高考导数及其应用高考生必备
2011年高考：导数及其应用-高考生必备
导数及其应用
【考点综述】
考查的基本原则是：重点考查对导数概念本质的理解和计算，力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。
【重点知识】
1. 平均变化率及瞬时变化率：
(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率：
（2）函数f(x)在x0处的瞬时变化率：
==
2. 导（函）数的定义：
（1）．在点x0处可导存在
、都存在且相等。
（2）．在一点x=x0处的导数为
==
（3）．若对任意都有=成立，则函数在区间上可导；
在端点a、b处判断是否可导的方法是：若存在，则在（a,b]上可导；若在存在，则在[a,b）上可导；若，都存在，则在[a,b]上可导。
注：新课标对极限要求降低，上述定义涉及的极限表达式仅供理解定义本质时作参考。
3. 基本初等函数的导数公式
①为常数）；②但不为零）；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧
4. 导数的四则运算法则
若的导数都存在，则①； ②为常数）；
③；特别地，；④
5. 复合函数求导公式（课本20～21页）
（1）复合层次的划分：
对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。
基本初等函数有以下六类：①常函数；②指数函数；③对数函数；④幂函数为常数）；⑤三角函数
； ⑥反三角函数（略）。
（2）求导法则
设，则。例如：
①求导：
②已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是．
6. 抽象函数求导问题
如：①设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）
A.B.C. D.
②已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
【重点结论】
1. 求导与单调性：
若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则
在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：
对一切有
例如：
①已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。
②已知函数f(x) = 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。
2. 求导与极值：（课本27～28页）
若当时且当时，则为在上的极大（小）值。
注意：（1）正确理解极值定义：
（2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极小值，但是不可导。
（3）驻点即满足的点不一定是取得极值的点，如：在点处。
综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。
例如：
①函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（ ）
A、x=2 B、x=－1 C、x=1或－1或0 D、x=0
②求的极值点。
③已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是。（状元之路50页5）
3. 求导与几何意义：
以曲线上一点为切点的切线方程是
（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如：
①已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程是。（状元之路44页）
练习：已知曲线上一点求过点P的切线方程。
（2）利用导数的几何意义识图：如
已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是（ ）
【典例分析】
题型1 求单调区间
例1设函数，其中a>0。
（1）求f(x)的单调区间；
（2）解不等式f(x)≤1。
题型2 研究极值问题
例2 设函数f(x)=(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值。
(1)求a、b、c、d的值；
(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤。
题型3 导数与图象特征结合
例3已知平面向量=(,-1)，=(,).
(1)证明⊥；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
例4．（07湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
【启迪迁移】
1．（07全国2理）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
总结：用导数方法讨论“函数与的图象交点个数”问题，一般步骤如下：
1. 构造函数；
2. 求导，研究的单调性与极值（必要时研究函数图象端点的极限情况）；
3. 画出函数的图象（示意图），观察它与x轴的交点情况（以上不必写在卷面上），由此列出方程（组）或不等式（组）；
4. 解方程或不等式（组）得解并作答。
题型4 导数的实际应用
例5 从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边
为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无
盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比
值不超过常数t.问取何值时，容积V有最大值。
例6 （07北京）
题型5 用于证明不等式或求“恒成立”型不等式参数范围
（肇始于课本27页练习B3）
例7已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2.
【启迪迁移】
1．证明：当x>0时，有
2．设函数。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。
3. 已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若2n≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。
4.已知函数f(x)=ln2(1+x)-.
(I)求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.
5．（06川理22）已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：当时，
题型6.用于讨论某些超越方程的解
例8 讨论方程实根个数。
【启迪迁移】
1.（预测题）证明方程x=sinx在(－∞，＋∞)内只有一个实根。
【实战演练】
一、选择题
1．对于R上可导的任意函数满足，则（ ）
A.B.
