附答案高考冲刺练习不等式
高考数学最后冲刺练习：不等式
例 1、不等式组
2 2
2
2 3 2 3
2 0
x x x x
x x
的解集为__________________．
(1,3)
2
2
2 3 0 1 3 1 3
,1 3( 2)( 1) 0 1 02 0
x x x x
xx x xx x
．
例 2、若不等式组
2
2
2 0
2 (5 2 ) 5 0
x x
x k x k
的整数解只有 2 ，则 k 的取值范围是 ．
[ 3,2) 由 2 2 0x x ，得 1x ，或 2x ；由 22 (5 2 ) 5 0x k x k ，得
5
2x ，或 x k ，当 5
2k ，即 5
2k 时， 2 不在不等式的解集内；
当 5
2k 时，则根据题意得 2 3k ，即 3 2k ．
例 3、若三条直线 1 2 3: 0, : 2 0, :5 15 0l x y l x y l x ky 围成三角形，则 k 的取
值范围是（ ）．
A ． k R B ． 1, 1, 0k R k k k ,且 C ． 5, 5, 1k R k k k ,且
D． 5, 5, 10k R k k k ,且
D 直线 3l 的斜率不能等于 1 2,l l 的斜率，即 5 51, 1k k
；且直线 3l 不能经过 1 2,l l 的交点
(1,1) ，即 10k ．
例 4、若实数 0, 0x y ，且 3 4 12x y ，则 lg lgx y 的最大值是_______________．
lg3 21 1 3 43 4 ( ) 312 12 2
x yxy x y ， lg lg lg( ) lg3x y xy ．
例 5、已知实数 ,x y 满足
3 3 0
0
0
x y
x
y
,则 2
1
yz x
的取值范围为______________．
( , 2] [1, ) 做出可行域,把 2 ( 2)
1 1
y yz x x
看作可行域上的动点 ( , )x y 到
定点 (1, 2) 的斜率，易知两个临界的点为 (3,0),(0,0) ，所以 1, 2z z 或 .
例 6、不等式组
1)1(log
,2|2|
2
2 x
x 的解集为 （ ）A． )3,0( B )2,3(
C． )4,3( D． )4,2(
把 x=3 代入不等式组验算得 x=3 是不等式组的解，则排除(A)、(B), 再把 x=2 代入不等式组
验算得 x=2 是不等式组的解，则排除(D)，所以选(C).
例 7、若 ,x y 满足
,0,0
,2432
,3692
,123
yx
yx
yx
yx
，则使得 yxz 23 的值最小的 ),( yx 是 （ ）
A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4）
把各选项分别代入条件验算，易知 B 项满足条件，且 yxz 23 的值最小，故选 B。
例 8、若 1 ba ，P= ba lglg ，Q= ba lglg2
1 ，R=
2lg ba ，则（ ）
（A）R P Q （B）P Q R （C）Q P R （D）P R Q
取 a＝100，b＝10，此时 P＝ 2 ，Q＝
2
3 ＝lg 1000 ，R＝lg55＝lg 3025 ，比较可知选
P Q R，所以选 B
例9、不等式组
x
x
x
x
x
2
2
3
3
0
的解集是（ ）（A）（0，2） （B）（0，2.5） （C）
（0， 6 ） （D）（0，3）
不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5， 6 和3哪个为方程
x
x
x
x
2
2
3
3 的根，
逐一代入，选C.
例 10、如果不等式 xaxx )1(4 2 的解集为 A，且 }20|{ xxA ，那么实数 a
的取值范围是 。
根据不等式解集的几何意义，作函数 24 xxy 和
函数 xay )1( 的图象（如图），从图上容易得出实数 a 的取
值范围是 ,2a 。
例 11、 0 1,a 下列不等式一定成立的是（ ）
（A） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) 2a aa a ； (B) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a ；
(C) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a ；
(D) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a
取满足题设的特殊数值．．．．．．．．．． a=
2
1 , 13
2log2
1log)1(log
2
3
2
3)1( aa ，
0> 12log2
3log)1(log
2
1
2
1)1( aa ,检验不等式(B),(C),(D)均不成立,选 (A).
