2015高考数学（理）（第十二章 概率与统计）一轮复习题
中档题目强化练——概率与统计
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 基本事件的总数是C，在三种门票中各自选取一张的方法是CCC，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是＝＝，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－＝.
2． 已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则Dη的值为 ( )
ξ
－1
0
1
P
A.－ B. C. D.
答案 D
解析 Eξ＝－1×＋0×＋1×＝－，
Dξ＝2×＋2×＋2×＝，
∴Dη＝D(2ξ＋2)＝4Dξ＝，故选D.
3． 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( )
A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648
答案 D
解析 由题意知，甲获胜有两种情况，
一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36；
二是甲以2∶1获胜，
此时P2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，
故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.
4． 已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为×3×2
－×3×1＝，则所求概率为.
5． 有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是
p(0
，如图所示，
三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，
因此＝＝
＝>(PM，BN为其高线)，故所求概率为.
7． 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.
答案
解析 两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，
A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为，
A中仅有一封信的投法种数是C×2＝4，概率为，
A中有两封信的投法种数是1，概率为，
故A邮箱的信件数ξ的数学期望是
×0＋×1＋×2＝.
8． 随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ<1)＝0.841 3，则P(－1<ξ<0)＝________.
答案 0.341 3
解析 ∵ξ～N(0,1)，
∴P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝
＝0.341 3.
三、解答题
9． 已知集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝.
(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．
解 (1)由已知得A＝{x|x2＋3x－4<0}
＝{x|－4P2 B．P1＝P2
C．P1P2.
2． 一名学生通过某种外语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么，其中恰有一次通过的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 该名学生测试一次有两种结果：要么通过，要么不通过，他连续测试三次，相当于做了3次独立重复试验，那么，根据n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式知，连续测试3次恰有一次获得通过的概率为P＝C1·2＝.
3． 某人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子中放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫作放对了，否则就叫放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望Eξ＝________.
答案 1
解析 因为P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝，
所以Eξ＝1×＋2×＋4×＝1.
4． 某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
答案 10
解析 由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，
∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
5． 在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是每场投6个球，至少投进4个球，且最后2个
球都投进者获奖，否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
(3)已知教师乙在一场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在一场比赛中获奖的概率；教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
解 (1)由题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X～B.
P(X＝k)＝Ck·6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
所以X的数学期望EX＝×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝＝4.
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则P(A)＝C×2×4＋C××5＋6＝.
故教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
(3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件B，则P(B)＝＝，即教师乙在一场比赛中获奖的概率为.显然≠，所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
