高考第一轮复习——排列组合与二项式定理理

高考第一轮复习——排列组合与二项式定理理

年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 高考第一轮复习——排列组合与二项式定理 编稿老师 胡居化 一校 林卉 二校 李秀卿 审核 王百玲 一、学习目标：‎ ‎1. 理解排列、组合的有关概念，排列与组合的区别及分步计数原理和分类计数原理的含义。‎ ‎ 2. 掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质，并能进行简单的计算和解决简单的实际问题。‎ ‎3. 理解二项式定理的内容、其通项公式的概念及其简单的应用。‎ ‎4. 体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、化归与类比的数学思想、分类讨论的数学思想及赋值法、待定系数法等数学思想方法的应用。‎ 二、重点、难点：‎ 重点：（1）排列、组合的知识及两个原理的简单应用 ‎ （2）二项式定理的简单应用 难点：利用排列与组合的知识解决实际问题。‎ 三、考点分析：‎ 新课标高考对排列、组合及二项式定理的考查以基础知识为主，应重点理解排列、组合及二项式定理的有关概念、简单的运算。考查的题型以选择、填空题为主，题目难度较小，易得分。‎ ‎ ‎ 一、两个原理，排列、组合的有关基础知识：‎ ‎1. 分类计数原理与分步计数原理：‎ ‎（1）分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即N=.‎ ‎（2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。即N=‎ ‎2. 排列的有关基础知识 ‎（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。‎ 注：（i）排列的定义中包括两个基本内容：一是取出元素，二是按一定的顺序排列。‎ ‎（ii）当且仅当元素完全相同，排列顺序完全相同的两个排列是同一排列。‎ ‎（2）排列数及排列数公式：‎ ‎ 排列数：从n个不同的元素中取出m（个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。‎ ‎ 公式：（i），（‎ 当n=m时，，规定：‎ ‎（ii），（‎ ‎ 注：公式（i）适用于具体的计算以及解m较小时的含有排列的方程与不等式。‎ ‎ 公式（ii）适用于排列数的有关证明及解方程、不等式等。‎ ‎（3）排列数的性质：（i）（ii）‎ ‎3. 组合的有关基础知识 ‎（1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。‎ 组合的定义中包含两个内容：一是取出元素，二是并成一组。‎ ‎ （i）当两个组合的元素完全相同时，不论元素的顺序如何，都是相同的组合。‎ ‎（ii）区分排列与组合的重要标志：排列有序，组合无序。‎ ‎（2）组合数及组合数公式：‎ 组合数：从n个不同元素中取出m（个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。‎ 公式：‎ ‎（3）组合数的性质：（i） （ii）‎ ‎ 注：（i），‎ ‎（ii）当时，常用计算较简便。‎ ‎4. 利用排列、组合的知识解决实际问题的常用方法 ‎（1）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素。（ii）位置分析法：即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。‎ ‎（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法。‎ 在直接法和间接法中常用以下方法解决排列与组合的问题。‎ ‎（a）枚举法：将所有排列的情形一一列举出来（适用于排列数较少的问题）‎ ‎（b）捆绑法：适用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）的问题。‎ ‎（c）插空法：适用于两个（或更多）元素不相邻排列的问题。‎ ‎（d）隔板法：适用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一个排列的问题。‎ ‎（3）某些元素定序排列问题的处理方法——倍缩法 对某些元素定序排列问题的处理方法有两种：（i）整体法，即有（m+n）个元素排成一列，其中m个元素的排列顺序不变，将（m+n）个元素排成一列有种排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把m个元素交换顺序，共有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种不同的排法。