例 12、不等式1 1 3x 的解集为（ ）A. 0,2 B. 2,0 2,4 C 4,0
D. 4, 2 0,2
把 x=1 代入不等式组验算得 x=1 是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把 x=-3 代入不
等式组验算得 x=-3 是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).
例 13、若 ,111 ba
则下列结论中不．正确的是 （ ）m
(A). ab ba loglog ； (B) 2|loglog| ab ba ； (C). 1)(log 2 ab ；
(D). |loglog||log||log| abab baba
∵ ,111 ba
∴0
2 的解集为
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（ 10 ，+∞）(C)（1，2） （ 10 ，+∞） (D)
（1，2）
解：令 12 xe 2（x2），解得 1x2。令 2
3log ( 1)x 2（x2）解得 x（ 10 ，+∞）选 C
例 18、已知不等式(x+y)(1
x + a
y)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：不等式(x+y)( 1 a
x y
)≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则1 y axa x y
≥ 2 1a a
≥9，∴ a ≥2 或 a ≤－4(舍去)，所以正实数 a 的最小值为 4，选 B．
例 19、已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定
解析：函数 f(x)=ax2+2ax+4(0b 的两边同时乘以 ，立得 成立．
例 23、不等式 3)61(log 2
xx 的解集为
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法【正确解答】
1( 6) 8
2 2log 3 log
x x
，
0〈 1 6 8x x
，
1 2
1 6 0
x x
x x
.解得 ( 3 2 2, 3 2 2) 1x
例 24、不等式 01
21
x
x 的解集是 .
解：应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是
，所以 ，从而应填 ．
例 25、若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是
(A)a＜－1 (B) a ≤1 (C) a ＜1 （D）a≥1
解析：若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，当 x≥0 时，x≥ax，a≤1，当 x<0 时，－x≥
ax，∴a≥－1，综上得 1 1a ，即实数 a 的取值范围是 a ≤1，选 B。
例 26、已知 f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k ，若 2f k k 成
立，则 21 1f k k 成立，下列命题成立的是
A、若 3 9f 成立，则对于任意 1k ，均有 2f k k 成立；
B、若 4 16f 成立，则对于任意的 4k ，均有 2f k k 成立；
C、若 7 49f 成立，则对于任意的 7k ，均有 2f k k 成立；
D、若 4 25f 成立，则对于任意的 4k ，均有 2f k k 成立。
【答案】D 【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有 2f k k 成立；对 B，应有 2f k k
成立；
对 C，只能得出：对于任意的 7k ，均有 2f k k 成立，不能得出：任意的 7k ，均
有 2f k k 成立；对 D， 4 25 16,f 对于任意的 4k ，均有 2f k k 成立。
故选 D。
例 27、若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则
||2||
2
ba
ab
的最大值为（ ）
A.
15
52 B.
4
2 C.
5
5 D.
2
2
【答案】：B【分析】：a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab
1| | .4ab 2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab
22 2 2 | | 4( )
| | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | |
ab ab ab ab
a b abab ab
2 2
4 4
4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab
1 1| | 4,4 | |ab ab
2 4 2max .| | 2| | 32 4
ab
a b
例 28 、 函 数 1 ( 0 1)xy a a a ， 的 图 象 恒 过 定 点 A ， 若 点 A 在 直 线
1 0( 0)mx ny mn 上，则 1 1
m n
的最小值为 ．
【答案】:4【分析】：函数 1 ( 0 1)xy a a a , 的图象恒过定点 (1,1)A ，1 1 1 0m n ，
1m n ， , 0m n ，
（方法一）： 12 2m n mn mn
， 1 1 1 12 2 2 4m n m n
.
（方法二）： 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 4.n m n mm nm n m n m n m n
例 29、当 (1 2)x ， 时，不等式 2 4 0x mx 恒成立，则 m 的取值范围是 ．
【答案】 5m 【分析】：构造函数： 2( ) 4,f x x mx [1 2]x ， 。由于当 (1 2)x ， 时，
不等式 2 4 0x mx 恒成立。则 (1) 0, (2) 0f f ，即
1 4 0, 4 2 4 0m m 。解得： 5m 。
例 30 、 函 数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 0mx ny 上,其中 0mn ,则 1 2
m n
的最小值为_______.
