.‎ ‎5．【2019届滨海新区七所重点学校联考】在平行四边形中， ， ， ， 为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ 值，当时取得最大值，故答案是.‎ 点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.‎ ‎6．【2019届广东省佛山市高三检测（二）】直角中，为中点，‎ 18‎ 在斜边上，若,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则,‎ 因为为中点，所以因为，所以 所以 ‎7．【2019届黑龙江省齐齐哈尔市高二模】已知平行四边形中,,,点 是中点，,则_________．‎ ‎【答案】13.‎ ‎ ‎ 答案：13‎ 点睛：给出向量，求的三种方法：‎ ‎(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．‎ ‎(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量，‎ 18‎ 然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．‎ ‎(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出的坐标，通过坐标运算求解．‎ ‎8．【2019届高三下学期第二次调研】已知向量满足，则向量所成的角为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】 由题意， ‎ ‎ 则，解得，‎ ‎ 所以由向量的夹角公式可得，且，‎ 所以.‎ ‎9．【2019届贵州省贵阳市第一中学月考卷（七）】已知向量，，且，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎10.【2019届辽宁省辽南协作校一模】设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】且 ‎【解析】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.‎ ‎11．【2019届浙江省嘉兴市高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，‎ 18‎ ‎________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.‎ ‎12．【2019届河北省武邑中学高三一模】在中，分别是角的对边，向量，向量，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)1.‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，∴‎ 18‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ 18‎