（ii）逐步插空法。‎ ‎（4）分组、分配问题的处理方法 ‎（i）分组问题：将n 个不同元素按要求分成m 组,称为分组问题 分组问题的处理途径：‎ ‎（a）非均匀不编号分组：即将n个不同的元素分成m组，每组元素中的个数均不同（m组中元素的个数分别是，其中），则分法种数是 ‎（b）均匀不编号分组（平均分组）：将n个不同的元素平均分成m组（每组元素中的 个数相同，都是a），则不同的分组方法有，（其中n=ma）‎ ‎（ii）分配问题：将n个不同的元素按要求分给m个人，称为分配问题，处理分配问题的方法：先分组后分配。‎ 二、二项式定理的有关知识 ‎1. 二项式定理：，这个公式表示的规律叫二项式定理。‎ ‎（1）的二项展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；（iii）a的次数由n降到0，b的次数由‎0升到n。‎ ‎（2）二项展开式的系数：‎ ‎（3）二项展开式的通项公式：，（r=0，1，2）表示二项展开式的第（r+1）项。‎ 注：（i）的二项式展开式的第（r+1）项与二项式的（b+a）n展开式的第（r+1）项是有区别的，应用时a，b不能随便交换位置。‎ ‎（ii）二项展开式的系数与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项展开式的系数恒为正，而某对应项的系数可以是任意的实数。‎ ‎（iii）二项式的展开式的通项公式是，各项的二项式系数是，各项的系数是 ‎2. 二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式。‎ ‎3. 二项式系数的性质：‎ ‎（1）（组合性质（ii）的体现）。‎ ‎（2）（与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即对称性）。‎ ‎（3）增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的。‎ ‎（4）最大二项式系数：当n是偶数时，（n+1）是奇数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（项的二项式系数最大，最大的二项式系数是；当n为奇数时，（n+1）是偶数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间有两项的二项式系数最大，即第的二项式系数最大，这两项的二项式系数相等且最大，为。‎ ‎（5）（i）二项式的系数和是，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即 ‎（ii）二项展开式各项的系数和：一般地，设f（x）=的各项的系数和是f（1），其中x的奇次项的系数和等于x的偶次项的系数和等于。‎ 知识点一：两个原理及排列、组合知识的简单应用 例1. 基础题 ‎1. 已知集合M={－3，－2，－1，0，1，2}，P（a，b）表示平面内的点，其中，则P可以表示平面内______个第二象限内的点。‎ ‎2. 数列共有6项，其中四项为1，其余两项不相同，则满足上述条件的数列有___个。‎ ‎3. 。‎ 思路分析：‎ ‎1. 首先注意到第二象限内坐标的特点是：a<0，b>0，同时坐标轴上的点不属于任一象限，再根据分步计数原理求解。‎ ‎2. 在数列中，只需考虑不同的两项的位置，6个位置（数列{an}共有6项）中可以选2个位置，并且是有序的，属排列问题。‎ ‎3. ，故可利用裂项法求和。‎ 解题过程：‎ ‎1. 根据第二象限内坐标的特点：a<0，b>0知：a从－3，－2，－1中选一个数，有3种选法。b只能从1，2中选一个数，有2种选法，故有种选法，即P可以表示平面内6个第二象限内的点。‎ ‎2. 如图，数列{an}的6项占6个位置，则不同的两项所占的位置可从6个位置中选2个位置，且有序，故有：种，即满足上述条件的数列{an}有30个。‎ ‎3. ，‎ ‎=‎ 解题后的思考：本例以两个原理是排列与组合的基础为切入点，重点考查了分类讨论的数学思想，考查的题型一般是选择与填空题，在讨论各种情形时要注意做到不重不漏。‎ 例2. 中等题 ‎1. 如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，相邻顶点的颜色不同，则不同的染色方法有___________种。‎ ‎2. 