专题08+函数与导数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品
专题08 函数与导数小题
一.函数小题
（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现8年15考，每年至少1题，多数年份为2个小题，主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数图象及应用这些性质比较大小、解函数不等式、识别函数图象、研究函数零点或方程的解，考查分段函数求值等，函数单调性与奇偶性及其应用、分段函数问题的考查为基础题，图象、综合利用函数图象性质比较大小或研究函数零点与方程解得个数多为中档题或压轴小题.2019年仍将至少1个函数小题，主要考查函数的图象性质、分段函数或函数的综合应用，难度可能为基础题或中档题或压轴小题．
（二）历年试题比较：
年份
题目
答案
2018年
（12）设函数fx=2-x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1
b>0，0cb
B
（9）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
D
（A）（B）
（C）（D）
2015年
(10)已知函数 ，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
A
(12)设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
（A） （B） （C） （D）
C
2014年
(5)设函数,的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
A
(15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
2013年
(12) 已知函数=，若||≥，则的取值范围是
. . .[-2,1] .[-2,0]
D
2012年
(11)当0<≤时，，则a的取值范围是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
A
(16)设函数=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
2
2011年
（3）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是
（A） (B) (C) (D)
B
(10)在下列区间中，函数=的零点所在的区间为
（A）（，0） (B)（0，） (C) （，） (D)（，）
C
(12)已知函数=的周期为2，当∈[－1,1]时，=，那么函数=的图像与函数的图像的交点共有
（A）10个 (B)9个 (C)8个 (D)1个
A
【解析与点睛】
（2018年）（12）【解析】将函数f(x)的图像画出来，观察图像可知会有2x<02x2)，若f(3)=-89，则实数a是（ ）
A．1 B．-1 C．19 D．0
3
函数f(x)=1-lnx2x-2的定义域为__________．
4
已知函数fx是定义在R上的偶函数，且f0=-1，且对任意x∈R，有f(x)=-f(2-x)成立，则f(2018)的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
5
函数fx=lnxex的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
6
若a=1213，b=log132，c=log123，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b0lg-1x,x<0，若f(m)>f(-m)，则实数m的取值范围是（ ）
A．(-1,0)∪(1,+∞) B．(-∞,-1)∪(1,+∞)
C．(-1,0)∪(0,1) D．(-∞,-1)∪(0,1)
8
已知函数f(x)=x2-2ax+9,x≤1,x+4x+a,x>1,，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________
9
已知函数f(x)=-4x-5,x<0x2,x≥0，若f(x1)=f(x2)且x1<x2，则f(x1+x2)的取值范围是_____.
10
设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实数x，恒有f(-x)=-f(x)，f(2-x)=f(x)，当x∈[-1,0]时，f(x)=x2.若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A．18,16∪(3,7) B．18,16∪(4,6)
C．19,15∪(3,7) D．19,16∪(4,6)
【详细解析】
1.【答案】C
【解析】对于A，函数为奇函数，但在0,+∞无单调性，所以A不合题意．
对于B，由于f(-x)=e-x+ex=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以B不合题意．
对于C，函数f(x)=x3+x为奇函数，且在R上单调递增，所以C符合题意．
对于D，函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，所以f'(x)=1+lnx，所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，不合题意，故选C．
2.【答案】B
【解析】f3=f3-1=f2=3-2+a=-89,解得a=-1,故选B
3.【答案】0,1∪(1,e]
【解析】依题意得x>01-lnx≥02x-2≠0，得x>000，f-e=1e-e>0，结合选项中图像，可直接排除B，C，D，故选A
6.【答案】D
【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得a=(12)13∈(0,1)，根据对数函数的图象与性质，可得b=log132>log133=-1，c=log123f(-m)即fm>-fm，即fm>0，观察函数图像可得实数m的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)，故选A.
8.【答案】a≥2
【解析】当x>1，fx=x+4x+a≥4+a，当且仅当x=2时，等号成立.当x≤1时，fx=x2-2ax+9为二次函数，要想在x=1处取最小，则对称轴要满足x=a≥1并且f1≤4+a，即1-2a+9≤a+4，解得a≥2.
9.【答案】[-4,+∞)
【解析】由f(x1)=f(x2)且x1<x2得-4x1-5=x22,-4x1=x22+5.画出fx的图像，如下图所示，由图可知x1+x2<0，x2≥0，故fx1+x2=-4x1+x2+5 =x22-4x2=x2-22-4≥-4，故f(x1+x2)的取值范围是[-4,+∞).
