高考数学专题12常用逻辑用语试题理含解析

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高考数学专题12常用逻辑用语试题理含解析

专题 1.2 常用逻辑用语 【三年高考】 1. 【2016 高考浙江理数】命题“ ,使得 ”的否定形式是( ) A. ,使得 B. ,使得 C. ,使得 D. ,使得 【答案】D 【解析】 的否定是 , 的否定是 , 的否定是 .故选 D. 2.【2016 高考山东理数】已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线a 和直线 b 相交”是“平 面 α 和平面 β 相交”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 3.【2016 高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任意的正整数 n, a2n−1+a2n<0”的( ) (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分 条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得, ,故是必 要不充分条件,故选 C. 4.【2016 高考上海理数】设 ,则“ ”是“ ”的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 ,所以是充分非必要条件,选 A. 5.【2015 高考新课标 1,理 3】设命题 : ,则 为( ) *x n∀ ∈ ∃ ∈,R N 2n x> *x n∀ ∈ ∃ ∈,R N 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈,R N 2n x< *x n∃ ∈ ∃ ∈,R N 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈,R N 2n x< ∀ ∃ ∃ ∀ 2n x≥ 2n x< 2 2 2 1 2( 1) 2 1 2 10 ( ) 0 ( 1) 0 ( , 1)n n n n na a a q q q q q− − − − + < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ ∈ −∞ − Ra∈ 1>a 12 >a 2 21 1, 1 1 1a a a a a> ⇒ > > ⇒ > < −或 p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬ (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】 : ,故选 C. 6.【2015 高考湖北,理 5】设 , . 若 p: 成等比数列; q: ,则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】A 7.【2015 高考重庆,理 4】“ ”是“ ”的(   ) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 ,因此选 B. 8.【2015 高考山东,理 12】若“ ”是真命题,则实数 的最小值为 . 【答案】1 9.【2015 高考湖南,理 2】.设 , 是两个集合,则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈ p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 1 2, , , na a a ∈R 3n ≥ 1 2, , , na a a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a− −+ + + + + + = + + +   1x > 1 2 log ( 2) 0x + < 1 2 log ( 2) 0 2 1 1x x x+ < ⇔ + > ⇔ > − 0, ,tan4x x m π ∀ ∈ ≤   m A B A B A= A B⊆ 【答案】C. 【解析】由题意得, ,反之, ,故为充要条件,选 C. 10.【2014 高考湖南卷第 5 题】已知命题 在命题 ① 中,真命题是( ) A①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】当 时,两边乘以 可得 ,所以命题 为真命题,当 时, 因为 ,所以命题 为假命题,则 为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选 C. 11.【2014 陕西高考理第 8 题】原命题为“若 互为共轭复数,则 ”,关于逆命题,否命题,逆 否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 【答案】 【解析】设复数 ,则 ,所以 ,故原命题为真; 逆命题:若 ,则 互为共轭复数;如 , ,且 ,但此时 不互为共轭复,故逆命题为假;否命题:若 不互为共轭复数,则 ;如 , ,此时 不互为共轭复,但 ,故否命题为假;原命题和逆否命题的真假相同, 所以逆否命题为真;故选 . 12.