C. D.（状元之路49页）
2．已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为以A、B、C为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ）
A k1
0，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3（状元之路47页4）
4．已知二次函数的导数为，对于任意实数x都有，则的最小值为（ ）
A 3 B C 2 D （状元之路49页B1）
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）
二、填空题
6．曲线与曲线在交点处的切线的夹角为。
7．已知且，则的取值范围是。
8．已知函数f (x)=ax3＋bx2，曲线y=f (x)过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y=0垂直。若f (x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围。
三、解答题
9．已知曲线，求与C1、C2均相切的直线l的方程。
10．函数，过曲线上的点的切线方程为
y=3x+1
（1）若时有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在[-3，1]上的最大值；
（3）若函数在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围。
11．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。
①求服药一次治疗疾病有效的时间？
②当t=5时，第二次服药，问t时，药效是否连续？
12．已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证：
≤xn＋(1－x)n≤1
13．(1990日本高考题)设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。
14．（09广东理）已知曲线。从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（１）求数列的通项公式；
（２）证明：。
15.（09辽理）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。
16.（06福建理21）已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
答案：
【重点知识】
5. 复合函数求导公式
①划分复合层次：，
求导：；
②法1 （代换法）由―――――（1）得
，
即，―――――（2）
∴联立（1）（2）消去得
∴，∴所求切线方程为，即．
法2 （复合函数求导法）两边求导得，令x=1得
，
在原式中令x=1得，于是所求切线方程为，
即．
注：法2用到复合函数求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。
6. 抽象函数求导问题
①构造特殊函数，适合题意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故选A.
②用结论：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.
【重点结论】
1. 求导与单调性：
①递减对任意恒成立
②错解：f′(x)=，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤。
剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0 (f′(x)≤0)且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。故a的取值范围是
2. 求导与极值：
①错解: f (x) =x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1，
x=－1和x=0，故正确答案为C.
正解: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x) =6x5－12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0. f (x)在 (－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。
剖析：（1）在可导的条件下，满足f′(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。
②答案：x=±1，0 (易遗漏)
注：在求极值点的时候，有时还要注意导数不存在的点.如上例中x=0处。
3. 求导与几何意义：
①设切点为，则①，而，切线方程为
，又切线过点P（2，4）有②
解①②：得
若则P（2，4）为切点，切线方程为4x-y-4=0；
若则为切点，切线方程为x-y+2=0.
练习答案为12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0.
（2）利用导数的几何意义识图：
解析：导函数都为正，说明都是增函数，均适合；在点x0处有相同导数说明这两个函数图像在点x0处的切线平行（排除B）；g(x)的导函数递增说明g(x)的图象向下凸，f(x)的导函数递减说明f(x)的图象向上凸，结合以上性质应选D。不过，用导数研究图像凸凹性，超出了新教材应用范围，是有超纲嫌疑的！当然，不提图象凸凹性，在图像上观察切线斜率的变化趋势也可直观获解，这对于导数几何意义的灵活运用提出了较高要求。
评注：通过导数可以研究函数的单调性、极值、凸凹性、驻点、拐点、渐近线等，结合定义域、值域可以较好地使用描点法直观地较为准确地作出函数图象，这对于深入认识函数本质具有重要作用。在研究图象性质的问题中有一大类是讨论函数f(x)图象与曲线g(x)尤其是与直线y=a的公共点个数问题，其基本解法是通过构造新函数转化为讨论函数的零点或研究方程实解问题；反之，对于一些方程实根讨论问题也可转化为构造相关函数研究其性质（单调性与极值）而获解。
【典例分析】
题型1 求单调区间
例1 解：(1)
① 当a≥1时，有，此时f/(x)<0，
∴函数f(x)在区间上是单调递减函数。
② 当00得，
∴f(x)在区间上是单调递增函数。
(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间上是单调递减函数,
由f(0)=1,∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.
当0-1，且x≠0)
由题设0a时，，因此F(x)在上为增函数.
从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).
即.