2010年上海世博会上从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加世博园区 公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种。‎ ‎3. 2010年的广州亚运会组委会从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，其中小张、小赵只能从事前两项工作，其余三人均可从事这四项工作，则不同的选派方案有_________种。‎ 思路分析：‎ ‎1. 用三种颜色给5个顶点涂色，可将5个顶点分成三组，即2，2，1模型，然后涂色。‎ ‎2. 先选后排，即先选人，再安排工作。从7人中选6人有种选法，再把选出的6人平均分为2组，每组3人，然后把这2组人安排在周六、周日两天参加活动。‎ ‎3. 由于5人中只选4人，故小张和小赵被选中有两种可能：一是小张和小赵只有一人入选，二是小张和小赵都入选，再利用分类计数原理求解。‎ 解题过程：‎ ‎1. 第一步：将5个顶点分为三组：其中两组有2个顶点，一组有1个顶点。即2，2，1模型。共有种分法（即从5个顶点中任取一个顶点有种，为保证染色时相邻顶点不同色，另外的4个点只能取相对的顶点为一组，不是相邻的顶点为一组，此时分法唯一）。‎ 第二步：为三组顶点染色有=6种方法。‎ 根据分步计数原理得：共有染色方法种。‎ ‎2. 第一步:先选人：从7人中选6人有种选法。第二步：分组：把6个人平均分为2组，每组3人，有种分组方法。第三步：为2组人安排工作有种安排方案。‎ 由分步计数原理知：共有种安排方案。‎ ‎3. （1）小张和小赵只有一人入选，即2人中只有1人入选有2种选法，从小张和小赵中选取1人从事一项工作有2种选法，其余3人从事剩下的三项工作有6种选法，故此时有种选法。‎ ‎（2）小张和小赵都入选，此时小张和小赵从事的工作有2种安排方法，余下的两人可从小李、小罗、小王中选，有种选法，选出的这两人从事后两项工作有2种安排方法选法。此时有种选法。‎ 由分类计数原理知：不同的选派方案共有种。‎ 解题后的思考：本例考查分组与分配问题，此类题是新课标高考中的常见题型，解此类题的方法是先分组后分配，分组问题是组合，分配问题是排列。关键是如何分组——在分组的时候应注意均匀分组、非均匀分组还是部分均匀分组，进行均匀分组或部分均匀分组时均要注意算法中的重复问题，还要注意等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想的应用。‎ 例如：把A，B，C，D，E，F六个字母平均分成3份，出现重复，一般地，把4个元素平均分成2份不同的分法有，6个元素平均分成3份，不同的分法有，等。‎ 例3. 应用与综合题 ‎1. 某小组6个人排队照相留念： ‎ ‎ （1）若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎ （2）‎ 若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？‎ ‎ （3）若甲、乙、丙三人的顺序不变，有多少种排法？‎ ‎2. 方程=10有________组正整数解。‎ 思路分析：‎ ‎1. （1）采用捆绑法。即把甲、乙二人看作一个元素，‎ ‎（2）采用插空法。先排女生，然后在女生之间插入男生。‎ ‎（3）采用倍缩法，6个人排队有种排法，其中甲、乙、丙顺序不变的排法有且只有一种，但甲、乙、丙排列有种排列方法。故有种排法。‎ ‎2. 把10看作10个1相加，把10个1排成一排：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1，在10个1之间有9个空隙，在9个空隙中插入3块隔板，即将10个1分成4组，每次分隔后，每组所包含的1的个数就是该方程的一组正整数解。‎ 解题过程：‎ ‎1. （1）先把甲、乙2人看成1人，与其他人排队有种排法，然后甲、乙之间再排队，有种排法，共有·＝240种排法；‎ ‎（2）先安排女生有种排列方法，在女生之间（包括两端）共有4个位置插入男生，有种排列方法，故有·＝144种排法。‎ ‎ （3）6个人排队有种排法，其中甲、乙、丙顺序不变的排法有且只有一种。但甲、乙、丙排列有种排列方法。故有种排法。‎ ‎2. 把10看作10个1相加，把10个1排成一排：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1，在10个1之间有9个空隙，在9个空隙中插入3块隔板，共有种方法，每一种方法把10个1分成4组，每组所包含的1的个数就是该方程正整数解的组数。故该方程共有84组正整数解。‎ 解题后的思考：对于排列组合中某些必须在一起的元素，处理时把它们捆绑为一个整体（捆绑法），然后考虑其内部的位置关系；对于排列组合中某些不能相邻的元素，采用插空法处理，用隔板法处理排列组合问题的实质是插空法。