【2014 重庆高考理第 6 题】已知命题 对任意 ,总有 ; 是 的充分不必 要条件则下列命题为真命题的是( ) 【答案】D 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、 必要条件、全称与特称命题等知识点为主,难度不大,全称命题与特称命题,是新课标教材的新增内容, A B A A B= ⇒ ⊆ ABABA =⇒⊆  .,:,: 22 yxyxqyxyxp ><−<−> 则若;命题则若 qpqpqpqp ∨¬¬∧∨∧ )④(③② );(;; x y> 1− x y− < − p 1, 2x y= = − 2 21 4x y= < = q q¬ 1 2,z z 1 2z z= B 1z a bi= + 2 1z z a bi= = − 2 2 1 2z z a b= = + 1 2z z= 1 2,z z 1 3 4z i= + 2 4 3z i= + 1 2 5z z= = 1 2,z z 1 2,z z 1 2z z≠ 1 3 4z i= + 2 4 3z i= + 1 2,z z 1 2 5z z= = B :p x R∈ 2 0x > :" 1"q x > " 2"x > .A p q∧ .B p q¬ ∧ ¬ .C p q¬ ∧ .D p q∧ ¬ 是考查的重点.高考对本节考查的题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现,以本节知识作 为工具,以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为 载体来考查,重点考查学 生的推理能力. 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式,在 2017 年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习, 高考备考 中同学们只需要像集合一样,掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点,对典型的 例题加强练习,不宜搞过深过难的题目,关于本专题 的高考备考还需要注意以下几点:1.在命题类的题目 中首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系;2.要 注意四种命题关系的相 对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真 命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入 手;3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少 个的否定为至多 个等;4.充要条件的判断,重 在“从定义出发”,利用命题“若p,则 q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁 是条件”“谁是结论”,如“A 是 B 的什么条件”中,A 是条件,B 是结论,而“A 的什么条件是 B”中,A 是结论,B 是条件;5.注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不 同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”;6.注意理解逻辑联结词与集合的关系;7.正确区别命题的否定与否 命题. 命题及其关系,以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词, 充要条件 2016 年全 国卷中没考,估计 2017 年可能 从中选一考查.预测 2017 年高考仍会以基本概念为考查对象,并且以本节知识作为工具,以代数中的函数、 不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主,在总分中占 5 分, 重点考查学生的推理能力. 【2017 年高考考点定位】 高考对常用逻辑用语的考查有四种形式:一是考查四种命题的真假与转化,二是逻辑联结词、三是特称与 全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具,以代数中的函数、不等 式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查. 【考点 1】四种命题 【备考知识梳理】 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题. n 1n − 二、四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p,则 q 逆命题 若 q,则 p 否命题 若 ,则 逆否命题 若 ,则 三、四种命题之间的逆否关系 四、四种命题之间的真假关系 1、 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 2、 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 【规律方法技巧】 1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产 生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为: (1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题; (2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题; (3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。 注意:在写其他三种命题时,大前提必须放在前面。 2.正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不 同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要. 3.命题真假的判断方法:判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及 数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 4. