湖南省高考数学试卷文科解析

湖南省高考数学试卷文科解析

‎2014年湖南省高考数学试卷（文科）‎ ‎(扫描二维码可查看试题解析)‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎ 1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∃x0∈R，x02+1＞0‎ B．‎ ‎∃x0∈R，x02+1≤0‎ ‎　‎ C．‎ ‎∃x0∈R，x02+1＜0‎ D．‎ ‎∀x∈R，x2+1≤0‎ ‎ 2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|x＞2}‎ B．‎ ‎{x|x＞1}‎ C．‎ ‎{x|2＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|1＜x＜3}‎ ‎ 3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P1=P2＜P3‎ B．‎ P2=P3＜P1‎ C．‎ P1=P3＜P2‎ D．‎ P1=P2=P3‎ ‎ 4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ f（x）=‎ B．‎ f（x）=x2+1‎ C．‎ f（x）=x3‎ D．‎ f（x）=2﹣x ‎ 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ 6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎21‎ B．‎ ‎19‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎﹣11‎ ‎ 7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[﹣6，﹣2]‎ B．‎ ‎[﹣5，﹣1]‎ C．‎ ‎[﹣4，5]‎ D．‎ ‎[﹣3，6]‎ ‎ 8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎ 9．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣＞lnx2﹣lnx1‎ B．‎ ‎﹣＜lnx2﹣lnx1‎ ‎　‎ C．‎ x2＞x1‎ D．‎ x2＜x1‎ ‎ 10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[4，6]‎ B．‎ ‎[﹣1，+1]‎ C．‎ ‎[2，2]‎ D．‎ ‎[﹣1，+1]‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎ 11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于　　　　　　．‎ ‎ 12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为　　　　　　．‎ ‎ 13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为　　　　　　．‎ ‎ 14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎ 15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，75分）‎ ‎ 16．（12分）（2014•湖南）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ ‎ 17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：‎ ‎（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），‎ ‎（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）‎ 其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．‎ ‎（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；‎ ‎（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．‎ ‎ 18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．‎ ‎ 19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．‎ ‎（Ⅰ）求sin∠CED的值；‎ ‎（Ⅱ）求BE的长．‎ ‎ 20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．‎ ‎ 21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记xi为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．‎ ‎　‎ ‎2014年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∃x0∈R，x02+1＞0‎ B．‎ ‎∃x0∈R，x02+1≤0‎ ‎　‎ C．‎ ‎∃x0∈R，x02+1＜0‎ D．‎ ‎∀x∈R，x2+1≤0‎ 考点：‎ 命题的否定．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 解答：‎ 解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．‎ ‎∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{x|x＞2}‎ B．‎ ‎{x|x＞1}‎ C．‎ ‎{x|2＜x＜3}‎ D．‎ ‎{x|1＜x＜3}‎ 考点：‎ 交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 直接利用交集运算求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，‎ ‎∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查交集及其运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P1=P2＜P3‎ B．‎ P2=P3＜P1‎ C．‎ P1=P3＜P2‎ D．‎ P1=P2=P3‎ 考点：‎ 简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，‎ 即P1=P2=P3．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ f（x）=‎ B．‎ f（x）=x2+1‎ C．‎ f（x）=x3‎ D．‎ f（x）=2﹣x 考点：‎ 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出．‎ 解答：‎ 解：只有函数f（x）=，f（x）=x2+1是偶函数，而函数f（x）=x3是奇函数，f（x）=2﹣x不具有奇偶性．‎ 而函数f（x）=，f（x）=x2+1中，只有函数f（x）=在区间（﹣∞，0）上单调递增的．‎ 综上可知：只有A正确．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了函数函数的奇偶性和单调性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 几何概型．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，‎ 则﹣2≤X≤3，‎ 则X≤1的概率P=，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　）‎ ‎　‎ ‎21‎ ‎19‎ ‎9‎ ‎﹣11‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 圆的切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 直线与圆．‎ 分析：‎ 化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．‎ 解答：‎ 解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，‎ 由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，‎ ‎∴圆心C2（3，4），半径为．‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，‎ ‎∴，‎ 解得：m=9．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[﹣6，﹣2]‎ B．‎ ‎[﹣5，﹣1]‎ C．‎ ‎[﹣4，5]‎ D．‎ ‎[﹣3，6]‎ 考点：‎ 程序框图．菁优网版权所有 专题：‎ 算法和程序框图．‎ 分析：‎ 根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，‎ 若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，‎ 综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，‎ 故选：D 点评：‎ 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．‎ 解答：‎ 解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 ‎8﹣r+6﹣r=，‎ ‎∴r=2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣＞lnx2﹣lnx1‎ B．‎ ‎﹣＜lnx2﹣lnx1‎ ‎　‎ C．‎ x2＞x1‎ D．‎ x2＜x1‎ 考点：‎ 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ 分别设出两个辅助函数f（x）=ex+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．‎ 解答：‎ 解：令f（x）=ex+lnx，‎ ‎，‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）上为增函数，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴，‎ 即．‎ 由此可知选项A，B不正确．‎ 令g（x）=，‎ ‎，‎ 当0＜x＜1时，g′（x）＜0．‎ ‎∴g（x）在（0，1）上为减函数，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎∴选项C正确而D不正确．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[4，6]‎ B．‎ ‎[﹣1，+1]‎ C．‎ ‎[2，2]‎ D．‎ ‎[﹣1，+1]‎ 考点：‎ 向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．‎ 解答：‎ 解：∵动点D满足||=1，C（3，0），‎ ‎∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．‎ 又A（﹣1，0），B（0，），‎ ‎∴++=．‎ ‎∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴=sin（θ+φ）≤=，‎ ‎∴|++|的取值范围是．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于　﹣3　．‎ 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题：‎ 数系的扩充和复数．‎ 分析：‎ 直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．‎ 解答：‎ 解：∵=．‎ ‎∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为　x﹣y﹣1=0　．‎ 考点：‎ 直线的参数方程．菁优网版权所有 专题：‎ 选作题；坐标系和参数方程．‎ 分析：‎ 利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．