‎ 知识点二：二项式定理及其应用 例4. 基础题 ‎1. 在二项式的展开式中，含的项的系数是________________.‎ ‎2. 在二项式的展开式中，常数项是_____________________.‎ ‎3. 设，则 思路分析：‎ ‎1. 利用通项公式，由x的指数是4，确定r.‎ ‎2. 方法同上题。‎ ‎3. 赋值法：令x=1，x=－1求解。‎ 解题过程：‎ ‎1. ，令 ‎ 故含的项的系数是 ‎2. ，由 故展开式中的常数项是 ‎3. 令x=1得： ①‎ 令x=－1得： ②‎ 解题后的思考：对于求二项展开式中的某项或某项系数的问题都是二项式中通项公式的应用问题，应注意展开式的通项公式是，同时注意某项的二项式系数与某项系数的区别。对于赋值法的应用：一般地，设f（x）=的各项的系数和是f（1），其中x的奇次项系数和等于x的偶次项系数和等于。‎ 例5. 中等题 ‎1. 在的展开式中，x的系数是_________________.‎ ‎2. 在的展开式中，系数为有理数的项有____________项。‎ ‎3. 若的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:1，则展开式中系数最大的项是_____。‎ 思路分析：‎ ‎1. 设的通项公式是：的通项公式是两个通项公式中的x的指数之和是1，根据，确定r，m的值。‎ ‎2. 利用通项公式求出系数，是有理数，只要是有理数，即r是4的倍数，即可根据r的范围确定项数。‎ ‎3. 根据已知先确定n的值，设第（r+1）项的系数的绝对值最大，第r项、第（r+1）项、第（r+2）项的系数的绝对值分别是，则由及r的范围确定r的值，从而确定系数最大的项。‎ 解题过程：‎ ‎1. 的通项公式是，则x的系数是，展开式中x的指数是，由 ‎=1，其中：，故有，所求x的系数是。‎ ‎2. （r=0，1，2，要使系数是有理数，只要r是4的倍数。‎ 故r=0，4，8，12，16，20其系数为有理数，共有6项。‎ ‎3. 由已知得：‎ 设第（r+1）项的系数的绝对值最大，第r项、第（r+1）项、第（r+2）项的系数的绝对值分别是，则，又因第6项的系数为负值，故系数最大的项是。‎ 解题后的思考：对于求展开式中的有理项或系数为有理数的项的问题仍是通项公式的应用问题。求展开式中系数最大的项，一般是设展开式中的系数为，第（k+1）项的系数最大，则由不等式组确定k的值。对于求展开式中系数最大的项的问题，可考虑先求出系数绝对值最大的项，再确定所求的系数最大的项。如本例中的第3题。‎ 例6. 应用与综合题 已知（展开式中的常数项是T，f（x）是以T为周期的函数，且当时，f（x）=x在区间 ［－1，3］内， 函数有4个零点，求k的范围。‎ 思路分析：根据已知条件求出T，将函数的零点转化为函数 的交点，再通过函数图像确定k的范围。‎ 解题过程：（的通项公式是，令，故常数项是即T=2，将函数的零点转化为函数的交点。作出函数在区间［－1，3］上的图像（如图）：‎ 函数的图像过定点（－1，0），当的图像过点P（3，1）时，两函数图像有4个交点，此时k取得最大值，根据，故所求k的范围是。‎ 解题后的思考：对于二项式定理与其他知识点结合的题目，解题时 利用二项式定理求出相关的量是解题的突破口，但就题目本身而言可能难度较大。‎ ‎ ‎ 在新课标高考中，考查排列、组合、二项式定理等知识点的考查以基础知识为主，出现的题型基本上都是客观题，且题目难度较小。在处理排列、组合问题时，掌握处理问题常用的方法很关键，如捆绑法、插空法、倍缩法、隔板法等，要注意分类讨论、等价转化、化归等数学思想的应用。对有关二项式定理问题的处理，关键是抓住二项展开式的通项公式的应用，求展开式中的某项、某项的系数、系数最大的项等问题实质都是通项公式的应用问题。‎ ‎ ‎ 一、预习新知：‎ ‎1. 说出：“必然事件、随机事件、不可能事件”的区别。‎ ‎2. 随机事件的概率是如何定义的？‎ ‎3. 互斥事件的定义是什么？概率的加法公式的含义是什么？‎ ‎4. 对立事件与互斥事件有何区别、联系？‎ ‎5. 独立事件的定义是什么？其概率的计算公式是什么？‎ ‎6. 离散型随机变量的均值、方差是如何定义的？‎ ‎7. 条件概率有何特征？‎ 二、预习点拨：‎ ‎1. 求古典概率的常用方法有哪些？‎ 古典概率特征是___________________；‎ 几何概率的特征是____________________。‎ ‎2. 互斥事件是如何定义的？互斥事件与对立事件的区别是__________‎ 联系是_____________________。‎ ‎ 3. 条件概率的特征是___________________。‎ ‎ 4. 