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系 p¬ q¬ q¬ p¬ 确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先判断其逆否命题的真假. 5. 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否 定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法. 【考点针对训练】 1. 【安徽省示范高中 2016 届高三第二次联考】原命题为“三角形 ABC 中,若 cosA <0,则三角形 ABC 为钝 角三角形”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,真,真 B. 假,假,真 C.真,真,假 D.真,假,假 【答案】B 【解析】 , 为钝角,则三角形 为钝角三 角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真. 三角形 为钝角三角形,可能是 或者 为钝角, 可能为锐角, .所以逆命题为假,则否命 题也为假.故 B 正确. 2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】下列说法中正确的是( ) A.命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ” B. 已知 是上的可导函数,则“ ” 是“ 是函数 的极值点”的必要不充分 条件 C.命题“存在 ,使得 ”的否定是:“对任意 ,均有 ” D.命题“角 的终边在第一象限,则 是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】B 【考点 2】逻辑连接词 【备考知识梳理】 1.用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 p∧q,读作“p 且 q”. cos 0A < A ABC ABC B C A cos 0A > 2 1x = 1x = 2 1x = 1x¹ ( )y f x= ( )0 0f x¢ = 0x ( )y f x= x RÎ 2 1 0x x+ + < x RÎ 2 1 0x x+ + < a a 2.用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 p∨q,读作“p 或 q”. 3.对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 ,读作“非 p”或“p 的否定”. 4.命题 p∧q,p∨q, 的真假判断:p∧q 中 p、q 有一假为假,p∨q 有一真为真,p 与 非 p 必定是一真一 假. 【规律方法技巧】 1.正确理解逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、 补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 2.正确区别命题的否定与否命题:“否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到 的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p 的结论.命题的否定 与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系. 3.含有逻辑连接词命题的真假判断步骤: (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)判断“p∧q”“p∨q”“ p”命题的真假. 4.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律 (1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即一真即真; (2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即一假即假; (3) p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 【考点针对训练】 1. 【2016 届河北省石家庄市高三二模】 命题 ,命题 在 中,若 , 则 .下列命题为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 2. 【2016 年广东省揭阳市高中毕业班二模】已知命题 ,命题 ,则下列判断正确的是 A.命题 是假命题 B.命题 是真命题 C.命题 是假命题 D.命题 是真命题 p¬ p¬ ¬ ¬ xyyxp 2: ≥+ :q ABC∆ BA sinsin > BA > p q¬ qp ∨ qp ∧ : ,cos sinp x R x x∃ ∈ > 1: (0, ),sin 2sinq x x x π∀ ∈ + > p q∨ p q∧ ( )p q∨ ¬ ( )p q∧ ¬ 【答案】D 【解析】:当 x= 时, 成立,所以,命题 p 是真命题;当 时, ,故 q 是假命题,从而有 是真命题. 【考点 3】全称命题与特称命题 【备考知识梳理】 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意 x 属于 M, 有 p(x)成立”. 2.存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”. 