广东省高考数学试题及答案理科解析

广东省高考数学试题及答案理科解析

‎2015年广东省高考数学试卷（理科）‎ ‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{1，4}‎ B．‎ ‎{﹣1，﹣4}‎ C．‎ ‎{0}‎ D．‎ ‎∅‎ 考点：‎ 交集及其运算．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 求出两个集合，然后求解交集即可．‎ 解答：‎ 解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，‎ N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2﹣3i B．‎ ‎2+3i C．‎ ‎3+2i D．‎ ‎3﹣2i 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题：‎ 数系的扩充和复数．‎ 分析：‎ 直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．‎ 解答：‎ 解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=‎ B．‎ y=x+‎ C．‎ y=2x+‎ D．‎ y=x+ex 考点：‎ 函数奇偶性的判断．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 直接利用函数的奇偶性判断选项即可．‎ 解答：‎ 解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；‎ 对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；‎ 对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；‎ 对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．‎ 解答：‎ 解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；‎ ‎∴基本事件总数为105；‎ 设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；‎ 则A包含的基本事件个数为=50；‎ ‎∴P（A）=．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ B．‎ ‎2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ ‎　‎ C．‎ ‎2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0‎ D．‎ ‎2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ 考点：‎ 圆的切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；直线与圆．‎ 分析：‎ 设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．‎ 解答：‎ 解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，‎ 所以=，所以b=±5，‎ 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．‎ 解答：‎ 解：不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，‎ 则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得，即A（1，），‎ 此时z=3×1+2×=，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣=1‎ B．‎ ‎﹣=1‎ C．‎ ‎﹣=1‎ D．‎ ‎﹣=1‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．‎ 解答：‎ 解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），‎ 可得：，c=5，∴a=4，b==3，‎ 所求双曲线方程为：﹣=1．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 至多等于3‎ B．‎ 至多等于4‎ C．‎ 等于5‎ D．‎ 大于5‎ 考点：‎ 棱锥的结构特征．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．‎ 解答：‎ 解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；‎ ‎4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；‎ n大于4，也不成立；‎ 在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；‎ 若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，‎ 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，‎ 且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；‎ 同理n＞5，不成立．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）‎ ‎9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为　6　．‎ 考点：‎ 二项式定理的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；二项式定理．‎ 分析：‎ 根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．‎ 解答：‎ 解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，‎ 令2﹣=1，求得r=2，‎ ‎∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•广东）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=　10　．‎ 考点：‎ 等差数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．‎ 解答：‎ 解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，‎ 得到a5=5，‎ 则a2+a8=2a5=10．‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题 ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　1　．‎ 考点：‎ 正弦定理；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；解三角形．‎ 分析：‎ 由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 解答：‎ 解：∵sinB=，‎ ‎∴B=或B=‎ 当B=时，a=，C=，A=，‎ 由正弦定理可得，‎ 则b=1‎ 当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1‎ 点评：‎ 本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键 ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　1560　条毕业留言．（用数字作答）‎ 考点：‎ 排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 专题：‎ 排列组合．‎ 分析：‎ 通过题意，列出排列关系式，求解即可．‎ 解答：‎ 解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．‎ 故答案为：1560．‎ 点评：‎ 本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　　．‎ 考点：‎ 离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，‎ 可得np=30，npq=20，q=，则p=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为　　．‎ 考点：‎ 简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 专题：‎ 坐标系和参数方程．‎ 分析：‎ 把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．‎ 解答：‎ 解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，‎ 点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．‎ 点A到直线l的距离为：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=　8　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 选作题；创新题型；推理和证明．‎ 分析：‎ 连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：连接OC，则OC⊥CD，‎ ‎∵AB是圆O的直径，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵OP∥BC，‎ ‎∴OP⊥AC，OP=BC=，‎ Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，‎ ‎∴4=OD，‎ ‎∴OD=8．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ ‎（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．‎ 解答：‎ 解：（1）若⊥，‎ 则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，‎ 即sinx=cosx sinx=cosx，即tanx=1；‎ ‎（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，‎ ‎∴若与的夹角为，‎ 则•=||•||cos=，‎ 即sinx﹣cosx=，‎ 则sin（x﹣）=，‎ ‎∵x∈（0，）．‎ ‎∴x﹣∈（﹣，）．‎ 则x﹣=‎ 即x=+=．‎ 点评：‎ 本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎45‎ ‎39‎ ‎38‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎43‎ ‎41‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎42‎ ‎37‎ ‎44‎ ‎42‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎53‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎39‎ ‎（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；‎ ‎（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；‎ ‎（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？‎ 考点：‎ 极差、方差与标准差；系统抽样方法．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ ‎（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；‎ ‎（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；‎ ‎（3）求出样本和方差即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，‎ ‎∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），‎ 其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．‎ ‎（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．‎ 由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．‎ ‎（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），‎ ‎∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，‎ 即40，40，41，…，39，共23人．‎ ‎∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．