随机试验满足的条件有（1）___________________，（2）___________________，（3）___________________。‎ 随机变量的定义是___________________。‎ 随机变量可分为___________________和___________________。‎ ‎5. 离散型随机变量的定义是___________________。‎ ‎6. 离散型随机变量的分布列的定义是___________________。‎ 其性质有：___________________，___________________。‎ ‎7. 求离散型随机变量的分布列的步骤有哪些？请总结一下。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 五位同学报名参加2个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ）种。‎ A. 10 B. ‎20 ‎ C. 25 D. 32‎ ‎2. 北京四中在高二年级开展农村生活体验活动，将其中的7名学生分配到甲、乙、丙三个农户的家中居住，每家至多住3人，则不同的分配方法有（ ）种 A. 350 B. ‎525 ‎ C. 1050 D. 2100‎ ‎3. 从0，1，2，3，4，5六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）个。‎ A. 300 B. ‎216 ‎ C. 180 D. 162‎ ‎4. 某台小型晚会由六个节目组成，演出顺序如下：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ）种。‎ A. 36 B. ‎42 ‎ C. 48 D. 54‎ ‎5. 8名学生和2位老师合影，两位老师不相邻的排法有（ ）种。‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选三门，要求两类课程至少各选一门则不同的选法有（ ）种。‎ A. 30 B. ‎35 ‎ C. 42 D. 48‎ ‎7. 若n A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 ‎ C. 与n的奇偶性相反 D. 与n有相同的奇偶性 ‎8. 若的展开式中二项式的系数和是64，则展开式中的常数项是（ ）‎ A. 10 B. ‎20 ‎ C. 30 D. 120‎ ‎9. 在的展开式中，系数大于－1的项共有（ ）项 A. 3 B. ‎4 ‎ C. 5 D. 6‎ 二、填空题 ‎10. 将4名大学生分配到三个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种。‎ ‎11. 若，则____。‎ ‎12. 不等式的解集是_________________________________。‎ ‎13. 。‎ ‎14. 已知，在的展开式中第六项是常数项，则展开式中所有的有理项共有_____项。‎ 一、选择题 ‎1. D。解析：每位同学都有2种选报的方法，故由分步计数原理得：种。‎ ‎2. C。解析：根据题意：一是把7名学生分为三组（两组3人，一组1人）：3，3，1，此时分组方法有种，把三组人分配到三个农户家中有种分配方法。故有种，二是把7名学生分为：三组2，2，3（两组2人，一组3人），此时有种，所以满足条件的分配方法有420+630=1050种。‎ ‎3. C。解析：由题意分为两类：（1）选0，有种，（2）不选0，有种，故共有108+72=180种，即可组成没有重复数字的四位数180个。‎ ‎4. B。解析：若甲排在第一位：则有=24种，若甲排在第二位，则有=18种。故 共有24+18=42种编排方案。‎ ‎5. A。解析：采用插空法，先排8名学生有种排列方法，两位老师插在9个空位中，故共有种排法。‎ ‎6. A。解析：任选三门有种选法，三门全是A类或B类课程的有，故共有选法－5=30种。‎ ‎7. A。解析：特值法：取n=1时，此时b=1为奇数 ‎ 取n=2时，，此时b=3为奇数 ‎8. B。解析：利用通项公式求解。‎ ‎9. B。解析：展开式中共有6项，其中3项（奇数项）的系数为正，大于－1，第六项的系数是，故共有3项。‎ 二、填空题 ‎10. 36 解析：从中选出2人，将其看作一个整体，再排列，共有种分配方案。‎ ‎11. －1 解析：令x=0，得令，‎ ‎ 故 ‎12. {8} 解析：‎ ‎ 又故x=8‎ ‎13. 解析：利用组合的性质求：‎ ‎14. 3 解析：设第（r+1）项是有理项，则，，令，k应是偶数，故k=2，0，－2，即r=2，5，8，故所有的有理项共有3项。‎