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M, p(x0) ∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M, p(x) 【规律方法技巧】 1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成立; (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p(x0)不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则这一特 称命题就是假命题. 3.全称与特称命题的否定需要注意: (1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. (2)注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 【考点针对训练】 1. 【2016 年安徽淮北一中最后冲刺】命题“ 或 ”的否定形式是( ) 6 π cos sinx x> 2x π= 1sin 2sinx x + = ( )p q∧ ¬ ¬ ¬ 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + < 2 0 0 0x x− > A. 或 B. 或 C. 且 D. 且 【答案】D 2. 【2016 届重庆市南开中学高三 12 月月考】已知命题 对任意 ,有 ,则( ) A. 存在 ,使 B. 对任意 ,有 C. 存在 ,使 D. 对任意 ,有 【答案】A 【考点 4】充分条件与必要条件 【备考知识梳理】 1.如果 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p⇒q,q⇒p,则 p 是 q 的充要条件. 3.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”; (2)传递性:若 p 是 q 的充分(必要)条件,q 是 r 的充分(必要)条件,则 p 是 r 的充分(必要)条件. 【规律方法技巧】 充要关系的几种判断方法 1.定义法:若 ,则 是 的充分而不必要条件;若 ,则 是 的必要而 不充分条件;若 ,则 是 的充要条件; 若 ,则 是 的既不充分也不必 要条件。 2.等价法:即利用 与 ; 与 ; 与 的等价关系,对于条件 或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. 3. 充要关系可以从集合的观点理解:在命题的条件和结论间的关系判断有困难时,有时可以从集合的角度 来考虑,记条件 、 所对应的集合分别为 、 ,则: ○1 若 ,则 是 的充分条件.○2 若 ,则 是 的充分不必要条件. ○3 若 ,则 是 的必要条件.○4 若 A,则 是 的必要不充分条件. 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + ≥ 2 0 0 0x x− ≤ , 1 0x R x∀ ∈ + ≥ 2 0x x− ≤ 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + ≥ 2 0 0 0x x− ≤ , 1 0x R x∀ ∈ + ≥ 2 0x x− ≤ :p x R∈ cos 1x ≤ :p¬ x R∈ cos 1x > :p¬ x R∈ cos 1x > :p¬ x R∈ cos 1x ≥ :p¬ x R∈ cos 1x ≥ ,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒ p q ,p q q p⇒ ⇒ p q ,p q q p≠> ≠> p q p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔ p q A B A ⊆ B p q A B p q A ⊇ B p q B p q ○5 若 = , 则 是 的充要条件.○6 若 , 且 则 是 的既不充分也不必要条件. 【特别提醒】 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”; (2)传递性:若 p 是 q 的充分(必要)条件,q 是 r 的充分(必要)条件,则 p 是 r 的充分(必要)条件. 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同,前者是 “ ”而后者是“ ”. 2.从逆否命题,谈等价转换:由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真 假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”. 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西师大附中高三上学期期末】 “ ”是“曲线 为双曲线”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时, , ,原方程是双曲线方程;当原方 程为双曲线方程时,有 ;由以上说明可知 是“曲线 是 双曲线”充分而非必要条件.故本题正确选项为 A. 2. 【2016 届高三 江西师大附中、鹰潭一中联考】已知 ,“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【应试技巧点拨】 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判 断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与 A B p q A B A B p q ,p q q p⇒ ≠> ,p q q p≠> ⇒ 3>m 02 >−m 121)2( 22 22 =−−⇒=−− m y m xymmx 202,0 >⇒>−> mmm 3>m 1)2( 22 =−− ymmx m R∈ 2 1xy m= + − logmy x= 0 +∞( , ) 3m > 2 2( 2) 1mx m y− − = 否命题同真或同假来判定. 