高考数学最后压轴大题全国名校模拟题精编

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‎2012年高考数学最后压轴大题 ‎1．（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；‎ ‎ 设，求证：‎ ‎1、解：（1）对恒成立，‎ ‎ 对恒成立 ‎ 又 为所求。‎ ‎ （2）取，，‎ ‎ 一方面，由（1）知在上是增函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面，设函数 ‎ ‎ ‎ ∴在上是增函数且在处连续，又 ‎ ∴当时，‎ ‎ ∴ 即 ‎ 综上所述，‎ ‎2．已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线 ‎2012年高考数学最后压轴大题 ‎1．（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；‎ ‎ 设，求证：‎ ‎1、解：（1）对恒成立，‎ ‎ 对恒成立 ‎ 又 为所求。‎ ‎ （2）取，，‎ ‎ 一方面，由（1）知在上是增函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面，设函数 ‎ ‎ ‎ ∴在上是增函数且在处连续，又 ‎ ∴当时，‎ ‎ ∴ 即 ‎ 综上所述，‎ ‎2．已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线 的距离为 ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。‎ ‎2．解：（1）由题意得： …………………1分 ‎ 由题意 ‎ 所以椭圆方程为………………………3分 ‎ （2）容易验证直线l的斜率不为0。‎ 故可设直线l的方程为 ‎ 中，得 ‎ 设 ‎ 则 ……………………………5分 ‎∵ ∴有 ‎ 由 …………7分 ‎∵‎ 又 故 ‎……………………………………………………8分 令 ∴，即 ‎ ‎∴‎ 而 ， ∴‎ ‎∴………………………………………………………10分 ‎3．已知函数， ‎ ‎ （1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎ （2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎ （3）当时，证明： ‎ ‎3．解：（1）在上恒成立，‎ ‎ 令 ，有 得……………………… 4分 ‎ 得 …………………………………………………………………………… 5分 ‎ （2）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎ ……………………………………………6分 当时，在上单调递减，，（舍去），‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎，，满足条件. ‎ ‎③当时，在上单调递减，，（舍去），‎ 综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………………10分 ‎（3）令，由（2）知，.令，，‎ 当时，，在上单调递增 ‎ ‎∴ ‎ ‎ 即.………14分 ‎4．设函数 ‎ ‎（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；‎ ‎（2）若函数在内没有极值点，求的范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎4.解：（1）当时，‎ 因为有三个互不相同的零点，所以，‎ 即有三个互不相同的实数根。‎ 令，则。‎ 因为在和均为减函数，在为增函数，‎ 的取值范围 ‎ （2）由题可知，方程在上没有实数根，‎ 因为，所以 ‎（3）∵，且，‎ ‎∴函数的递减区间为，递增区间为和；‎ 当时，又，‎ ‎∴而 ‎∴，‎ 又∵在上恒成立，‎ ‎∴，即，即在恒成立。‎ ‎∵的最小值为 ‎∴‎ ‎6．（本题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；‎ ‎ （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．‎ ‎6．解：（Ⅰ）‎ 相切 ‎ ‎∴椭圆C1的方程是 …………3分 ‎ （Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离， ∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线 ‎∴点M的轨迹C2的方程为 …………6分 ‎ （Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，‎ ‎，则直线AC的方程为 联立 所以 ‎…．9分 由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得 ‎∵，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为……．．12分 由 所以时取等号． …………13分 易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积 ‎9．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|＋|＝，求直线l的方程．‎ ‎9．解析：（1）由条件有解得a＝，c＝1．‎ ‎∴b＝＝1．‎ 所以，所求椭圆的方程为＋y2＝1．‎ ‎（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，‎ 将x＝－1代入椭圆方程得y＝±．‎ 不妨设M．N，‎ ‎∴＋＝＋＝（－4,0）．‎ ‎∴|＋|＝4，与题设矛盾．‎ ‎∴直线l的斜率存在．‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．‎ 设M（x1，y1）．N（x2，y2），联立 消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．‎ 由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y1＋y2＝k（x1＋x2＋2）＝．‎ 又∵＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），‎ ‎∴＋＝（x1＋x2－2，y1＋y2）．‎ ‎∴|＋|2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2‎ ‎＝2＋2＝．‎ ‎∴＝2．‎ 化简得40k4－23k2－17＝0，‎ 解得k2＝1或k2＝－（舍）．