高考高考数学复习不等式基本不等式练习题2
2012 年高考数学复习----不等式 基本不等式练习题 2
一、选择题
1.(2010·山东东营质检)在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( )
A.y=x+1
x
B.y=cosx+ 1
cosx
0
0,y>0,且2
x
+1
y
=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数
m 的取值范围是( )
A.m≥4 或 m≤-2 B.m≥2 或 m≤-4
C.-20,y>0,且2
x
+1
y
=1,
∴x+2y=(x+2y)(2
x
+1
y
)=4+4y
x
+x
y
≥4+2 4y
x
·x
y
=8,当且仅当4y
x
=x
y
,即 x=2y 时取等号,
又2
x
+1
y
=1,∴x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2
+2m,即 8>m2+2m,解得-40,a7=a6+2a5,设{an}的公比为 q,则 a6q=a6+2a6
q
,∴q2-q-2=0,
∵q>0,∴q=2,
∵ aman=4a1,∴a12·qm+n-2=16a12,∴m+n-2=4,
∴m+n=6,
∴ 1
m
+4
n
=1
6
(m+n)
1
m
+4
n =1
6
5+n
m
+4m
n ≥1
6
5+2 n
m
·4m
n =3
2
,等号在n
m
=4m
n
,即 n=2m
=4 时成立.
3.(2010·茂名市模考)“a=1
4
”是“对任意的正数 x,均有 x+a
x
≥1”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
[答案] A
[解析] ∵a=1
4
,x>0 时,x+a
x
≥2 x·a
x
=1,等号在 x=1
2
时成立,又 a=4 时,x+a
x
=x+4
x
≥2 x·4
x
=4 也满足 x+a
x
≥1,故选 A.
4.(2010·广西柳州市模考)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a,b 中有一个不是正数时,若 a+b=1,显然有 4ab≤1 成立,a,b 都是正数时,由
1=a+b≥2 ab得 4ab≤1 成立,故 a+b=1⇒4ab≤1,但当 4ab≤1 成立时,未必有 a+b=1,
如 a=-5,b=1 满足 4ab≤1,但-5+1≠1,故选 A.
5.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是1
2
,且α=a+1
a
,β=b+1
b
,则α+β的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] D
[解析] ∵1
2
为 a、b 的等差中项,∴a+b=1
2
×2=1.
a+1
a
+b+1
b
⇒1+1
a
+1
b
=1+a+b
ab
=1+ 1
ab
,
∵ ab≤a+b
2
,∴ab≤ a+b 2
4
=1
4.∴原式≥1+4.
∴α+β的最小值为 5.故选 D.
6.(文)若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则1
a
+
1
b
的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 圆(x+1)2+(y-2)2=4,∵弦长为 4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b=1.
∴1
a
+1
b
=
1
a
+1
b (a+b)=2+b
a
+a
b≥4.
当且仅当 a=b=1
2
时取等号.
(理)半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直,则△ABC、△ACD、
△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
[答案] C
[解析] 根据题意可知,设 AB=a,AC=b,AD=c,则可知 AB,AC,AD 为球的内接长方体
的 一 个 角 . 故 a2 + b2 + c2 = 64 , 而 S △ ABC + S △ ACD + S △ ADB = 1
2
(ab + ac +
bc)≤a2+b2+a2+c2+b2+c2
4
=a2+b2+c2
2
=32.
等号在 a=b=c=8 3
3
时成立.
7.(文)已知 c 是椭圆x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的半焦距,则b+c
a
的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.( 2,+∞)
C.(1, 2) D.(1, 2]
[答案] D
[解析] 由题设条件知,a1,
∵a2=b2+c2,∴ b+c 2
a2
=b2+c2+2bc
a2
≤2 b2+c2
a2
=2,∴b+c
a
≤ 2.故选 D.
(理)已知 F1、F2 分别为双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意
一点,若|PF1|2
|PF2|
的值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,2]
C.(1, 3] D.(1,3]
[答案] D
[解析] |PF1|2
|PF2|
= 2a+|PF2| 2
|PF2|
= 4a2
|PF2|
+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当 4a2
|PF2|
=|PF2|,
即|PF2|=2a 时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得 6a≥2c,即 e=c
a
≤3,∴e
∈(1,3].
8.(2010·南昌市模拟)已知 a,b∈R+,a+b=1,M=2a+2b,则 M 的整数部分是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] B
[解析] ∵a,b∈R+,a+b=1,∴0b>0,则集合 M 等于( )
A.E∩F B.E∪F
C.E∩(∁ RF) D.(∁ RE)∩F
[答案] C
[解析] ∵a>b>0,
∴a=a+a
2
>a+b
2
> ab> b2=b,
如图可见集合 M 在 E 中,不在 F 中,故 M=E∩∁ RF.