2. 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否 定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法. 3.“p q”“p q”“ p”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假. 4.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p q 真⇔p,q 至少一个真⇔( p) ( q)假. (2)p q 假⇔p,q 均假⇔( p) ( q)真. (3)p q 真⇔p,q 均真⇔( p) ( q)假. (4)p q 假⇔p,q 至少一个假⇔( p) ( q)真. (5) p 真⇔p 假; p 假⇔p 真. 5.命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断规律:p q 中 p、q 有一假为假,p q 有一真为真,p 与非 p 必定 是一真一假. 6.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 真 所有对象使命题真 否定为假全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 真 存在一个对象使命题真 否定为假特称命题 假 所有对象使命题假 否定为真 7.对于命题的考查,因其载体丰富多彩,涉及知识较多,但命题角度以基础知识为主,多以易错点出发命制, 故得分不易,出错率较高,因此解题时一定要静下心来,仔细分析,慢慢审题,联想可能出现的特殊情况,考虑 全面即可. 二年模拟 ∨ ∧ ¬ ∧ ∨ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ¬ ¬ ∧ ∨ 1. 【2016 年湖南师大附中高三月考】“cos = 3 2 ”是“cos 2 = 1 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 2. 【2016 年福建省漳州市二模】已知集合A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x≤﹣2 或 x≥4},则 A∩B=∅的充要 条件是(  ) A.0≤a≤2 B.﹣2<a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2 【答案】A 【解析】解:法一:当 a=0 时,符合,所以排除 C.D,再令 a=2,符合,排除 B,故选 A; 法二:根据题意,分析可得, ,解可得,0≤a≤2;故选 A. 3. 【 2016 届 山 西 省 四 校 高 三 联 考 】 以下四个命题中,真命题的个数是( ) ① 若 ,则 , 中至少有一个不小于 ; ② 是 的充要条件; ③ ; ④ 函数 是奇函数,则 的图像关于 对称. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D α α 2 2 2 4 a a − ≥ −  + ≤ 2a b+ ≥ a b 1 0=⋅ba ba ⊥ [ ) 30 , , 0x x x∀ ∈ + ∞ + ≥ ( 1)y f x= + ( )y f x= (1,0) 4. 【2016 辽宁大连双基,理 4】已知函数 定义域为 ,则命题 :“函数 为偶函数”是命题 : “ ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 偶函数,则有 ;若 ,则有 , ,即 ,而 为奇函数,所以命题 :“函数 为偶函数” 是命题 :“ ”的充分不必要条件,故选 A. 5. 【2016 广东广州一模】已知下列四个命题: :若直线 和平面 内的无数条直线垂直,则 ; :若 ,则 , ; :若 ,则 , ; :在△ 中,若 ,则 . 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 6. 【2016 届湖北省八校高三联考】已知圆 方程为 ,若 : ; :圆 上至多有 3 个点到直线 的距离为 1,则 是 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆心 到直线 的距离 ,当 时,圆上恰有一个点到直线的 ( )f x R p ( )f x q 0 0 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ = − ( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ) sin( )f x xπ= ( 1) sin( ) 0f π− = − = (1) sin 0f π= = ( 1) (1)f f− = ( ) sin( )f x xπ= p ( )f x q 0 0 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ = − 1p l α l α⊥ 2p ( ) 2 2x xf x −= − x∀ ∈R ( ) ( )f x f x− = − 3p ( ) 1 1f x x x = + + ( )0 0,x∃ ∈ +∞ ( )0 1f x = 4p ABC A B> sin sinA B> C ( ) ( )2 2 21 0x y r r− + = > p 1 3r≤ ≤ q C 3 +3 0x y− = p q C 3 +3 0x y− = 1 3 0+3 2 1 3 d − × = = + 1r = 距离为 ,当 时,圆上有两个点到直线的距离为 ,当 时,圆上有三个点到直线的距离为 , 所以 ;若圆 上不存在点到直线的距离为 时, ,所以 ,所以 是 的充分不必 要条件. 7. