高考二模数学昌平区高考二模数学理科试题word版含答案

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昌平区2009－2010学年第二学期高三年级第二次统一练习 数 学 试 卷（理科） ‎ ‎（满分150分，考试时间 120分钟）2010.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)‎ ‎(1) 设集合A={x|x2-4>0},B={x|}，则 A．{x|x>2} B.{x|x<-2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x<}‎ ‎(2)若复数是虚数单位）是纯虚数，则=‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎(3) 已知命题,，下列结论正确的是 ‎ ‎ A．命题“”是真命题 B. 命题“（”是真命题 C. 命题“”是真命题 D. 命题“”是真命题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎1‎ 甲 乙 ‎(4)如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有 A． ， ‎ B． ， ‎ C． ， ‎ D． ， ‎ ‎（5）在右图所示的流程图中，若输入值分别为 ，则输出的数为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.无法确定 ‎（6）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A．若 B．若 C. D． ‎ ‎ （7）2010年的自主招生工作,部分高校实施校长实名推荐制.某中学获得推荐4名学生的资格,可以选择的大学有三所,而每所大学至多接受该校的2名推荐生,那么校长推荐的方案有 ‎ A. 18种 B. 24种 C. 36种 D.54种 ‎（8）设向量，‎ 定义一种向量积：.已知点在的图像上运动，点在的图像上运动，且满足（其中为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 一、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）‎ ‎（9）圆的圆心的直角坐标是__________;若此圆与直线相交于点则＝ . ‎ ks5（10）已知平面向量，，且 .‎ u（11）若抛物线 上一点M到该抛物线的焦点F的距离 ，则点M到x轴的距离为　　　　　　 .‎ ‎（12）如图，为⊙的直径，弦交 于点,若, 则 .‎ ‎（13）已知函数,若函数的图像经过点（3，），则__________；若函数满足对任意成立，那么实数a的取值范围是___________________.‎ ‎（14）定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中ai为数列中的第项.‎ ‎①若，则= ；‎ ‎②若 . ‎ 一、 解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ ‎ 设函数.‎ (I) 求函数的单调递增区间；‎ (II) 设A,B,C为ABC的三个内角，若AB=1,sinB=， ，求AC的长.‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ ‎ 甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分.已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为.‎ ‎（I）求甲恰好得30分的概率；‎ ‎（II）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（III）求甲恰好比乙多30分的概率.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.‎ ‎(I)证明：BN⊥平面C1B1N；‎ ‎(II)求二面角C－NB1－C1的余弦值；‎ ‎(III)M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 已知函数,其中为大于零的常数.‎ ‎（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（II）求函数在区间[1，2]上的最小值.‎ ‎ 19. (本小题满分13分)‎ ‎ 已知椭圆C:的长轴长为，离心率. ‎ ‎ （I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎ （II）若过点B（2，0）的直线 ‎（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的 两点E、F（E在B、F之间），且OBE 与OBF的面积之比为，求直线的方程.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 设函数，数列满足．‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)设，若对恒成立，求实数的取值范围；‎ (I) 在数列中是否存在这样一些项：，这些项能够构成以为首项，‎ 为公比的等比数列，.若存在，写出；若不存在，说明理由．‎ 昌平区2009－2010学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学参考答案（理科） 2010.4‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)‎ 题号 （1） (2 ) ( 3) (4) (5) (6) (7) (8)‎ 答案 B D A A C B D C 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)‎ ‎（9） （0，-2）； (10) 2‎ ‎(11) 4 (12) 10‎ ‎(13) ； (14) 280； ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共80分)‎ ‎（15）(本小题满分13分)‎ 解： = .............3分 ‎（I）令 ，则 ‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为 ....................................6分 ‎（II）由已知 ，……………………………………………….7分 因为 ‎ 所以 ， ，∴sinC = ………………………………………………10分 在 ABC中，由正弦定理， ，得 ……..13分 ‎（16）(本小题满分13分)‎ 解：（I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为 …‎ ‎……………………………….3分 ‎(II) 的取值为0，10， 30，60.