【答案】: 8。【分析】：函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a 的图象恒过定点 ( 2, 1)A ，
( 2) ( 1) 1 0m n ， 2 1m n ， , 0m n ，
1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n
例 31、若函数 f(x) =
2 22 1x ax a 的定义域为 R，则 a 的取值范围为_______.
【答案】： 1 0 ， 【分析】： 2 2 02 1 2x ax a 恒成立， 2 2 0x ax a 恒成立，
2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a
例 32、设 x，y 满足约束条件
0,0
02
063
yx
yx
yx
， 若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是
最大值为 12，则 2 3
a b
的最小值为( ). A.
6
25 B.
3
8 C.
3
11
D. 4
x2
2
y
O-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a>0，b>0）
过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,
目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大 12,
即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 2 3
a b
= 2 3 2 3 13 13 25( ) ( ) 26 6 6 6
a b b a
a b a b
,故选 A.
答案:A
例 33、若不等式组
0
3 4
3 4
x
x y
x y
所表示的平面区域被直线 4
3y kx 分为面积相等的两部
分，则 k 的值是
（A） 7
3
（B） 3
7
（C） 4
3
（D） 3
4
[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由 3 4
3 4
x y
x y
得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， 4
3
）
B
A
x
D
y
C
O
y=kx+ 4
3
∴ S △ABC= 1 4 4(4 ) 12 3 3
，设 y kx 与3 4x y 的
交点为 D，则由 1 2
2 3BCDS S ABC 知 1
2Dx ，∴ 5
2Dy
∴ 5 1 4 7,2 2 3 3k k 选 A。
例 34、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；
生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨
乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超
过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
【答案】D
【解析】设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系：
A 原
料
B 原
料
甲产品 x 吨 3 x 2 x
乙 产 品 y
吨
y 3 y
则有：
1832
133
0
0
yx
yx
y
x
目标函数 yxz 35
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当 x ＝3， y ＝5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D
例 35、已知 D 是由不等式组 2 0
3 0
x y
x y
，所确定的平面区域，则圆 2 2 4x y 在区域 D
内[来源:学科网 ZXXK]
的弧长为 [ ]A
4
B
2
C 3
4
D 3
2
（3，4）（0，6）
O
（
3
13 ，0）
y
x9
13
【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中
两 直 线 的 斜 率 分 别 是 1 ,2
1
3
， 所 以 圆 心 角 即 为 两 直 线 的 所 成 夹 角 ， 所 以
1 1| ( ) |2 3tan 11 11 |2 3
（ ）
，所以
4
，而圆的半径是 2，所以弧长是
2
，故选 B 现。
例 36、设 0, 0.a b 若 1 13 3 3a b
a b
是 与 的等比中项，则 的最小值为 A 8 B 4
C 1 D 1
4
【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了
变通能力。
【解析】因为 333 ba ，所以 1 ba ，
4222)11)((11
b
a
a
b
b
a
a
b
bababa
，当且仅当
b
a
a
b 即
2
1 ba 时
“=”成立，故选择 C
例 37、 ab 10 ,若关于 x 的不等式 2( )x b ＞ 2( )ax 的解集中的整数恰有 3 个，则
（A） 01 a （B） 10 a （C） 31 a （D） 63 a
【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，
解析：由题得不等式 2( )x b ＞ 2( )ax 即 02)1( 222 bbxxa ，它的解应在两根
之间，故有 04)1(44 22222 baabb ，不等式的解集为
11
a
bxa
b 或
110
a
bxa
b 。若不等式的解集为
11
a
bxa
b ，又由 ab 10 得
110
a
b ，故 213
a
b ，即 312
a
b
例 38、在平面直角坐标系中，若不等式组
1 0
1 0
1 0
x y
x
ax y
（ 为常数）所表示的平面区域
内的面积等于 2，则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2
D. 3
解 析 解 析 如 图 可 得 黄 色 即 为 满 足
010101 yaxyxx 的可行域，而与 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点
（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面
积是
2
3 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D.
例 39、不等式 23 1 3x x a a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． ( , 1] [4, ) B． ( , 2] [5, ) C．[1,2]
D． ( ,1] [2, )
【答案】A
【解析】因为 24 3 1 4 3 1 3x x x x a a 对 对任意 x 恒成立，所以
2 23 4 3 0 4 1a a a a a a 即 ，解得 或
例 40、不等式 0212 xx 的解集为 .