‎ 点评：‎ 本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．‎ ‎（1）证明：PE⊥FG； （2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；‎ ‎（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．‎ 考点：‎ 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（1）通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；‎ ‎（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；‎ ‎（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，‎ ‎∴PE⊥CD，‎ 又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，‎ ‎∴PE⊥平面ABCD，‎ 又∵FG⊂平面ABCD，‎ ‎∴PE⊥FG；‎ ‎（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，‎ 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，‎ ‎∴AD⊥平面PDC，‎ 又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，‎ 又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，‎ 在Rt△PDE中，由勾股定理可得：‎ PE===，‎ ‎∴tan∠PDC==；‎ ‎（3）解：连结AC，则AC==3，‎ 在Rt△ADP中，AP===5，‎ ‎∵AF=2FB，CG=2GB，‎ ‎∴FG∥AC，‎ ‎∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，‎ 在△PAC中，由余弦定理得 cos∠PAC=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 点评：‎ 本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；‎ ‎（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 常规题型；导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间．‎ ‎（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．‎ ‎（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．‎ 解答：‎ 解：（1）f'（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2…2分 ‎∴f′（x）≥0，‎ ‎∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分 ‎（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．‎ 又f（0）=1﹣a，‎ ‎∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分 ‎∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分 ‎（3）证明：f'（x）=ex（x+1）2，‎ 设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，‎ ‎∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，‎ ‎∴x0=﹣1…9分 将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，‎ ‎∴…10分 令g（m）=em﹣（m+1），‎ 则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0．‎ 当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0‎ 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0‎ ‎∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分 ‎∴g（m）=em﹣（m+1）≥0‎ ‎∴em≥m+1‎ ‎∴em（m+1）2≥（m+1）3‎ 即：‎ ‎∴m≤…14分 点评：‎ 本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 轨迹方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；‎ ‎（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．‎ 解答：‎ 解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，‎ 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，‎ ‎∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 联立方程组，‎ 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，‎ 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜‎ 由韦达定理，可得x1+x2=，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；‎ ‎（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．‎ 理由如下：‎ 联立方程组，‎ 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k）x+16k2=0，‎ 令△=（3+8k）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，‎ 又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，‎ ‎∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，‎ k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．‎ 点评：‎ 本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．‎ ‎（1）求a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的前 n项和Tn；‎ ‎（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．‎ 考点：‎ 数列与不等式的综合；数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．‎ 分析：‎ ‎（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；‎ ‎（2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn；‎ ‎（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．‎ ‎∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，‎ 解得a2=，‎ ‎∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．‎ ‎∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+．‎ 两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，‎ 则an=，n≥2，‎ 当n=1时，a1=1也满足，‎ ‎∴an=，n≥1，‎ 则a3=；‎ ‎（2）∵an=，n≥1，‎ ‎∴数列{an}是公比q=，‎ 则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n．‎ ‎（3）bn=+（1+++…+）an，‎ ‎∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn ‎=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），‎ 设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，‎ 则f′（x）=﹣．‎ 即f（x）在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∵f（1）=0，即f（x）＞0，‎ ‎∵k≥2，且k∈N•时，，‎ ‎∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，‎ ‎∴ln，，…，‎ 即=lnn，‎ ‎∴2×（1+++…+）＜2+lnn，‎ 即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．‎ 点评：‎ 本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎2015年广东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎{1，4}‎ B．‎ ‎{﹣1，﹣4}‎ C．‎ ‎{0}‎ D．‎ ‎∅‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2﹣3i B．‎ ‎2+3i C．‎ ‎3+2i D．‎ ‎3﹣2i ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=‎ B．‎ y=x+‎ C．‎ y=2x+‎ D．‎ y=x+ex ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ B．‎ ‎2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ ‎　‎ C．‎ ‎2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0‎ D．‎ ‎2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣=1‎ B．‎ ‎﹣=1‎ C．‎ ‎﹣=1‎ D．‎ ‎﹣=1‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 至多等于3‎ B．‎ 至多等于4‎ C．‎ 等于5‎ D．‎ 大于5‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）‎ ‎9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•广东）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　　　　　　条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．‎ ‎（1）若⊥，求tanx的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎45‎ ‎39‎ ‎38‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎43‎ ‎41‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎42‎ ‎37‎ ‎44‎ ‎42‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎53‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎39‎ ‎（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；‎ ‎（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；‎ ‎（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．‎ ‎（1）证明：PE⊥FG；‎ ‎（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；‎ ‎（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；‎ ‎（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．‎ ‎（1）求a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的前 n项和Tn；‎ ‎（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．‎ ‎　‎ ‎　‎