∴k＝±1．‎ ‎∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．‎ ‎10．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足在线段的中垂线上．‎ ‎ （1）求椭圆的方程;‎ ‎ （2）如果圆E：被椭圆所覆盖，求圆的半径r的最大值．‎ ‎14.（本小题满分12分）‎ 已知，函数，（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解（1）：∵，∴．‎ 令，得． ‎ ①若，则，在区间上单调递增. ‎ ②若，当时，，函数在区间上单调递减，‎ 当时，，函数在区间上单调递增，‎ ③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分 ‎（2）解：‎ ‎∵，，‎ 由（1）可知，当时，．‎ 此时在区间上的最小值为，即．‎ 当，，，∴． ‎ 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解． ‎ 而，即方程无实数解． ‎ 故不存在，使曲线在 处的切线与轴垂直……12分 ‎15．（本小题满分12分）‎ 已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．‎ ‎（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；‎ ‎（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值． ‎ 解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为； 若，即，动点所在的曲线方程为.……4分 ‎(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且 设，，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组 得，‎ 同理可求得， ‎ ‎ 面积= ………………8分 令则 令 所以，即 ‎ 当时，可求得,故，‎ ‎ 故的最小值为，最大值为1. ……12分 ‎18（本小题满分12分）‎ 设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 解： 椭圆的方程为 4分 ‎(2) ①当直线AB斜率不存在时，即,由 ‎…………5分 又在椭圆上，所以 ‎ ‎ 所以三角形的面积为定值.……6分 ‎②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ‎ ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0……………8分而,‎ ‎ ……………10分 ‎ S=|AB|=|b|===1‎ 综上三角形的面积为定值1.………………………12分 ‎20.已知函数的导数 ‎．a，b为实数，．‎ (1) 若在区间上的最小值、‎ 最大值分别为、1，求a、b的值；‎ (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）‎ 处的切线方程；‎ (3) 设函数，试判 断函数的极值点个数．‎ 解：(1) 由已知得，， 由，得，．‎ ‎∵，，‎ ‎∴ 当时，，递增；www.ks5u.com当时，， 递减．‎ ‎∴ 在区间上的最大值为，∴．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ 由题意得，即，得． 故，为所求．‎ ‎(2) 由 (1) 得，，点在曲线上．‎ 当切点为时，切线的斜率，‎ ‎∴ 的方程为，‎ 即． ‎ ‎(3 ‎ 二次函数的判别式为 令，得：‎ 令，得 ∵，，‎ ‎∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；‎ 当时，此时方程有两个不相等的实数根，‎ 根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．‎ ‎21(本小题满分12分)‎ 设F是椭圆C：的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知．‎ (1) 求椭圆C的标准方程；‎ (2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点 A、B求证：∠AFM =∠BFN；‎ (3) 求三角形ABF面积的最大值．‎ 解：(1) ∵ ∴ a = 4‎ 又∵ | PM | = 2 | MF |得 ‎ ‎ ‎(2) 当AB的斜率为0时，显然满足题意 当AB的斜率不为0时，设，AB方程为 代入椭圆方程整理得 则 ‎ 综上可知：恒有 ‎ ‎(3)‎ 当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.‎ ‎∴三角形ABF面积的最大值是3 ‎23已知函数f(x)=‎ ‎(1)当时, 求的最大值;‎ ‎(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由．‎ ‎(2)存在符合条件 ‎ 解: 因为=‎ 不妨设任意不同两点，其中 则 ‎ 由 知: 1+‎ 又 故 故存在符合条件． …12分 解法二:据题意在图象上总可以在找一点 使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 ‎ 故存在符合条件．‎ ‎27已知经过点，且与圆内切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程.‎ ‎（Ⅱ）以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形（为坐标原点）.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为椭圆，可以求得，，，‎ 所以曲线的方程为．……………………5分 ‎（Ⅱ）假设上存在点，使四边形为平行四边形．‎ 由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为.‎ 设直线的方程为，，.‎ 由，得 ‎，‎ 由得，且，，………7分 则，‎ ‎，‎ ‎　　 上的点使四边形为平行四边形的充要条件是，‎ 即 ‎ 且，‎ 又， ，所以可得，…………9分 可得，即或．‎ 当时，，直线方程为；‎ 当时，，直线方程为 ‎．