10.【答案】C
【解析】由题意，函数fx满足f(-x)=-fx，所以函数fx是奇函数，图象关于y轴对称，又由f(2-x)=fx，则f(2-x)=-f-x，即fx=-f(x+2)，可得fx+2=-fx+4，代入可得fx=f(x+4)，所以函数的图象关于x=1对称，且是周期为4的周期函数，又由当x∈[-1,0]时，fx=x2
，画出函数的图象，如图所示，因为gx=fx-logax在x∈(0,+∞)上有且仅有三个零点，即函数y=fx和y=logax的图象在x∈(0,+∞)上有且仅有三个交点，当a>1时，则满足loga3<1loga7>1，解得3-1loga9<-1，解得19b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
3
已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
A． B．
C． D．
4
已知函数f(x)=ex-alnx在[1,2]上单调递增，则a的取值范围是__________.
5
函数fx=-12x2+lnx在1e,e上的最大值是________.
6
已知函数f(x)对于任意实数x都有f(-x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=ex-sinx，若实数a满足flog2a0，则-x<0，所以f(-x)=1-2lnx-x，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=1-2lnxx，此时f'(x)=2lnx-3x2，f'(1)=-3，f(1)=1，所以切线方程为y-1=-3(x-1)，即3x+y-4=0，故选D.
2.【答案】D
【解析】构造函数gx=xfx，因为fx是奇函数，所以gx=xfx为偶函数，当x∈-∞,0时，fx+xf'x<0恒成立，即g'x<0，所以gx=xfx在x∈-∞,0时为单调递减函数，gx=xfx在x∈0,+∞时为单调递增函数，根据偶函数的对称性可知a=3f3,b=f1，c=-2f-2，所以a>c>b，所以选D
3.【答案】C
【解析】由y=xf(x)的图象可得，
当x>1时，xfx>0，所以fx>0，即函数y=f(x)单调递增；
当00，所以fx<0，即函数y=f(x)单调递减；
当x<-1时，xfx<0，所以fx>0，即函数y=f(x)单调递增；
观察选项，可得C选项图像符合题意，故选C
4.【答案】(-∞,e]
【解析】∵f'(x)=ex-ax≥0在[1,2]上恒成立，则a≤(xex)min，令g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex，知g(x)在[1,2]上单调递增，故a≤e.
5.【答案】-12
【解析】由题意，函数fx=-12x2+lnx，可得函数的定义域为(0,+∞)，又由f'x=-x+1x=1-x2x，当x∈(0,1)时，f'x>0，函数fx单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'x<0，函数fx单调递减，所以当x=1时，函数取得最大值，最大值为f1=-12.
6.【答案】12,2
【解析】由题得，当x≥0时，f'(x)=ex-cosx，因为x≥0，所以ex≥e0=1,∴ex-cosx≥0，
所以函数在[0,+∞ )上单调递增，因为f(-x)=f(x)，所以函数是偶函数，所以函数在（-∞,0)上单调递减，因为flog2a0，当x>1时，h'(x)<0，所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以h(x)在x=1
处取得最大值e-e-0-1=-1，所以h(x)的值域为(-∞,-1]，所以a的取值范围是(-∞,-1]，故选C.
8.【答案】D
【解析】当x∈(0,e)时，函数f(x)的值域为114,5.由g'(x)=a-1x=ax-1x可知：当a⩽0时，g'(x)<0，与题意不符，故a>0.令g'(x)=0，得x=1a，则1a∈(0,e)，所以g(x)min=g1a=1+lna，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象如图所示，观察可知1+lna<114,g(e)=ae-1⩾5,解得6e⩽a<e74，故选D.
9.【答案】A
【解析】∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），∴f'（x）=ex(x-2)x3+2kx-k=(ex-kx2)(x-2)x3，∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，∴x=2是导函数f'（x）=0的唯一根，∴ex-kx2=0在（0，+∞）无变号零点，即k=exx2在x＞0上无变号零点，令g(x)=exx2，因为g'（x）=ex(x-2)x3，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2上单调递增，所以g（x）的最小值为g（2）=e24，，所以必须k≤e24，故选A．
10.【答案】B
【解析】∵函数fx=aex-2sinx,x∈0,π，有且只有一个零点，∴方程a=2sinxex，x∈0,π，有且只有一个实数根，令g（x）=2sinxex，则g′（x）=2(cosx-sinx)ex，当x∈0,π4时，g′（x）≥0，当x∈π4,π时，g′（x）≤0，∴g（x）在0,π4上单调递增，在π4,π上单调递减，当x=π4时，g（x）取得极大值g（π4）=2e-π4，又g（0）= g（π）=0，∴若方程a=2sinxex，x∈0,π，有且只有一个实数根，则a=2e-π4，故选B.