江西高考数学文科试卷带详解

江西高考数学文科试卷带详解

‎ ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 文科数学 ‎ ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列命题是真命题的为 ( )‎ ‎ A．若,则 B．若,则 ‎ ‎ C．若,则 D．若,则 ‎ ‎【测量目标】真假命题的判断.‎ ‎【考查方式】简单的逻辑推理，若条件推导结论成立则命题正确.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A. ‎ ‎2．函数的定义域为 （ ）‎ A．　　　 B．　　　C．　　　　D．‎ ‎【测量目标】复合函数的定义域.‎ ‎【考查方式】根据复合函数分母大于0，根号内值大于等于0求出定义域.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由得或,故选D. ‎ ‎3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 （ ）‎ A．50 B．‎45 C．40 D．35‎ ‎【测量目标】随机事件与概率.‎ ‎【考查方式】根据（总体两项都参加的学生人数=只参加一项学生人数）得到结果.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】 仅参加了一项活动的学生人数=50(30+2550)=45, 故选B.‎ ‎4．函数的最小正周期为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】三角函数的恒等变换与周期性.‎ ‎【考查方式】利用三角恒等变换求出三角函数最简式，根据最简式求出最小正周期.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由可得最小正周期为,故选A.‎ ‎5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ ）‎ A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ ‎【测量目标】函数奇偶性的综合运用.‎ ‎【考查方式】根据给出的函数关系，利用偶函数的性质进行求解..‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】,故选C.‎ ‎6．若能被整除，则的值可能为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】把二项式展开式化为二项式，然后把选项中的值代入逐个排除得到答案.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】,‎ 当时,能被7整除, 故选C. ‎ ‎7.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】根据上顶点、原点、或构成的三角形内角求出离心率.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由有,则,故选B.‎ ‎8．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ）‎ A. 18 B. ‎24 ‎‎ C. 60 D. 90‎ ‎【测量目标】等差数列的通项、等比数列的性质.‎ ‎【考查方式】根据等差数列通项将等比数列转化求出通项公式，进而求出结果.‎ ‎【参考答案】C ‎ ‎【试题解析】由得得 （步骤1）‎ 再由得则 （步骤2）‎ 所以.故选C （步骤3）‎ ‎9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）‎ A. B. ∥截面 ‎ C. D. 异面直线与所成的角为 ‎【测量目标】直线与直线之间、直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【考查方式】根据给出的空间几何体判断线线、线面之间的位置关系.‎ ‎【参考答案】C ‎ ‎【试题解析】由∥，∥，⊥可得⊥，故A正确 （步骤1）‎ 由∥可得∥截面，故B正确 （步骤2） ） ‎ 异面直线与所成的角等于与所成的角，故D正确 （步骤3）‎ 综上C是错误的，故选C. （步骤4） ‎ ‎10．甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【测量目标】排列组合及其应用.‎ ‎【考查方式】利用排列组合计算出分组的总数、甲乙相遇的情况得到结果.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选D. ‎ ‎11．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎【测量目标】函数图象的应用.‎ ‎【考查方式】结合函数图象理解，利用排除法排除不符合图象变化的选项得到结果.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误 （步骤1）‎ 质点在终点的速度是由大到小接近0，故D错误 （步骤2）‎ 质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此C是错误的 （步骤3）‎ 故选B （步骤4）‎ ‎12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【测量目标】导数的几何意义.‎ ‎【考查方式】先根据直线与曲线相切、已知点坐标求出切线方程，然后根据相切条件求出.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】‎ 设过的直线与相切于点 所以切线方程为.（步骤1）‎ 即，又在切线上，则或 （步骤2）‎ 当时，由与相切可得 （步骤3）‎ 当时，由与相切可得，所以选A. 步骤4‎ ‎ ‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上 ‎ ‎13．已知向量，， ，若 则= ．‎ ‎【测量目标】向量的线性运算.‎ ‎【考查方式】给出向量之间的垂直关系，利用向量垂直的性质求出.‎ ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】因为,,∴.所以.‎ ‎14．体积为8的一个正方体，其表面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．‎ ‎【测量目标】正方体与球的面积、体积公式.‎ ‎【考查方式】先根据正方体体积求出正方体表面积，根据正方体、球表面积相等求出球的半径，然后求出球的体积.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】设球的半径为，依题设有，则，球的体积为 ‎ ‎ ‎15．若不等式的解集为区间，且,则 ．‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】画出图形，然后根据不等式条件求出值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】由数形结合 ‎ 半圆在直线之下必须，则直线过点，则 ‎ ‎16．设直线系,对于下列四个命题：‎ ‎ A．存在一个圆与所有直线相交 ‎ ‎ B．存在一个圆与所有直线不相交 ‎ C．存在一个圆与所有直线相切 ‎ D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ ‎【测量目标】参数方程、直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】利用点到直线距离判断直线与圆的位置关系.‎ ‎【参考答案】ABC ‎ ‎【试题解析】因为所以点到中每条直线的距离 ‎ （步骤1）‎ 即为圆:的全体切线组成的集合 （步骤2）‎ 所以存在圆心在,半径大于1的圆与中所有直线相交, 也存在圆心在,半径小于1的圆与中所有直线均不相交, 也存在圆心在,半径等于1的圆与中所有直线相切,‎ 故ABC正确 （步骤3）‎ 又因为中的边能组成两个大小不同的正三角形,故D错误,‎ 故命题中正确的序号是ABC （步骤4）‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 设函数． ‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围.‎ ‎【测量目标】函数最值问题和零点问题.‎ ‎【考查方式】先求出导函数，然后把不等式组转化为一边为0，当0时可求得值；‎ ‎ 结合函数图象分类讨论求出的范围.‎ ‎【试题解析】解：(1) . （步骤1）‎ ‎ 因为,, 即 恒成立. （步骤2）‎ ‎ 所以 , 得，即的最大值为. （步骤3）‎ ‎ (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, 步骤4‎ 所以 当时,取极大值 （步骤5） ‎ 当时,取极小值 （步骤6）‎ 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. （步骤7）‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：‎ ‎(1) 该公司的资助总额为零的概率；‎ ‎（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．‎ ‎【测量目标】相互独立事件与概率.‎ ‎【考查方式】根据总额为0，6次都是不支持求出概率.‎ ‎【试题解析】解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则 ‎（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在△中，所对的边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求,．‎ ‎【测量目标】利用正弦定理解决有关角度问题.‎ ‎【考查方式】利用正弦定理边之间比值等于正弦比值求出结果；给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式然后求出,．‎ ‎【试题解析】解：（1）由 得 （步骤1）‎ ‎ 则有 = ‎ ‎ 得 即. （步骤2）‎ ‎（2） 由 推出 ；而,‎ 即得 （步骤3）‎ ‎ 则有 解得 （步骤4）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】空间立体几何中线线、线面、面面之间的位置关系.‎ ‎【考查方式】利用线线垂直得到线面垂直然后得到面面垂直；‎ ‎ 利用射影求出所求角正切值，然后求出所求角；‎ ‎ 利用法向量和点到面距离公式求出距离.‎ ‎【试题解析】解：‎ ‎（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则. （步骤1）‎ 因为⊥平面，则⊥，又 （步骤2）‎ 所以⊥平面，则 （步骤3）‎ 因此有⊥平面，所以平面⊥平面 （步骤4）‎ ‎（2）设平面与交于点，因为，所以平面，则 （步骤5）‎ 由（1）知，⊥平面，则是在平面上的射影，所以 就是与平面所成的角 （步骤6）‎ 且 ‎ ‎ 所求角为. （步骤7）‎ ‎（3）因为是的中点，则点到平面的距离等于点到平面距离的一半，由（1）知，⊥平面于，则就是点到平面距离. （步骤8）‎ 因为在中，，，所以为中点，，则点到平面的距离等于. （步骤9）‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一； ‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，. （步骤10）‎ 设平面的一个法向量，由可得：(步骤11)‎ 令，则，即.设所求角为，则，‎ 所求角的大小为. (步骤12)‎ ‎（3）设所求距离为，由，得： (步骤13)‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 数列的通项，其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; ‎ ‎(2) 求数列｛｝的前项和.‎ ‎【测量目标】通项公式的基本运算、求和公式的推导、二倍角公式.‎ ‎【考查方式】把所给公式转化为最简项，然后逐个推导求出；‎ ‎ 利用错位相减法求出.‎ ‎【试题解析】(1) 由于,故 ‎ (步骤1)‎ ‎ (步骤2)‎ 故 () (步骤3)‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ (步骤4)‎ 两式相减得 故 (步骤5)‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. ‎ ‎（1）求圆的半径;‎ ‎（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点.‎ 证明：直线与圆相切．‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】圆的切线方程、椭圆与三角形内切圆的标准方程.‎ ‎【考查方式】利用条件列出方程然后求出半径；‎ ‎ 根据相切列出方程组然后求解.‎ ‎【试题解析】 解: （1）设，过圆心作于,交长轴于 由得 ‎ 即 (1) （步骤1）‎ 而点在椭圆上, (2) （步骤2）‎ 由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）‎ ‎(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3) （步骤3）‎ 则,即 (4) ‎ 解得 （步骤4）‎ 将(3)代入得,则异于零的解为 （步骤5）‎ 设,，则 则直线的斜率为： （步骤6）‎ 于是直线的方程为: ‎ 即 （步骤7）‎ 则圆心到直线的距离 （步骤8）‎ 故结论成立. （步骤9）‎