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三第四次考试】下列命题中正确的是( ) A.若 为真命题,则 为真命题 B.“ , ”是“ ”的充分必要条件 C.命题“若 ,则 或 ”的逆否命题为“若 或 ,则 ” D.命题 ,使得 ,则 ,使得 【答案】D 【解析】对选项 A,因为 为真命题,所以 中至少有一个真命题,若一真一假,则 为假命题, 故选项 A 错误;对于选项 B, 的充分必要条件是 同号,故选项 B 错误;命题“若 , 则 或 ”的逆否命题为“若 且 ,则 ”,故选项 C 错误;故选 D. 8. 【河北省武邑中学 2016 届高三上学期期末考试】下列命题正确的个数是( ) (1)命题“若 则方程 有实根”的逆否命题为:“若方程 无实根则 ” (2)对于命题 :“ 使得 ”,则 :“ ,均有 ” (3)“ ”是“ ”的充分不必要条件 (4)若 为假命题,则 均为假命题 A. B. C. D. 【答案】C 9.【湖南省衡阳市第八中学 2016 届高三第三次月考】数列 满足:存在正整数 ,对于任意正整数 都 有 成立,则称数列 为周期数列,周期为 .已知数列 满足 , 1 1 3r< < 1 3r = 1 p q⇒ C 1 0 1r< < /q p⇒ p q p q∨ p q∧ 0a > 0b > 2b a a b + ≥ 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ :p 0 Rx∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ − < :p¬ Rx∀ ∈ 2 1 0x x+ − ≥ p q∨ ,p q p q∧ 2b a a b + ≥ ,a b 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 0>m 02 =−+ mxx 02 =−+ mxx 0≤m p Rx∈∃ 012 <++ xx p¬ Rx∈∀ 012 ≥++ xx 1≠x 0232 ≠+− xx qp ∧ qp, 4 3 2 1 }{ na T n nTn aa =+ }{ na T }{ na )0(1 >= mma ,现给出以下命题: ①若 ,则 可以取 3 个不同的值 ②若 ,则数列 是周期为 3 的数列 ③ 且 ,存在 , 是周期为 的数列 ④ 且 ,数列 是周期数列.其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②③ 10.【河北省衡水中学 2016 届高三上学期一调】已知 ,命题 ,命题 . (1)若命题 为真命题,求实数 的取值范围;    ≤< >− =+ 10,1 1,1 1 n n nn n aa aa a 43 =a m 2=m }{ na ∗∈∀ NT 2≥T 1>m }{ na T Qm ∈∃ 2≥m }{ na a R∈ [ ] 2: 1,2 , - 0p x x a∀ ∈ ≥ 2q : 2 2, - 0x R x ax a∃ ∈ + + = p a (2)若命题“ ”为真命题,命题“ ”为假命题,求实数 的取值范围. 【解析】(1)因为命题 .令 ,根据题意,只要 时, 即可,也就是 ; (2)由(1)可知,当命题 为真命题时, , 命题 为真命题时, ,解得 或 因为命题“ ”为真命题,命题“ ”为假命题,所以命题 与 一真一假, 当命题 为真,命题 为假时, , 当命题 为假,命题 为真时, . 综上: 或 . 11. 【2015 届湖南省益阳市高三四月调研】给出下列两个命题:命题 : ,当 时, ;命题 :函数 是偶函数.则下列命题是真命题的是 A. B. C. D. 【答案】B. 12. 【2015 届浙江省嘉兴市高三下学期教学测试一】已知条件 ,条件 .若 是 的充分不必要条件,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得: ,令 则该函数开口向上 且对称轴为 ,所以结合图像观察若 是 的充分不必要条件,则应满足 或 . p q∨ p q∧ a [ ] 2: 1,2 , - 0p x x a∀ ∈ ≥ ( ) 2 -f x x a= [ ]1,2x ∈ ( )min 0f x ≥ 1- 0 1a a≥ ⇒ ≤ p 1a ≤ q ( )24 4 2 0a a∆ = − − ≥ 2a ≤ − 1a ≥ p q∨ p q∧ p q p q 1 2 12 1 a aa ≤ ⇒ − < <− < < p q 1 12 1或 a aa a > ⇒ > ≤ − ≥ 1a > 2 1a− < < 1p , (0, )a b∃ ∈ +∞ 1a b+ = 1 1 4a b + = 2p x xy + −= 1 1ln 1 2p p∧ ( )1 2p p∧ ¬ 1 2( )p p¬ ∨ 1 2( ) ( )p p¬ ∧ ¬ 043: 2 ≤−− xxp 096: 22 ≤−+− mxxq p q m ]1,1[− ]4,4[− ),4[]4,( +∞−−∞  ),4[]1,( +∞−−∞  41:043: 2 ≤≤−⇒≤−− xpxxp ( ) 22 96 mxxxf −+−= 3=x p q ( ) 401 ≥⇒≤− mf 4−≤m 13. 【2015 届安徽省淮南一中等四校高三 5 月联考】已知命题 :“存在 ,使得 ”,则下列说法正确的是( ) A. 是假命题; “任意 ,都有 ” B. 是真命题; “不存在 ,使得 ” C. 是真命题; “任意 ,都有 ” D. 是假命题; “任意 ,都有 ” 【答案】C 【解析】由于 所以存在 ,使得 ,即 是真命题;而存在性命 题的否定是全称命题,否定结论,所以 “任意 ,都有 ”,故选 . 14. 