【解析】:原不等式等价于不等式组① 2
2 1 ( 2) 0
x
x x
或②
1 22
2 1 ( 2) 0
x
x x
或③
1
2
(2 1) ( 2) 0
x
x x
不等式组①无解,由②得 1 12 x ,由③得 11 2x ,综上得
1 1x ,所以原不等式的解集为{ | 1 1}x x .
答案: { | 1 1}x x
例 1、已知集合 }1|{},102|{},73|{ axxCxxBxxA ，全集为实数集
R．（1）求 BA ；
（2）如果 aBA 求, 的取值范围．
解：（1） }102|{},73|{ xxBxxA ， }102|{ xxBA ．
（2）如图
当 a>3 时，A C
例 2、电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为 20 分钟，广
告时间为 1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每片播放时间为 10 分钟，广告时间为 1 分钟，
收视观众为 20 万，广告公司规定每周至少有 6 分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供
不多于 86 分钟的节目时间（含广告时间），（1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才
能使收视观众最多，（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分为给广告公司
带来的 a 和 b（万元）的效益，若广告公司本周共获得 1 万元的效益，记
baS 11 为效益
调和指数，求效益调和指数的最小值．（取 41.12 ）
解：（1）设片集甲、乙分别播放 x、y 集设片集甲、乙分别播放 x、y 集
则有
Zyx
yx
yx
,
861121
6
，要使收视观众最多，则只要 Z=60x+20y 最大即可.
如图作出可行域，[来源:学科网]
易知满足题意的最优解为
（2，4）， ,200420260max Z
故电视台每周片集甲播出 2 集，片集乙播出 4 集，其收视人观众最多，……………7 分
（2）由题意得：2a+4b=1[来源:学科网 ZXXK]
246426)42)(11(11
a
b
b
abababas =11.64．
所以效益调和指数的最小值为 11.64．
点评：以线性规划形式出现的不等式，重在考查数形结合的解题能力．这种题目解题时
要注意根据已知不等式组作出图形分析求解．
例 3、设 2
2 1: 20 0, : 0| | 2
xp x x q x
，则 p 是q 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
解： 由题设可得：
2
2
: 20 0, : 5, 4.
1: 0, 1, 2, 2.| | 2
p x x p x x
xq x x xx
即
即 1 或 故选 A．
点评：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力．
例 4、已知函数 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x .（1）求 f (x)的单调区间；（2）若当 1[ 1, 1]x ee
时，不等式 f (x)0；由 / ( ) 0f x ，得 1 0x .
∴ f (x)的递增区间是(0, ) ，递减区间是（-1, 0）.
（2）∵ 由 / 2 ( 2)( ) 01
x xf x x
，得 x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知 f (x)在 1[ 1, 0]e
上递减，在[0, 1]e 上递增.
又
2
1 1( 1) 2f e e
， 2( 1) 2f e e , 且 2
2
12 2e e
.
∴ 当 1[ 1, 1]x ee
时，f (x)的最大值为 2 2e .
故当 2 2m e 时，不等式 f (x)1 或 x<-1（舍去）. 由 / ( ) 0g x , 得 1 1x .
∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增.
为使方程 2( )f x x x a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，
C(0,2 )2
M( )2,2
B(2 )0,2
O(x,y)
A(0,0)
y
x
只须 g(x)=0 在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有 (0) 0,
(1) 0,
(2) 0.
g
g
g
∵ 2 2ln 2 3 2ln3 ,
∴ 实数 a 的取值范围是 2 2ln 2 3 2ln3a .
点评：与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识，通过推
理来解决问题．
例 5、在△ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM＝2，则 OA(OB+ OC) 的最小值
是 .
解法一：如图, OMOAOMOAOMOAOCOBOA 222)(
= .2)2(2 2
OAOA
即 )( OCOBOA 的最小值为:－2.
解法二：选取如图等腰直角三角形 ABC，由斜边上的中线AM=2，
则 A(0,0) ,B(2 2 ,0), C(0,2 )2 , M( )2,2 ,
设 O(x,y), (且 x=y, x ]2,0[ )，则
)( OCOBOA =( )]22,(),22)[(, yxyxyx
= )222,222)(,( yxyx
= ）yxyyxx 得由 (222222 22
xx 244 2 .
