高考理科数学试卷及答案湖南卷Word版

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 复数z=i·（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于 ( ) ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 ( )‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 ‎3. 在锐角中，角A，B所对的边长分别为a，b。若，则角A等于( )‎ A. 　 B. 　 C. 　 D. ‎ ‎4. 若变量x，y满足约束条件　则的最大值是( )‎ A. 　　　　B. ０　　　　　C. 　　　　　　　D. ‎ ‎5. 函数的图象与函数的图象的交点个数为( ) ‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎6. 已知a，b是单位同量，a·b=0。若向量c满足，则的取值范围是( )‎ A. [,] B. [,] C. [1, ] D. [1, ]‎ ‎7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1）。若光线QR经过的重心，则AP等于( )‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ 二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。‎ ‎（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）‎ ‎9. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l： (t为参数)过椭圆C： ‎ ‎(为参数) 的右顶点，则常数a的值为 .‎ ‎10. 已知R，a+2b+3c=6，则的最小值为 .‎ ‎11. 如图2，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 .‎ ‎(二)必做题（12～16题）‎ ‎12. 若，则常数T的值为 .‎ ‎13. 执行如图3所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 .‎ ‎14. 设，是双曲线C：（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点。若，且的最小内角为30°，则C的离心率为 .‎ ‎15. 设为数列的前n项和，，，则 ‎（1）= ；‎ ‎（2）= 。‎ ‎16. 设函数，其中c>a>0，c>b>0。‎ ‎（1）记集合M={（）|不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则 ‎（）M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ；‎ ‎（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是 。（写出所有正确结论的序号）‎ ‎ ①，f（x）>0；‎ ‎②，使不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若为钝角三角形，则(1,2)，使f（x）=0。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=sin（）+cos（），g（x）=2sin2。‎ ‎（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；‎ ‎（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。‎ ‎（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图5，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，，∠BAD=90°，，BC=1，AD=AA1=3。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M 到N的一条“L路径”。如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处，现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。‎ ‎（Ⅰ）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（Ⅱ）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区。请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 过抛物线E：（p>0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且。l1与E相交于点A，B；l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l。‎ ‎（Ⅰ）若k1>0，k2>0，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程。‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ 已知a>0，函数f（x）=。‎ ‎（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，使函数y= f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案 一、‎ ‎1—5：BDDCB 6—8：ACD 二、‎ ‎9、3 10、12 11、 12、3 13、9 14、‎ ‎15、（1） （2） 16、（1）{x|0＜x≤1} （2）①②③‎ 三、‎ ‎17、解： f（x）=sin（）+cos（） ‎ ‎ =‎ ‎ =，‎ ‎ g（x）=2sin2=。‎ ‎（Ⅰ）由f（α）=得sinα=，又α是第一象限角，所以cosα>0，从而 ‎ g（α）====。‎ ‎（Ⅱ）f（x）≥g（x）等价于≥，即≥1，于是 ‎ sin（）≥。‎ 从而≤≤，，即≤≤，。‎ 故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{|≤≤，}。‎ ‎18、解：‎ ‎（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。‎ 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为。‎ ‎（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列。‎ 因为 P（Y = 51）= P（X = 1），P（Y = 48）= P（X = 2），‎ ‎ P（Y = 45）= P（X = 3），P（Y = 42）= P（X = 4），‎ 所以只需求出P（X = k）（k=1，2，3，4）即可。‎ 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物侏数（k =1，2，3，4），则 ‎ n1=2，n2=4，n3=6，n4=3‎ 由P（X= k）=得 P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==。‎ 故所求的分布列为 Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ P 所求的数学期望为 E（Y）=51×+48×+45×+42×==46。‎ ‎19、解法1：‎ ‎（Ⅰ）如图1，因为平面ABCD，平面ABCD，所以。‎ ‎ 又，所以平面BB1D。而平面BB1D，所以。‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为）。‎ ‎ 如图1，边结A1D。因为棱柱ABCD—A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1=∠BAD=90°，所以平面ADD1A1，从而。又AD=AA1=3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是。故平面A1B1D，于是。‎ ‎ 由（Ⅰ）知，，所以平面ACD1，故∠ADB1=。‎ ‎ 在直角梯形ABCD中，因为，所以∠BAC=∠ADB。从而 ‎ Rt～Rt，故，即。‎ ‎ 连结AB1，易知是直角三角形，‎ 且=21，即B1D=。‎ ‎ 在Rt中，，即cos()=，‎ 从而。‎ ‎ 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。‎ ‎ ‎ 解法2：‎ ‎（Ⅰ）易知，AB，AD，AA1两两垂直。如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB= t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）。‎ ‎ 从而=（-t，3，-3），=（t，1，0），=（-t，3，0）。‎ ‎ 因为，所以。解得或（舍去）。‎ ‎ 于是=（，3，-3），=（，1，0）。‎ ‎ 因为，所以，即。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）。‎ ‎ 设n =（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则 ‎ 即 令，则n =（1，，）。‎ ‎ 设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则 ‎ 。‎ ‎ 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。‎ ‎20、解：设点P的坐标为（x，y）。‎ ‎（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为 ‎ |x-3|+|y-20|，R，[0，+∞）。‎ ‎（Ⅱ）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值。‎ ‎ ①当y≥1时，d =| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+2| y |+| y-20 |。‎ ‎ 因为 ‎ d1（x）=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |‎ ‎ ≥| x+10 |+| x-14 |； （*）‎ ‎ 当且仅当x =3时，不等式（*）中的等号成立。‎ ‎ 又因为 ‎ | x+10 |+| x-14 |≥24， （**）‎ ‎ 当且仅当[-10，14]时，不等式（**）中的等号成立。‎ ‎ 所以d1（x）≥24，当且仅当x =3时，等号成立。‎ ‎ d2（y）=2y+| y-20 |≥21，当且仅当y =1时，等号成立。‎ ‎ 故点P的坐标为（3，1）时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45。‎ ‎②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以 d = | x+10 |+| x-14 |+| x-3 |+1+| 1-y |+| y |+| y-20 |。‎ 此时，d1（x）=| x+10 |+| x-14 |+| x-3 |‎ d2（y）=1+| 1-y |+| y |+| y-20 |=22-y≥21。‎ 由①知，d1（x）≥24，故d1（x）+ d2（y）≥45，当且仅当x =3， y =1时等号成立。‎ 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小。‎ ‎21、解：‎ ‎（Ⅰ）由题意，抛物线E的焦点为F（0，），直线l1的方程为。‎ 由，得。‎ ‎ 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则x1，x2是上述方程的两个实数根。从而 ‎ x1+ x2= 2pk1，‎ ‎ y1+ y2= k1(x1+x2)+p = 2pk12+p。‎ ‎ 所以点M的坐标为（pk1，pk12+），=（pk1，pk12）。‎ ‎ 同理可得点N的坐标为（pk2，pk22+），=（pk2，pk22）。于是 ‎ ·=p2（k1k2+k12k22）。‎ ‎ 由题设，k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以0< k1k2<()2=1。‎ ‎ 故·0，所以点M到直线l的距离 ‎ 。‎ ‎ 故当时，d取最小值。由题设，，解得。‎ ‎ 故所求的抛物线E的方程为。‎ ‎22、解：‎ ‎（Ⅰ）当0≤x≤a时，；当x>a时，。因此，‎ ‎ 当（0，a）时，，在（0，a）上单调递减；‎ ‎ 当（a，+∞）时，，在（a，+∞）上单调递增。‎ ‎ ①若a≥4，则在（0，4）上单调递减，。‎ ‎ ②若0

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