高☆考♂资♀源€……………………12分 ‎29‎ A﹑B﹑C是直线上的三点，向量﹑﹑满足： -[y+2]·+ln(x+1)·= ；‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞；‎ ‎（Ⅲ）当时,x及b都恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解I）由三点共线知识，‎ ‎∵,∴,∵A﹑B﹑C三点共线，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴∴，‎ ‎∴f(x)=ln(x+1)………………4分 ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)－,‎ 由，‎ ‎∵x>0∴‎ ‎∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> ;………8分 ‎（III）原不等式等价于,令 h(x)= =由 当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分 ‎32.已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线的方程 ‎（Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准`线BC的方程.‎ 解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线上， 所以 ，即. ………….2分 ‎ 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. ……………….3分 ‎（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为 …6分 ‎（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为， ………………8分 ‎ 由 得,……….10分 ‎ 易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，‎ ‎ 所以点B的坐标为,‎ 同理可得C点坐标为, ……………….11分 所以 ‎, ……………….9分 线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，‎ 所以 ,由于， 解得 . …………….10分 此时，点B的坐标为，点C的坐标为，‎ ‎ 直线BC的斜率为，‎ 所以，BC的方程为，即. …….12分 ‎33.已知函数和的图象关于原点对称，且．‎ ‎ (Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎ (Ⅱ)解不等式；‎ ‎ (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．‎ 解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 ‎∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时，，此时不等式无解。‎ 当时，，解得。‎ 因此，原不等式的解集为。‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎① ‎ ‎②‎ ⅰ）‎ ⅱ） ‎ ‎37.已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正的数列满足：求证：‎ 解：（1）‎ 依题意在时恒成立，即在恒成立.‎ 则在恒成立，即 ‎ 当时，取最小值 ‎∴的取值范围是 ……‎ ‎（2）‎ 设则列表：‎ 极大值 ¯ 极小值 ‎∴极小值，极大值，又 ……‎ 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根. ‎ 则， 得 ………… ‎ ‎（3）设，则 在为减函数，且故当时有.‎ 假设则，故 从而 即，∴ …………‎ ‎38.已知．‎ ‎（1）求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）设实数，求函数在上的最小值；‎ ‎（3）证明对一切，都有成立．‎ 解：（1）定义域为 又 ‎ 函数的在处的切线方程为：，即 ……3分 ‎（2）令得 当，，单调递减，当，，单调递增． …………5分 ‎（i）当时，在单调递增，，…………6分 ‎（ii）当即时，…………7分 ‎（iii）当即时，在单调递减，………………8分 ‎(3)问题等价于证明， ‎ 由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值……10分 设，则，‎ 当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值…………12分 所以且等号不同时成立，即 从而对一切，都有成立．…………13分 ‎22．（本小题满分14分）已知函数处取得极值． ‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立．‎ ‎22．解：（I） ……………………………………………2分 时，取得极值，‎ ‎ …………………………………………………………………3分 故，解得a=1，‎ 经检验a=1符合题意．……………………………………………………………4分 ‎（II）由a=1知 得 令 则上恰有两个不同的实数根等价于 在[0，2]上恰有两个不同的实数根．…………………5分 ……………6分 当上单调递增 当上单调递减．‎ 依题意有 ‎ ‎ …………………9分 ‎（III）的定义域为 ……………10分 由（1）知 ………………………………………11分 令（舍去），单调递增；‎ 当x>0时，单调递减．上的最大值．（12分）‎ ‎（当且仅当x=0时，等号成立）………13分 对任意正整数n，取得， 14分 ‎20. (本小题满分12分) 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，为椭圆短轴的一个顶点，且是直角三角形，椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与两坐标轴都不垂直的直线：交椭圆于两点，且以线段为直径的圆恒过坐标原点，当面积的最大值时，求直线的方程.‎ ‎20.（1）由题意得 ‎，————————2分 ‎，则——————3分 所以椭圆的方程为————————————4分 ‎（2）设，，联立得 ‎，，——————————————————5分 又以线段为直径的圆恒过坐标原点，所以 即，代入得————————————7分 ‎=-----9分 设，则 当，即时，面积取得最大值，——————————11分 又，所以直线方程为——————————————-12分 ‎21. (本小题满分12分) 已知函数 ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数，若，求证 ‎21.