‎ ‎ ， ，‎ ‎ ， ‎ ‎ 的概率分布如下表：‎ ‎ ‎ ‎ 0 10 30 60‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………….9分 ‎(III) 设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1,甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A= 为互斥事件.‎ ‎ .‎ 所以，甲恰好比乙多30分的概率为 …………………………………………………..13分 ‎（17）(本小题满分14分)‎ ‎ (1)法一、证明∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,‎ ‎∴BA,BC,BB1两两垂直.‎ 以BA, BB1，BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,…1分 则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4) ‎ ‎∵ =(4,4,0)•(-4,4,0)=-16+16=0‎ ‎ =(4,4,0)•(0,0,4)=0 ……3分 ‎∴BN⊥NB1, BN⊥B1C1.‎ 又NB1与B1C1相交于B1, ‎ ‎∴BN⊥平面C1B1N. ……5分 法二、‎ ‎∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,‎ ‎∴BA,BC,BB1两两垂直.‎ ‎∴BC⊥平面ANB1B ‎∵BC∥B1C1‎ ‎∴B1C1⊥平面ANB1B ‎∴BN⊥B1C1………………………………………………………………………2分 取BB1中点D，连结ND.‎ 则ANDB是正方形，NDB1是等腰直角三角形 ‎∴BN=NB1= ‎ 又BB1=8‎ ‎∴BN2+B1N2=BB12‎ ‎∴BN⊥NB1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ‎∵NB1∩B1C1=B1‎ ‎∴BN⊥平面C1B1N……………………………………………………………5分 ‎(2)∵BN⊥平面C1B1N, 是平面C1B1N的一个法向量 =(4,4,0), ……6分 设 =(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量,‎ 则 ，取 =(1,1,2), …8分 则 ‎ 由图可知，所求二面角为锐角，‎ 所以，所求二面角C－NB1－C1的余弦值为 .……10分 ‎(3)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)（0≤a≤4）为BC上一点,则 =(-2,0,a)，‎ ‎ ∵MP∥平面CNB1,‎ ‎∴ ⊥ • =(-2,0,a) •(1,1,2)=-2+2a =0 a =1. ……13分 ‎∴在CB上存在一点P(0,0,1), 使得MP∥平面CNB1,且BP=1………………14分 ‎（18）(本小题满分13分)‎ 解： ( ) …………………..4分 ‎ （I）因为曲线 在点（1， ）处的切线与直线 平行，‎ 所以 ，即 ……………………………………6分 ‎ (II)当 时， 在（1，2）上恒成立，‎ ‎ 这时 在[1，2]上为增函数 ‎ ………………………………………………….8分 ‎ 当 时，由 得， ‎ ‎ 对于 有 在[1，a]上为减函数，‎ ‎ 对于 有 在[a，2]上为增函数，‎ ‎ …………………………………………………..11分 当 时， 在（1，2）上恒成立，‎ ‎ 这时 在[1，2]上为减函数，‎ ‎ .‎ ‎ 综上， 在[1，2]上的最小值为 ‎ ①当 时， ,‎ ‎ ②当 时， ，‎ ‎ ③当 时， ………………………….13分 ‎（19）(本小题满分13分)‎ 解：（I）椭圆C的方程为 ，由已知得 ……..3分 ‎ 解得 ‎ ‎∴所求椭圆的方程为 ………………　5分 ‎(II)由题意知 的斜率存在且不为零，‎ 设 方程为 ①，将①代入 ，整理得 ‎ ，由 得 …………..7分 设 ， ，则 ②………………　8分 由已知， ， 则 ‎ 由此可知， ，即 ………………………………….9分 代入②得， ，消去 得 ‎ 解得， ，满足 ‎ 即 ………………………………………………………….12分 所以，所求直线 的方程为 .‎ ‎　……………………………………………………………………………….13分 ‎（20）(本小题满分14分)‎ 解：（I）因为 ，‎ 所以 ．…………………………………………………………………………2分 因为 ，所以数列 是以1为首项，公差为 的等差数列．‎ 所以 ．…………………………………………………………………………4分 ‎(II)①当 时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．…………………………………………………………………………6分 ‎②当 时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．…………………………………………8分 所以 ‎ 要使 对 恒成立，‎ 只要使 ．‎ 只要使 ，‎ 故实数 的取值范围为 ．……………………………………………………10分 ‎(III)由 ，知数列 中每一项都不可能是偶数．‎ ‎①如存在以 为首项，公比 为2或4的数列 ， ，‎ 此时 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以 为首项，公比为偶数的数列 ．……………………………………………………………………………………12分 ‎②当 时，显然不存在这样的数列 ．‎ 当 时，若存在以 为首项，公比为3的数列 ， ．‎ 则 ， ， ， ．‎ 所以存在满足条件的数列 ，且 ．…………………………14分