设，则
当x>0时，，因此上为减函数。
即，
综上，原不等式得证。
【启迪迁移】
1．证明：当x>0时，有
分析：构造函数，研究其单调性后作判断。
2．解析：（Ⅰ）若 则，列表如下：
+
0
-
-
单增
极大值
单减
单减
（Ⅱ）在两边取对数, 得,由于所以(1)
由(1)的结果可知,当时,, 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即为所求。
评注：寻找（2）中不等式与（1）的联系（观察其结构特征），通过取对数转化为求函数f(x)的最大值问题。
3. 分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t≤恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：
法1：研究数列{bn}的单调性。
法2：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故
（注：不能直接对求导，为什么？）
4.解析: （Ⅰ）函数的定义域是，
设则
令则
当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为 所以a的最大值为
评注：仿本题取对数并化离散为连续进行构造转化利用单调性可求最小值解决问题；值得注意的是本题在考察单调性需要判断符号而难以直接判断时可以考虑进行二次构造甚至三次（多次）构造，是典型的用构造方法转化并解决问题的好例。
5．证明：法1：由，得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立，∵
设，则，令得，列表如下：
极小值
∴
∴ 对任意两个不相等的正数，恒有
法2：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设，，则，列表：
极小值
∴ 即
∴
即对任意两个不相等的正数，恒有
探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数的本质所在。
特别提示：上述例题充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，还说明了一点：欲用导数，得先构造函数。请认真研究构造函数的技巧！如上述选题1～5.这将是今后较长时间内高考的热点问题。
3. 用于讨论某些超越方程的解
例7简析 设的切线为，切点为，则
①,②,
另一方面有③,
由③知代入①②得 于是有：
（1）当时方程有一解，为（2）当时方程无解，（3）当时有两解。
评注：体会用切线定位，解决问题的妙用。
【启迪迁移】
1.解答：设f(x)=x－sinx，即证f(x)=0只有一个实数根。
因为f′(x)=1－cosx≥0，其中等号只在孤立点x=2kπ(k∈Z)时成立。
故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。
又由于f(0)=0，故当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f (x)＜0。
因此f (x)=0只有一个实数根x=0.
【实战演练】
一、选择题 CBDCC
4. 提示：，，可知必有（否则），于是
二、填空题
6． 90°。 7． （-∞，-1）。 8． m≥0或 m≤-3。
三、解答题
9．由得，由 ，得；
设直线l与的切点为的切点为
①
②
③
④
根据已知条件
①+②整理得；由③得；
即，代入④与①联立可解得x1=0或x1=2
当x1=0时，x2=2；当x1=2时，x2=0；
∴直线l过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，-4）点因此所求直线方
程为y=0或y=4x-4。
10．解：（1）由求导数得过上点的切线方程为：
，
而过上，的切线方程为
①②
故 即
在x=-2时有极值，故=0 ③
由①②③式联立解得，
（2）
-2
+
0
—
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
，
，在[-3，1]上最大值为13。
（3）在区间 [-2，1]上单调递增，又，
由（1）知，
依题意在[-2，1]上恒有在[-2，1]上恒成立。
① 当时，，；
② 当时，，b不存在；
③当时，，∴0≤b≤6；
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。
11．解答：（1）当0≤t≤1时，y=4t，
当t≥1时，，此时M（1，4）在曲线上，
，这时，所以
（2）① 解得
∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时。
②设，5小时第二次服药后，血液中含药量g(t)为：第二次产生的含药量4（t-5）毫克以及第一次的剩余量毫克，即g(t)=4(t-5)+
只要证明，当g(t)≥0.25即可
，在R上是增函数，
上有，
上是增函数，故g(t)≥g(5)=0.25，
∴当t=5时，第二次服药，时，药效连续。
12. 解答：设则，
令，得，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x=，
可得在区间递减，在上递增，又经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为，1，所以≤xn＋(1－x)n≤1。
13．解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0. 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－；设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.
两切线交点为(x，y) ，则
因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a
由此及②可得x=，y=－a＜
从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分。
14．解：（1）设直线：，联立得
，则，
∴（舍去）
，即，∴
（2）证明：∵
∴
由于，可令函数，则
，令，得，给定区间，则有，故函数在上单调递减，∴，即在恒成立；又，
则有，即.
15.【解析】：（1）的定义域为，
（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。
（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。
故在上单调减少，在，上单调增加。
（iii）若，即， 同理可得在上单调减少，在，上单调增加。
（2）考虑函数，
则，
由于，故，即在上单调增加，从而当时，
有，即，故；
当时，有。
【评注】注意第（2）问根据所证结论，巧妙构造函数的技巧！
16. 解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,
当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;
当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;
当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t .
t<3,
3≤t≤4,
t>4
综上，h(t)=
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴j(x)=x2－8x+6ln x+m,
∵
当x∈(0,1)时，>0，j(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，<0，j(x)是减函数；
当x∈(3,+∞)时，>0，j(x)是增函数；
当x=1或x=3时， =0；
∴j(x)极大值=j(1)=m－7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 3－15.
∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0.
∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
解得7
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