（1）————————1分 ‎，即在上恒成立 设 ‎，时，单调减，单调增，所以时，有最大值————3分 ‎，所以——————————5分 ‎（2）当时，,‎ ‎,所以在上是增函数，上是减函数——————————6分 因为，所以 即 同理——————————————————————————8分 所以 又因为当且仅当“”时，取等号————————————————10分 又，——————————11分 所以 所以 所以：————————————12分 ‎21．本小题满分12分 ‎ 的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.‎ ‎ （1）求的方程；‎ x y A B C D E F ‎. I O ‎ （2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21．【解】（1）设点，由题知 ‎，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. …4分 ‎ （2）设点.‎ ‎ ‎ ‎ ， 　 ……………………… 6分 ‎①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. 　　　 ………………………7分 ‎ ②当直线不与轴垂直时，设直线，由 得 ‎ 　　　　　　　 …………… 9分 ‎ ‎ ‎ ，使，只需成立，即，即，‎ ‎ ，即 ‎ ，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. 　　　　　　　 ………………………12分 ‎21. （本小题满分12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)在点(0, f (0))处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求f (x)的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围.‎ ‎21【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定义域为，又∵=2ln(2x+1)+2,‎ ‎∴，切点为O(0,0)，∴所求切线方程为y=2x. …………2分 ‎(Ⅱ) 设=0，得ln(2x+1)=－1，得；‎ ‎>0，得ln(2x+1)>－1，得；‎ ‎<0，得ln(2x+1)<－1，得；‎ 则.…………6分 ‎ (Ⅲ)令，‎ x g(x)的图象 则=2ln(2x+1)+2－‎2a=2[ln(2x+1)+1－a].‎ 令=0，得ln(2x+1)= a－1，得；‎ ‎ >0，得ln(2x+1)> a－1，得；‎ ‎ <0，得ln(2x+1)< a－1，得；‎ ‎（1）当a≤1时，，∵，‎ ‎∴对所有时，都有，于是≥0恒成立，‎ ‎∴g(x)在[0,+∞)上是增函数. ‎ 又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≥ g(0)=0成立.‎ 故当a≤1时，对所有的，都有成立. ‎ ‎（2）当a>1时，，∵，‎ ‎∴对所有，都有<0恒成立，‎ ‎∴g(x)在上是减函数. ‎ 又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≤ g (0)=0.‎ 故当a>1时，只有对仅有的，都有.‎ 即当a>1时，不是对所有的，都有.‎ 综合（1），（2）可知实数a的取值范围(－∞,1.……………………12分 ‎【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数 ‎ （I）求的极值；‎ ‎ （II）若的取值范围；‎ ‎ （III）已知 ‎【解析】：（Ⅰ）令得 ……………2分 当为增函数；‎ 当为减函数，‎ 可知有极大值为…………………………..4分 ‎（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，‎ 设 由（Ⅰ）知，，‎ ‎……………………８分 ‎（Ⅲ），由上可知在上单调递增，‎ ‎ ①， ‎ ‎ 同理 ②…………………………..10分 两式相加得 ‎ ……………………………………12分 ‎8.【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切。‎ ‎ （I）求双曲线C的方程；‎ ‎ （II）设直线与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。‎ ‎【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为： ‎ 由已知，‎ ‎，　　　　　　　　　……………2分 设双曲线的渐近线方程为， ‎ 依题意，，解得．‎ ‎∴双曲线的两条渐近线方程为． ‎ 故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，设为，则，得，‎ ‎∴双曲线C的方程为 　　　　　　　　　　　　……………６分.‎ ‎（II）由，‎ 直线与双曲线左支交于两点，‎ 因此 ………………..９分 又中点为 ‎∴直线的方程为， ‎ 令x=0，得， ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴故的取值范围是． ………………12分．‎ ‎12.【安徽省示范高中皖北协作区2010年高三联考（理）22】（本小题14分）设函数 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：当m>n>0时，。‎ ‎【解析】：22、（Ⅰ）‎ ‎①时， ∴在（—1，+）上市增函数 ‎②当时，在上递增，在单调递减 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减 又 ∴‎ ‎∴当时，方程有两解 ‎（Ⅲ）要证：只需证 只需证 设， 则 由（Ⅰ）知在单调递减 ‎∴，即是减函数，而m>n ‎∴，故原不等式成立。‎ ‎13.【安徽省合肥七中2010届高三第五次月考（理）22．】 (本小题满分14分)‎ 椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.‎ ‎ （1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F‎1A|=c，求椭圆的离心率；‎ ‎ （2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），‎ 求的取值范围。