设 f(x)=4x2-4 x2 , ]2,0[x ,结合二次函数图像知:当 x=
2
2 时,
f(x)min=4 .2422
2242
1
例 6、已知函数 xaxxf ln)( 2 在 ]2,1( 是增函数, xaxxg )( 在(0,1)为减函
数．（I）求 )(xf 、 )(xg 的表达式；（II）求证:当 0x 时,方程 2)()( xgxf 有唯一
解；(III）当 1b 时,若 2
12)(
x
bxxf 在 x∈ ]1,0( 内恒成立,求 b的取值范围．
解：（I）
22( ) 2 a x af x x x x
，依题意 ( ) 0f x 在 ]2,1(x 上恒成立
即 22xa 在 ]2,1(x 上恒成立，∵ 22 2x （ ]2,1(x ，∴ 2a ①
又 2( ) 1
2 2
a x ag x
x x
依题意 ( ) 0g x 在 )1,0(x 时恒成立, 即 xa 2 , )1,0(x 恒成立
∵ 2 2x （ )1,0(x ），∴ 2a ②，由①、②得 2a
∴ 2( ) 2ln , ( ) 2f x x x g x x x
（II）由(1)可知,方程 2)()( xgxf , 2 2ln 2 2 0x x x x 即
设 22ln2)( 2 xxxxxh , 2 1( ) 2 1h x x x x
则
令 0)( xh ,并由 ,0x 得 ( 1)(2 2 2) 0x x x x x 解得 1x
令 ,0)( xh 由 0, 0 1x x 解得
列表分析:
x 0,1 1 1,
)(xh - 0 +
)(xh 递减 0 递增
知 )(xh 在 1x 处有一个最小值 0，当 10 xx 且 时, )(xh ＞0
∴ 0)( xh 在(0,+)上只有一个解
即当 x＞0 时,方程 2)()( xgxf 有唯一解． [来源:Zxxk.Com]
（III）设 2
2
1( ) 2ln 2x x x bx x
则 3
2 2( ) 2 2 0x x bx x
∴ ( )x 在 (0,1]上为减函数，∴ min( ) (1) 1 2 1 0x b 又 1b
所以 11 b 为所求范围．
例 7、数列 na 的首项 1a =1，前 n 项和为 nS 满足 n 2S k n+1（a -1）（常数 0k ，
*Nn ）．（1）求证：数列 na 是等比数列.（2）设数列 na 的公比为 ( )f k ，作数列 nb ，
使 1 3b ，
1
1( )n
n
b f b
（ n 2，3，4，…），求数列 nb 的通项公式；（3）设 2n nc b ，
若存在 *Nm ，且 m n ；
使 limn
（ 1 1 2m m m mc c c c … 1n nc c ） 1< 2007
，试求 m 的最小值．[来源:学科网]
解：（1） n 2S k n+1（a -1）①，当 2n 时， n-1 2S k n（a -1） ②
①—②得， 12 ( )n n na k a a 即 12 1n nka k a （2 ）
由①， 1
11 2a k
，∴ 1 2 1 112 2
na k
a k k
,又 2
1
11 2
a
a k
符合上式，
∴ na 是以 1 为首项， 11 2k
为公比的等比数列．
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ( )f k 11 2k
， ∴ 1
1 1( ) 11 2n n
n
b f bb
（ 2n ）， ∴
1
12 ( 2)2n nb b .又 1 3b ，即 1 2 1b ，
1
1
2 2
n
n
b
b
，∴数列 2nb 是为 1 首项，
1
2
为公比的等比数列．∴ 112 ( )2
n
nb ，∴ 112 ( )2
n
nb ．
（3）由（2）知 112 ( )2
n
n nc b ，则 2 1
1
1( )2
n
n nc c
.
∴ 1 1 2lim( m m m mn
c c c c
… 1n nc c ）= 1 1 11 1 1lim ...2 2 2
m m
n
2 2 2n（ ） （ ） （ ）
=
1 1
1
1 1
4 1 12 2lim 1 3 2 20071 4
m
m
x
2 2n+
2
（ ） （ ）
（ ） ∴ 31 1
2 669
m 2（ ） ，∴ 9 669m 22 .
∵512 669 1024 ，∴ 2 3 10m ， 6.5m .
