高考离心率的常用解法及配套习题与答案

高考离心率的常用解法及配套习题与答案

高考离心率的常用解法及配套习题与答案 前言：椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．‎ 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。‎ 例1：已知双曲线（）的一条准线方程是，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：双曲线右准线，则，解得，，，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D ‎ 二、构造、的齐次式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。‎ 例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. 　　B. 　　C. 　　D. ‎ 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，即，得，解得（舍去），故选D 变式练习2.1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 变式练习2.2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。‎ 解：‎ ‎*四、根据圆锥曲线的统一定义(第二定义)求解（这个知识点高考不作要求，仅供拓展能力使用）‎ 例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .‎ 解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， ‎ ‎4.1 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ 五、构建关于的不等式，求的取值范围 例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解：由，，得，,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵，∴,∴，∴，故选D 变式训练5.1：如图，已知梯形中，，点在线段上，满足，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 变式练习答案：‎ ‎1.1 解：由题设，，则，，因此选C ‎2.1 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，‎ 又, ∴,两边平方，得，整理得，‎ 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A ‎2.3 解：如图所示，不妨设，，，则 ‎，又，‎ 在中， 由余弦定理，得,‎ 即，∴， ‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，故选B ‎4.1解：，故选B ‎5.1解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．‎ 由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①‎ 将点的坐标代入双曲线方程得②‎ 再将①、②得，∴③ ④‎ 将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：‎ ‎，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为 课后练习 ‎1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线方程为，则此双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D ‎ ‎5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ‎ ‎6．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎7. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）‎ A 　 B 　　 C 　　　 D ‎ ‎8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A B C D ‎ ‎10．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点在椭圆上，且 垂直于轴，，则椭圆的离心率等于 ‎ ‎ ‎ ‎ C ‎12. 过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 解：由知，为线段的中点，设双曲线的右焦点为，因为，由中位线定理得，由双曲线的定义得，又，则，得，即，，故选C．‎ ‎13. 椭圆的两个焦点为，，为椭圆上一点，且的最大值的取值范围是，其中的椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是 A． B． C． D．‎ 解：设，则，‎ ‎ ，当时，有最大值， ‎ ‎ .‎ 答案：1.由可得故选D ‎2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。‎ ‎3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎4.不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝‎ ‎5.不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则有，据此解得e＝，选C ‎6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF‎2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。‎ ‎7.由已知P（），所以化简得．‎ ‎8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。‎ ‎9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C ‎10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D