‎ 解答：‎ 解：∵曲线C：（t为参数），‎ ‎∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．‎ 故答案为：x﹣y﹣1=0．‎ 点评：‎ 本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为　7　．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，‎ 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，即C（3，1），‎ 此时z=2×3+1=7，‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　k＜﹣1或k＞1　．‎ 考点：‎ 抛物线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，‎ 过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），‎ 代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，‎ ‎∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，‎ ‎∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，‎ ‎∴k＜﹣1或k＞1．‎ 故答案为：k＜﹣1或k＞1．‎ 点评：‎ 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=　﹣　．‎ 考点：‎ 函数奇偶性的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，‎ 则f（﹣x）=f（x），‎ 即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，‎ 即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln ‎=lne﹣3x=﹣3x，‎ 即2a=﹣3，解得a=﹣，‎ 故答案为：﹣，‎ 点评：‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，75分）‎ ‎16．（12分）（2014•湖南）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ 考点：‎ 数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用公式法即可求得；‎ ‎（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=﹣‎ ‎=n，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n+（﹣1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）‎ ‎=+n=22n+1+n﹣2．‎ ‎∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2．‎ 点评：‎ 本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：‎ ‎（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），‎ ‎（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）‎ 其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．‎ ‎（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；‎ ‎（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．‎ 考点：‎ 模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．‎ ‎（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，‎ 则=，‎ ‎==‎ 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，‎ ‎==．‎ 因为 所以甲的研发水平高于乙的研发水平．‎ ‎（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，‎ 恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，‎ 故事件E发生的频率为，‎ 将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．‎ 点评：‎ 本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．‎ 考点：‎ 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；‎ ‎（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图 ‎∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，‎ 连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，‎ 又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，‎ ‎∴AB⊥平面ODE；‎ ‎（Ⅱ）解：∵BC∥AD，‎ ‎∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，‎ 由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，‎ ‎∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，‎ 从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，‎ 在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，‎ 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为．‎ 点评：‎ 本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．‎ ‎（Ⅰ）求sin∠CED的值；‎ ‎（Ⅱ）求BE的长．‎ 考点：‎ 余弦定理的应用；正弦定理．菁优网版权所有 专题：‎ 解三角形．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．‎ ‎（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设α=∠CED，‎ 在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，‎ 即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，‎ 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），‎ 在△CDE中，由正弦定理得，‎ 则sinα=，‎ 即sin∠CED=．‎ ‎（Ⅱ）由题设知0＜α＜‎ ‎，由（Ⅰ）知cosα=，‎ 而∠AEB=，‎ ‎∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=，‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB=，‎ 故BE=．‎ 点评：‎ 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y1•y2=．由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2‎ ‎，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．‎ 由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，‎ ‎∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．‎ 再由椭圆的定义可得 2a2=+=2，∴a2=，‎ ‎∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．‎ ‎（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．‎ ‎（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=﹣．‎ 当x=时，可得 A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，‎ 显然，|+|≠||．‎ 同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．‎ ‎（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得 ‎（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=‎ ‎．‎ 于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．‎ 由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，‎ ‎∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．‎ ‎∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，‎ ‎∴|+|≠|‎ ‎|．‎ 综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．‎ 点评：‎ 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记xi为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．‎ 考点：‎ 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），‎ ‎∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，‎ 由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），‎ 当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，‎ 当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，‎ 故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k≥0．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，‎ 又f（）=0，故x1=，‎ 当n∈N*，‎ ‎∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）nnπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，‎ 且函数f（x）的图象是连续不间断的，‎ ‎∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，‎ 又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，‎ 故nπ＜xn+1＜（n+1）π，‎ 因此当n=1时，有=＜成立．‎ 当n=2时，有+＜＜．‎ 当n≥3时，‎ ‎…‎ ‎++…+＜‎ ‎[][]‎ ‎（6﹣）＜．‎ 综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜．‎ 点评：‎ 本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；sxs123；maths；孙佑中；刘长柏；liu老师；whgcn；双曲线；caoqz（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2015年5月20日