‎ ‎【解析】：（1）∵点A在圆，‎ ‎ ‎ ‎ 由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=‎2a，‎ ‎ ‎ ‎ （2）∵函数 ‎∴ ‎ ‎ 点F1（－1，0），F2（1，0）， ‎ ‎ ①若，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）‎ ‎ 由…………（*）‎ ‎ 方程（*）有两个不同的实根.‎ ‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由①②知 ‎ ‎14.【2010年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22. 】（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。‎ ‎【解析】：（1）设椭圆方程为 则解得所以椭圆方程 ‎（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为 又，所以的方程为：‎ 由 因为直线与椭圆交于两个不同点，‎ 所以的取值范围是。‎ ‎（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可 设，则 由 可得 而 故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。‎ ‎20.【2010届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】（本小题满分13分） 已知函数 ‎ 上恒成立.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若 ‎ （3）是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】：（1）‎ ‎ ‎ ‎ 恒成立 ‎ 即恒成立 ‎ 显然时，上式不能恒成立 ‎ 是二次函数 ‎ 由于对一切于是由二次函数的性质可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ．‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 当，当．‎ ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ 该函数图象开口向上，且对称轴为 ‎ 假设存在实数m使函数区间 上有 ‎ 最小值－5.‎ ‎ ①当上是递增的.‎ ‎ ‎ ‎ 解得舍去 ‎ ②当上是递减的，而在 ‎ 区间上是递增的， ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ‎ ‎ ③当时，上递减的 ‎ 即 ‎ 解得应舍去.‎ ‎ 综上可得，当时，‎ ‎ 函数 ‎22.【2010年3月四县(市)高三调研考试.（理）21．】本小题满分13分）‎ 已知函数 ‎（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围 ‎（2）当时，求函数的最大值 ‎（3）当时，且，证明：‎ ‎【解析】：（1）， ∴‎ 因为对，有 ‎∴不存在实数使，对恒成立 2分 由恒成立，∴，‎ 而，所以 经检验，当时，对恒成立。‎ ‎∴当时，为定义域上的单调增函数 4分 ‎（2）当时，由，得 ‎ 当时，，当时，‎ ‎∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为 7分 ‎（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 ‎ 当时，，∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 同理可得，，，‎ ‎∴‎ 法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增 令 在上总有，即在上递增 当时，‎ 即 令由（2）它在上递减 ∴‎ 即 ‎ ∵ ‎ ‎∴，综上成立，其中。‎ ‎26.【江门市2010年高考模拟考试（理）21.】（本小题满分12分）已知函数，是常数，．‎ ‎⑴若是曲线的一条切线，求的值；‎ ‎⑵，试证明，使．‎ ‎【解析】：⑴-------1分，解得，或-------2分 当时，，，所以不成立-------3分 当时，由，即，得-----5分 ‎⑵作函数-------6分 ‎，函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分，‎ ‎------8分 ①若，，，使，‎ 即-------10分 ‎②若，，，‎ ‎，当时有最小值，且当时-------11分，‎ 所以存在（或）从而，使，即-------12分 ‎30.【上 海 市2010年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）‎ ‎ 我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。‎ ‎ （1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。‎ ‎ （2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 （m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。‎ ‎ （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。‎ ‎ （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。‎ ‎【解析】：21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）‎ ‎ （1）； ………………2分 ‎ 联立方程； …………3分 ‎ 与椭圆M相交。 …………4分 ‎ （2）联立方程组 ‎ 消去 ‎ ‎ ‎ （3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，且F1、F2‎ 在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分 ‎ 证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交 ‎ ‎ ‎ 命题得证。‎ ‎ （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）‎ ‎ ‎ ‎（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：………………20分 ‎ （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）。‎ ‎‎