【2015 届山东省日照市高三校际联合检测(二模)】下列说法不正确的是( ) A.若“p 且 q”为假,则 p,q 至少有一个是假命题 B.命题“ ”的否定是“ ” C.“ ”是“ 为偶函数”的充要条件 D.当 时,幂函数 上单调递减 【答案】C 15. 【2015 届北京市东城区高三 5 月综合练习二】已知 , 是简单命题,那么“ 是真命题”是“ 是真命题”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若 是真命题,则 为真命题,且 为真,而 为假命题,所以“ 是真命题”是 为真命题的既不充分也不必要条件,所以答案为 D. p [ )0 1,x ∈ +∞ 0 2(log 3) 1x ≥ p :p¬ [ )1,x ∈ +∞ 2(log 3) 1x < p :p¬ [ )0 1,x ∈ +∞ 1)3(log 0 2 = [ )0 1,x ∈ +∞ 0 2(log 3) 1x ≥ p :p¬ [ )1,x ∈ +∞ 2(log 3) 1x < C 2, 1 0x R x x∃ ∈ − − < 2, 1 0x R x x∀ ∈ − − ≥ 2 πϕ = ( )sin 2y x ϕ= + 0α < ( )0,y xα= +∞在 p q p q∧ p¬ p q∧ p q p¬ p q∧ p¬ 拓展试题以及解析 1. 已知命题 : , ,则下列说法正确的是( ) A.命题 为假命题; : , B.命题 为假命题; : , C.命题 为真命题; : , D.命题 为真 命题; : , 【答案】C 【入选理由】本题主要考查含量词的命题的真假判断及其否定形式、导数与函数的最值等,考查基本的逻 辑推理能力以及函数与方程的思想等,本题考查的知识面大,但是不难,是比较典型的高考题样板. 2.已知命题 : ,当 时, ;命题 :过一条直线有且只有一个平面和已 知平面垂直.在命题① ;② ;③ ;④ 中,真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】对于命题 :当 时, ,当且仅当 时取等号,故命题 是真命题;对于命题 :当直线和平面垂直时,过这条直线和已知平面垂直 的平面有无数多个,故命题 是假命题,所以命题① 是假命题;②命题 是真命题;③命题 是真命题;④命题 是假命题,所以选 C. 【入选理由】本题考查基本不等式、直线和平面的位置关系、含逻辑联结词的命题真假的判断等基础知识, p (0, )x π∀ ∈ sinx x> p p¬ (0, )x π∃ ∈ sinx x< p p¬ (0, )x π∀ ∈ sinx x≤ p p¬ (0, )x π∃ ∈ sinx x≤ p p¬ (0, )x π∀ ∈ sinx x≤ p , (0, )a b$ Î +¥ 1a b+ = 1 1 5a b+ = q p q∧ p q∨ ( )p q¬∧ ( )p q¬ ∨ p 1a b+ = 1 1 1 1( )( )a ba b a b + = + + 2 b a a b = + + ≥ 2 2 4b a a b + ⋅ = 1 2a b= = p q q p q∧ p q∨ ( )p q¬∧ ( )p q¬ ∨ 意在考查基本运算能力、空间想象能力.近几年来复合命题的真假是高考的常考内容,所以需要特别注意. 3.已知命题 : , ,命题 :“ ”是“ ”的充分不必要条件,则下列 命题为真命题的是( ) A. B. C. D. .【答案】C 【解析】根据指数函数的性质可知,命题 为真命题;由 ,所以“ ”是 “ ”的充要条件,所以命题 为假命题,所以 为真命题,故选 C. 【入选理由】此题综合考查了数函数的性质,对数不等式的解法,是一道比较综合的复合命题题,比较典型, 是高考比较青睐的一种类型,体现小题综合化,故押此题. 4.已知命题 :“ R, ”的否定是“ R, ”;命题 :函数 有三 个零点,则下 列命题为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】B p Rx∈∀ 03 12 >+x q 20 << x 1log2 +∈∀ 5),3,2( 2 a 52 ),( ∞+ 2 9 ]52,(−∞ p¬ axxx ≤+∈∃ 5),3,2( 2 p xxax 5),3,2( +≥∈∃ min)5( xxa +≥ 32 << x 52525 =×≥+ xxxx xx 5= 5=x 52≥a 2 2am bm< a b< βα, 1tan( ) 2 α β+ = 1tan 3 β = π2 4 α β+ = x f x = f x g x = g x− − −( ) ( ),( ) ( ) 0>x f x 0 g x 0′ ′( )> , ( )> 0<x )( )> (f x g x′ ′ (2,1), ( , 4)m n a= = −  m n⊥  2a = 2 2<am bm 2 0>m <a b tan( ) tantan( 2 ) tan[( ) ] 11 tan( ) tan α β βα β α β β α β β + ++ = + + = =− + βα, 1tan 3 β = π0 2 2 < α + β < 所以 ,故②正确;对于③,由对于任意实数 x,有 ,得函数 为奇函数,函数 为偶函数,根据奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反, 易判断③正确;对于④,由 得 ,即 ,所以 ,故④正确. 【入选理由】本题是一道判断命题真假的题目,综合考查不等式、三角恒等变换公式、导数与函数的性质、 向量垂直的充要条件,比较典型,体现小题综合化,故押此题. π2 4 α β+ = f x = f x g x = g x− − −( ) ( ), ( ) ( ) ( )f x ( )g x m n ⊥ = 0m n×  2 4 0a − = 2a =
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