又∵ *Nm ，∴ m 的最小值为 7．
例 8、在 Rt ABC 中， 04 3 90AC BC C ， ， ， D E， 分别为 AC AB， 边上的
点，且 //DE BC 。沿 DE 将 ADE 折起（记为 1A DE ），使二面角 1A DE B 为直二面
角．⑴当 E 点在何处时， 1A B 的长度最小，并求出最小值；⑵当 1A B 的长度最小时，求直
线 BE 与平面 1A BC 所成的角 的大小；⑶当 1A B 的长度最小时，求三棱锥 1A BCA 的内
切球的半径 r ．
解法一：⑴连接 BD ，设 0 4CD x x ，则 1 4A D AD x 。因为 //DE BC ，
所 以 AD DE ， 故 1AD DE ， 从 而 1AD BCDE 平面 ， 故 1AD BD 。 又 因 为
2 2 9BD x ，所以 2 22
1 9 4 2 2 17 17A B x x x ，当且仅当 2x 取
等号。此时 D 为 AC 边的中点， E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 边的中点时， 1A B 的长
度最小，其值为 17 ；
⑵ 连 接 1A A ， 因 为 此 时 D E， 分 别 为 AC AB， 的 中 点 ， 故
1 1
1 1,2 2A E AB A D AC ， 所 以 1 1AA B AAC ， 均 为 直 角 三 角 形 ， 从 而
1 1AA A BC 平面 ， 所 以 1A BA 即 为 直 线 BE 与 平 面 1A BC 所 成 的 角 。 因 为
1
1
17cos 5
A BA BA AB
，所以 1
17arccos 5A BA 即为所求；
⑶因 1AD BCDE 平面 ，又CD BC ，所以 1BC AC ．又 1 1 2 2AC A A ，故
三 棱 锥 1A BCA 的 表 面 积 为
1 1 1 13 2 2 4 2 17 2 2 3 4 10 3 2 342 2 2 2S 。因为三棱锥 1A BCA
的体积 1 1 3 4 2 43 2V ，所以 3 12
10 3 2 34
Vr S
。
法二：⑴因 1AED BCDE平面 平面 ，故 1 1
9cos cos cos 25A EB A ED BED ．
设 BE x ，则 5AE x ．
所以
2
22
1
9 32 55 2 5 17 1725 25 2A B x x x x x
，当且仅当
5
2x 取等号。此时 E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 的中点
时， 1A B 的长度最小，其值为 17 ；
⑵ 因 1AD BCDE 平面 ， 又 CD BC ， 所 以
1BC AC 。 记 E 点 到 平 面 1A BC 的 距 离 为 d ， 因 1 1 2 2AC A A ， 故
1 1 1 13 2 2 3 2 23 2 3 2d ，解得 2d 。因 2 2sin 5
d
BE
，故 2 2sin 5arc ；
⑶同“法一”．
法 三： ⑴ 如 图， 以 C 为 原点 建 立空 间 直角 坐 标系 ， 设 0 4CD x x ， 则
1 0, ,4 3,0,0A x x B ， ，所以 2 22
1 9 4 2 2 17 17A B x x x ，当
且仅当 2x 取等号。此时 D 为 AC 边的中点，E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 边的中点
时， 1A B 的长度最小，其值为 17 ；
⑵ 设 1 , ,n x y z 为 面 1A BC 的 法 向 量 ， 因 1 0,2,2 , 3,0,0A B ， 故
3 0 0
2 2 0
x x
y z y z
．取 1z ，得 1 0, 1,1n 。又因 1 3 ,2,02 2BE BA
，故
5| | | | 2, 22BE n BE n ， 。 因 此 2 2cos , 5| | | |
BE nBE n
BE n
， 从 而
2 2sin cos , 5BE n ，所以 2 2sin 5arc ；
⑶由题意可设 1 , ,O r y r 为三棱锥 1A BCA 的内切球球心，则 1 1
1
| | | |
| | 2
CO n r yr
n
，
可 得 2 1y r 。 与 ⑵ 同 法 可 得 平 面 1A AB 的 一 个 法 向 量 2 4,3,3n ， 又
1 3, 2 1 ,BO r r r ， 故 1 2
2
3 2 10 12
| | | |
| | 34
rBO nr
n
， 解 得
12
10 3 2 34
r
．显然 1r ，故 12
10 3 2 34
r
例 9、为宣传 2008 年北京奥运会，某校准备成立由 4 名同学组成的奥运宣传队，经过
初选确定 5 男 4 女共 9 名同学成为候选人，每位候选人当选奥运会宣传队队员的机会是相同
的.（1）记ξ为女同学当选人数，求ξ的分布列并求 Eξ；（2）设至少有 n 名男同学当选的
概率为
2
1, nn PP 求 时 n 的最大值.
