高考数学试题分类汇编 选修4

高考数学试题分类汇编 选修4

‎2011年高考数学试题分类汇编 十五、选修4‎ ‎1.（山东理4）不等式的解集是 ‎ ‎ A．[-5，7] B．[-4，6] ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎2.（北京理5）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，‎ 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：‎ ‎ ①AD+AE=AB+BC+CA；‎ ‎ ②AF·AG=AD·AE ‎ ③△AFB ～△ADG ‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A．①② B．②③‎ ‎ C．①③ D．①②③‎ ‎【答案】A ‎3.（安徽理5）在极坐标系中，点的圆心的距离为 ‎ （A）2 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． (1,0) D．(1，)‎ ‎【答案】B ‎5.（天津理11）已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的 直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，‎ 则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一 点，且若与圆相切，则 线段的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎7.（天津理13）已知集合 ‎，则集合=________.‎ ‎【答案】‎ ‎8.（上海理5）在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。‎ ‎【答案】‎ ‎9.（上海理10）行列式（）的所有可能值中，最大的是 。‎ ‎【答案】6‎ ‎（陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分）‎ ‎ A．（不等式选做题）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 。‎ ‎ B．（几何证明选做题）如图，，且，则 。‎ ‎ C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为 。‎ ‎【答案】 3‎ ‎11.（湖南理9）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 ‎ ‎【答案】2‎ ‎12.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎13.（江西理15）（2）（不等式选做题）对于实数,若的最大值为 ‎ ‎【答案】5‎ ‎14.（湖南理10）设,且，则的最小值为 。‎ ‎【答案】9‎ ‎15.（湖南理11）如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，‎ AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。‎ ‎【答案】‎ ‎16.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎17.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，‎ ‎ ∠=∠, 则= 。‎ ‎【答案】‎ ‎18.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2‎ 题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵（其中a＞0，b＞0）．‎ ‎（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；‎ ‎（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ‎．‎ ‎（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式的解集为M．‎ ‎（I）求集合M；‎ ‎（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．‎ ‎（1）选修4—2：矩阵与变换 ‎ 本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。‎ 解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则 又，所以，‎ 所以 故所求的逆矩阵 ‎（II）设曲线C上任意一点，‎ 它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，‎ 则 又点在曲线上，‎ 所以,,‎ 则为曲线C的方程，‎ 又已知曲线C的方程为 又 ‎（2）选修4—4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。‎ 因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，‎ 所以点P在直线上，‎ ‎（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，‎ 从而点Q到直线的距离为 ‎，‎ 由此得，当时，d取得最小值，且最小值为 ‎（3）选修4—5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7‎ 分。‎ 解：（I）由 所以 ‎（II）由（I）和，‎ 所以 故 ‎19.（辽宁理22）‎ 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．‎ ‎（I）证明：CD//AB；‎ ‎（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎20.（辽宁理23）‎ 选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2‎ 的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ 解：‎ ‎ （I）C1是圆，C2是椭圆.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.‎ ‎ （II）C1，C2的普通方程分别为 ‎ 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 ‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，‎ 四边形A‎1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A‎1A2B2B1的面积为 …………10分 ‎21.（辽宁理24）‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数=|x-2|x-5|．‎ ‎（I）证明：≤≤3；‎ ‎（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ 解：‎ ‎ （I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.‎ 故∠ECD=∠EBA，‎ 所以CD//AB. …………5分 ‎ （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，‎ 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.‎ 所以∠AFG+∠GBA=180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆 …………10分 解：‎ ‎ （I）‎ ‎ 当 ‎ 所以 ………………5分 ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.‎ ‎ 综上，不等式 …………10分 ‎22．（全国新课标理22）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．‎ ‎（I）证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．‎ 解：‎ ‎（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， ‎ ‎ AD×AB=mn=AE×AC， ‎ ‎ 即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB ‎ ‎ 因此∠ADE=∠ACB ‎ ‎ 所以C，B，D，E四点共圆．‎ ‎ （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.‎ 故 AD=2，AB=12.‎ 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.‎ 由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.‎ 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5‎ ‎23.（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ 解：‎ ‎（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ ‎ 从而的参数方程为 ‎ （为参数）‎ ‎ （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ 射线与的交点的极径为，‎ ‎ 射线与的交点的极径为．‎ ‎ 所以.‎ ‎24.（全国新课标理24）选修4-5：不等式选讲 设函数，其中．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式的解集．‎ ‎（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．‎ 解：‎ ‎ （Ⅰ）当时，可化为 ‎．‎ ‎ 由此可得 或．‎ ‎ 故不等式的解集为 或．‎ ‎ (Ⅱ) 由得 ‎ ‎ ‎ 此不等式化为不等式组 ‎ 或 ‎ 即 或 ‎ 因为，所以不等式组的解集为 ‎ 由题设可得= ，故 ‎[来源于：星火益佰高考资源网(www.spark100.com)]‎