10.(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、
AC 于 E、F 两点,若AB→=λAE→(λ>0),AC→=μAF→(μ>0),则1
λ
+4
μ
的最小值是( )
A.9 B.7
2
C.5 D.9
2
[答案] D
[解析] ED→=AD→ -AE→=1
2
(AB→+AC→)-AE→
=1
2(λAE→+μAF→)-AE→=
λ
2
-1
AE→+μ
2
AF→,
EF→=AF→-AE→.
∵ED→与EF→共线,且AE→与AF→不共线,∴
λ
2
-1
-1
=
μ
2
1
,
∴λ+μ=2,∴1
λ
+4
μ
=1
2
1
λ
+4
μ (λ+μ)
=1
2
5+μ
λ
+4λ
μ ≥9
2
,等号在μ=4
3
,λ=2
3
时成立.
(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中,点 P 是斜边 BC 的中点,过点 P 的直线
分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB→=mAM→ ,AC→=nAN→ ,则 mn 的最大值为( )
A.1
2
B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC 的腰长为 2,则 P 点坐标
为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵AB→=mAM→ ,AC→=nAN→ ,
∴AM→ =AB→
m
,AN→ =AC→
n
,∴M
0,2
m 、N
2
n
,0 ,
∴直线 MN 的方程为my
2
+nx
2
=1,
∵直线 MN 过点 P(1,1),∴m
2
+n
2
=1,∴m+n=2,
∵m+n≥2 mn,∴mn≤ m+n 2
4
=1,当且仅当 m=n=1 时取等号,∴mn 的最大值为 1.
二、填空题
11.(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知 b>0,直线 b2x+y+1=0 与 ax-(b2+4)y+2
=0 互相垂直,则 ab 的最小值为________.
[答案] 4
[解析] ∵两直线垂直,∴ab2-(b2+4)=0,∴a=b2+4
b2
,∵b>0,∴ab=b2+4
b
=b+4
b≥4,
等号在 b=4
b
,即 b=2 时成立.
12.(文)(2010·重庆文,12)已知 t>0,则函数 y=t2-4t+1
t
的最小值为________.
[答案] -2
[解析] y=t2-4t+1
t
=t+1
t
-4
因为 t>0,y=t+1
t
-4≥2 t·1
t
-4=-2.
等号在 t=1
t
,即 t=1 时成立.
(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数 y=2x,y=x2,y=8
x
的图象都过点 A,且点 A 在
直线 x
m
+ y
2n
=1(m>0,n>0)上,则 log2m+log2n 的最小值为________.
[答案] 4
[解析] 由题易得,点 A 的坐标为(2,4),因为点 A 在直线 x
m
+ y
2n
=1(m>0,n>0)上,所以 1=
2
m
+ 4
2n
≥2 2
m
· 4
2n
,∴mn≥16,所以 log2m+log2n=log2(mn)≥4,故 log2m+log2n 的最小值
为 4.
13.(文)(2010·南充市)已知正数 a,b,c 满足:a+2b+c=1 则1
a
+1
b
+1
c
的最小值为________.
[答案] 6+4 2
[解析] 1
a
+1
b
+1
c
=a+2b+c
a
+a+2b+c
b
+a+2b+c
c
=
2b
a
+a
b +
c
a
+a
c +
c
b
+2b
c +4≥2 2+
2+2 2+4=6+4 2,
等号在2b
a
=a
b
,c
a
=a
c
,c
b
=2b
c
同时成立时成立.
即 a=c= 2b=1- 2
2
时等号成立.
(理)(2010·北京延庆县)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 xy 的最大值是________.
[答案] 1
12
[解析] ∵lg2x+lg8y=lg2,∴2x·8y=2,即 2x+3y=2,∴x+3y=1,∴xy=1
3x·(3y)≤1
3·
x+3y
2 2
= 1
12
,等号在 x=3y,即 x=1
2
,y=1
6
时成立.
14.(文)(2010·重庆一中)设 M 是△ABC 内一点,且AB→·AC→=2 3,∠BAC=30°,定义 f(M)=(m,
n,p),其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(M)=
1
2
,x,y ,则1
x
+4
y
的最小值是________.