解：（1）ξ的取值为 0、1、2、3、4.
;126
1)4(
;63
10
126
20)3(;21
10
126
60)2(
;63
20
126
40)1(;126
5)0(
4
9
4
4
4
9
3
4
1
5
4
9
2
4
2
5
4
9
1
4
3
5
4
9
4
5
C
CP
C
CCP
C
CCP
C
CCP
C
CP
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
126
5
63
20
21
10
63
10
126
1
∴Eξ=
63
20 +
21
10 ×2+
63
10 ×3+
126
1 ×4= .9
16
（2） ;2
1
126
5)0(4 PP
;2
1
14
5
63
20
126
5)1()0(3 PPP
.2
1
6
5
21
10
14
5)2()1()0(2 PPPP
nPn ,2
1要使 的最大值为 2．
例 10、设函数 f(x)=ax 满足条件 当 x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当 x∈(0，1 ] 时，
不等式 f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数 m 的取值范围
解 由已知得 0＜a＜1，由 f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1 ] 恒成立
21
113
2
2
mxmx
xmxmx 在 x∈(0，1]恒成立
整理，当 x∈(0，1)时，
1)1(
12
2
2
xxm
xx 恒成立，
即当 x∈(0，1 ]时，
1
1
2
1
2
2
x
xm
x
xm
恒成立，
且 x=1 时，
1)1(
12
2
2
xxm
xmx 恒成立，
∵
2
1
2
1
2
1 2
xx
x 在 x∈(0，1]上为减函数，∴
x
x
2
1 2 ＜－1，
∴m＜
x
x
2
1 2 恒成立 m＜0
又∵ 21
12)1(1
12
xxx
x ，在 x∈(0，1 ]上是减函数，∴
1
12
x
x ＜－1
∴m＞
1
12
x
x 恒成立 m＞－1
当 x∈(0，1)时，
1
1
2
1
2
2
x
xm
x
xm
恒成立 m∈(－1，0) ①
当 x=1 时，
1)1(
12
2
2
xxm
xmx ，即是
10
0m ∴m＜0 ②
∴①、②两式求交集 m∈(－1，0）,使 x∈(0，1]时，
f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)
例 11、奇函数 )0[)( ，，且在的定义域为Rxf 上是增函数，当
20 时，是否
存在实数 m，使 )0()cos24()32(cos fmmff 对所有的 ]20[ ， 均成
立？若存在，求出适合条件的所有实数 m；若不存在，说明理由。
解：易知 0)0()( fRxf 上递增，且在 ，
0)2cos24()32(cos mmff
022coscos
4cos232cos
)4cos2()32(cos
)cos24()32(cos
2
mm
mm
mmff
mmff
。故
或或
恒成立，从而
上，不等式，。由题设，在，则令
224
0221
12
022
020)22(4
022
]10[10cos
2
2
m
mm
m
m
m
mm
mmtt
tt
因此，满足条件的实数 m 存在，它可取 )224( ， 内的一切值。
例 12、已知函数
1
3)(
x
xxf ,数列 na 满足: 11 a , ),3,2,1(),(1 nafa nn
(1)设 3 nn ab 证明: nn bb 1 （2）证明： nbbb 21 13
证明：（1）因为
1
3)(
x
xxf ,数列 na 满足: 11 a , ),3,2,1(),(1 nafa nn
所以
1
)3)(13(31
3311
n
n
n
n
nn a
a
a
aab
= 31
13
n
n
aa 33)13( nn aa nb （ )0na
所以 ： nn bb 1
（2）由（1）得
3nn ab n
nn bb )13()13()13( 21
所以 n
nbbb )13()13()13( 2
21
32
13
)13(1
])13(1)[13(
n
13
即 nbbb 21 13
