重庆高考数学试卷解析理科

重庆高考数学试卷解析理科

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ ‎ 注：本卷由北京宏优教育考试院重庆分院高考专家独家解析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，集合，，则=（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】 本题考查集合的简单运算，属于容易题。由于，从而，故答案选D。‎ ‎（2）命题“对任意，都有”的否定为（ D ）‎ ‎（A）对任意，使得 （B）不存在，使得 ‎（C）存在，都有 （D）存在，都有 ‎【解析】 本题考查含有全称量词的命题的否定，比较简单。将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故选择D选项。‎ ‎（3）（）的最大值为（ B ）‎ ‎（A）9 （B） （C）3 （D）‎ ‎【解析】 本题考查二次函数求最值。根据题干的结构，可以用均值不等式，也可以用配方法。方法一：，当且仅当时等号成立；‎ 方法二：。故答案选B。‎ ‎（4）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.‎ 甲组 乙组 ‎9‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则、的值分别为（ C ）‎ ‎（A）2、5 （B）5、5 （C）5、8 （D）8、8‎ ‎【解析】本题考查茎叶图及基本统计量的简单计算。由茎叶图可知，甲组的中位数为10+x=15，则x=5；由乙组的平均数为16.8有：9+15+(10+y)+18+24=16.8×5=84，解出y=8。故答案选D。‎ ‎（5）某几何体的三视图如题（5）图所示，则该几何体的体积为（ C ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）200‎ ‎（D）240‎ ‎【解析】本题考查三视图及基本几何体的体积计算。由三视图可知该几何体是以侧视图为底面的四棱柱，从而，故选择C选项。‎ ‎（6）若，则函数两个零点分别位于区间（ A ）‎ ‎（A）和内 （B）和内 ‎（C）和内 （D）和内 ‎【解析】本题考查函数零点定理的应用。因为，由已知函数解析式有，，；从而有，根据零点定理，函数在和内有零点。故答案选A。‎ ‎（7）已知圆：，圆：，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】 本题考查圆的方程及及数形结合法，属于中等题。采用数形结合法作轴对称，使得M、P、N三点共线，则取得最小值。如图所示，圆关于x轴对称的圆的方程为：，点M关于x轴的对称点为，则 ‎。故答案选A。‎ ‎ ‎ ‎（8）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】本题考查程序框图和对数的基本计算。由得：‎ ‎，即，‎ 从而有，解出。因此判断框中时输出S，故。答案选B。‎ ‎（9）（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】 本题考查三角函数的诱导公式及恒等变换公式，属于中等难度题。处理这类题目的指导思想是切割化弦，然后反复使用恒等变换公式及诱导公式，最后得出答案。‎ ‎ 方法一：‎ 方法二（和差化积）：‎ ‎。故答案选C。‎ ‎（10）在平面上，，，．若，则的取值范围是（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】本题考查向量加减的三角形法则，综合性比较强。因为，从而有，即，化简为： 又，并且，则有，‎ 即，平方：‚ 将带入‚得：。因为，则，从而有，‎ 即。故答案选D。‎ 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎（11）已知复数（是虚数单位），则 ．‎ ‎【解析】本题考查复数的基本计算，属于容易题。计算时可以先根据复数的除法化简：‎ ‎，也可以直接计算。‎ （12） 已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、成等比数列，则 64 ．‎ ‎【解析】本题考查等差、等比的概念及基本公式的应用，比较简单。由、、成等比数列有：，即，化简得：；因为公差，从而，‎ 则。‎ （13） 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 590 （用数字作答）．‎ ‎ ‎ ‎【解析】 本题考查排列组合的基本计算，属于中档题。处理“至少”，“至多”等问题，一般采用“正难则反”的方法。从12人中选5人有种选法，其中没有骨科医生的选法有种；没有脑外科医生的选法有种；没有内科医生的选法有种；既没有骨科医生，也没有脑外科医生的选法有种。从而骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590。‎ 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．‎ ‎（14）如题（14）图，在△中，，，，过作△的外接圆的切线，⊥，与外接圆交于点，则的长为 5 ．‎ ‎【解析】 因为，CD是圆的切线，所以；由⊥可知，又，则，；由有。 　　　　　　　　 ‎ （15） 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、两点，则 16 ．‎ ‎【解析】 本题考查极坐标方程与参数方程的简单计算。将极坐标方程为化为平面直角坐标方程分别为，它与曲线（为参数）的交点坐标为A（4，8），B（4，-8），则。‎ （16） 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【解析】 本题考查绝对值不等式及数形结合法的应用。的几何意义是表示数轴上的点到-3和5的距离之和，从而，即不等式无解，故实数的取值范围是。本题也可以去绝对值符号，用分类讨论的方法来解。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）‎ 设，其中，曲线在点（1，）处的切线与轴相较于点（0，6）．‎ ‎（Ⅰ）确定的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值．‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎31蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望．‎ ‎（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（19）图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 在△中，内角、、的对边分别是、、，且．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设，，求的值．‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若⊥，求圆的标准方程．‎ ‎（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 对正整数，记…，，，．‎ ‎（Ⅰ）求集合中元素的个数；‎ ‎（Ⅱ）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．求的最大值，使能分成两个不相交的稀疏集的并．‎