[答案] 18
[解析] ∵AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos30°
= 3
2
|AB|·|AC|=2 3,∴|AB|·|AC|=4,
由 f(M)的定义知,S△ABC=1
2
+x+y,
又 S△ABC=1
2
|AB|·|AC|·sin30°=1,
∴x+y=1
2
(x>0,y>0)
∴1
x
+4
y
=2(x+y)
1
x
+4
y =2
5+y
x
+4x
y ≥2(5+2 4)=18,等号在y
x
=4x
y
,即 y=2x=1
3
时成立,
∴
1
x
+4
y min=18.
(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,则 AB
的最小值为______.
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为x
a
+y
b
=1,则 ab
a2+b2
=1,
∴a2b2=a2+b2≥2ab,切线与两轴交于点 A(a,0)和(0,b),不妨设 a>0,b>0,∴ab≥2,则 AB
=|AB|= a2+b2≥ 2ab≥2.
三、解答题
15.已知α、β都是锐角,且 sinβ=sinαcos(α+β).
(1)当α+β=π
4
,求 tanβ的值;
(2)当 tanβ取最大值时,求 tan(α+β)的值.
[解析] (1)∵由条件知,sinβ= 2
2 sin
π
4
-β ,
整理得 3
2
sinβ-1
2
cosβ=0,
∵β为锐角,∴tanβ=1
3
.
(2)由已知得 sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ,
∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ,
∴tanβ=sinαcosα
1+sin2α
= sinαcosα
2sin2α+cos2α
= tanα
2tan2α+1
= 1
2tanα+ 1
tanα
≤ 1
2 2
= 2
4
.
当且仅当 1
tanα
=2tanα时,取“=”号,
∴tanα= 2
2
时,tanβ取得最大值 2
4
,
此时,tan(α+β)= tanα+tanβ
1-tanαtanβ
= 2.
16.(文)(2010·江苏盐城调研)如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD,
现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ
过点 C,其中 AB=30 米,AD=20 米.记三角形花园 APQ 的面积为 S.
(1)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值.
(2)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围内?
[解析] (1)设 DQ=x 米(x>0),则 AQ=x+20,
∵QD
DC
=AQ
AP
,∴ x
30
=x+20
AP
,
∴AP=30 x+20
x
,则 S=1
2×AP×AQ=15 x+20 2
x
=15(x+400
x
+40)≥1200,当且仅当 x=20 时取等号.
(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,
∴0b>0)以双曲线x2
3
-y2=1 的焦点为顶点,其离心率与双曲线的
离心率互为倒数.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点.
①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值;
②若直线 MA、MB 与直线 x=4 分别交于点 P、Q,求线段 PQ 长度的最小值.[来源:Zxxk.Com]
[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数 a、b,即可写出椭圆方程,进而可求得点 A,
B 坐标,设出 M 点坐标,可列出 kMA·kMB 的表达式,利用 M 在椭圆上可消元,通过计算验
证结果为常数,再根据点 A、M、P 三点共线和 M、B、Q 三点共线就可以找到点 P、Q 的纵
坐标之间的关系,即可求出线段 PQ 长度的最小值.
[解析] (1)易知双曲线x2
3
-y2=1 的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为 2
3
,故在椭圆 C 中 a=2,
e= 3
2
,∴c= 3,b=1,故椭圆 C 的方程为x2
4
+y2=1.
(2)①设 M(x0,y0),(x0≠±2),由题易知 A(-2,0),B(2,0),则 kMA= y0
x0+2
,kMB= y0
x0-2
,
故 kMA·kMB= y0
x0+2
· y0
x0-2
= y02
x02-4
,
点 M 在椭圆 C 上,则x02
4
+y02=1,
即 y02=1-x02
4
=-1
4
(x02-4),故 kMA·kMB= y02
x02-4
=-1
4
,直线 MA,MB 的斜率之积为定
值.
②解法一:设 P(4,y1),Q(4,y2),则 kMA=kPA=y1
6
,kMB=kBQ=y2
2
,由①得y1
6
·y2
2
=-1
4
,
即 y1y2=-3,当 y1>0,y2<0 时,|PQ|=|y1-y2|≥2 -y1y2=2 3,当且仅当 y1= 3,y2
=- 3时等号成立,同理可得,当 y1<0,y2>0 时,当且仅当 y1=- 3,y2= 3时,|PQ|
有最小值 2 3.
解法二:设直线 MA 的斜率为 k,直线 MA 的方程为 y=k(x+2),从而 P(4,6k),由①知直线
MB 的斜率为- 1
4k
,直线 MB 的方程为 y=- 1
4k(x-2),故得 Q
4,- 1
2k ,故|PQ|=|6k+
1
2k
|≥2 3,当且仅当 k=± 3
6
时等号成立.