近五年高考数学数列压轴题解题方法研究

近五年高考数学数列压轴题解题方法研究

中文摘要 本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究，在数列通项公式方面和数列不等式方面分别总结了几点解题方法。为了让读者能够更好地理解每一种方法，本文在每一种方法后面都进行了说明，并且也给出了相应的例子。‎ 关键词 ：数列压轴题，数列通项公式，数列不等式 Abstract This entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied, Term Formula in a few aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points.In order to give readers a better understanding of each method,in this paper, each method are described later in both. And also gives the corresponding examples Keywords ：Series finale title，Sequence by the formula，Series inequality ‎ ‎ 绪论 数列作为中学数学的传统内容，无论是原教学大纲还是新课程标准中都是中学数学的主干知识之一，在高考中占有非常重要的位置，是历年高考必考内容之一。数列题的题目往往比较简洁，条件比较少，所以需要比较强的综合运用所学知识解决问题的能力。正因为数列的这一特点，使得它越来越受到出题者的青睐，从而把它作为高考压轴题，用以拉开考生的成绩。这一点，我们可以从下表得到说明：‎ 数列压轴题的分布表 ‎2005年 福建卷 湖北卷 山东卷 天津卷 浙江卷 重庆卷 江苏卷 ‎2006年 北京理 福建理 江苏理 江西理 全国1‎ 全国2‎ 山东理 浙江理 ‎2007年 广东理 重庆理 湖南理 江西理 全国1‎ 陕西理 安徽理 ‎2008年 北京理 福建理 广东理 湖北理 全国1理 陕西理 上海理 天津理 浙江理 重庆理 ‎2009年 江苏 安徽理 北京理 广东理 湖南理 江西理 陕西理 上海理 四川理 天津理 重庆理 从上表我们可以看到，数列作为压轴题在全国各省市的高考题中出现的比例越来越大，因此，对高考数列压轴题的解题方法研究就显得很有必要的，既可以帮助学生进行有针对性的学习，少走弯路，也可以帮助教师进行有针对性的教学，提高教学效率。‎ 纵观近几年的关于高考数列的论文，不少人对高考数学数列压轴题的解题进行了研究，也总结了不少的精妙的解题方法。但大多数人都是针对某一道题、某一种解题方法或者某一年高考题的研究，还没有人对近几年高考题进行过一次比较系统的方法总结，下面是笔者结合近年各省理科高考题数列压轴题，在数列通项公式，数列不等式方面总结了一些解题方法，希望对大家有所帮助。‎ 1. 数列的通项公式 近几年高考题虽然题目变来变去的，但涉及到求通项公式的问题，总是有一点方法可以遵循的。‎ ‎1.1定义法 此种方法是直接根据等差数列和等比数列的定义来求数列的通项公式，一般用来求比较简单的题目。譬如，在压轴题第一问出现求数列通项公式时，次种方法往往适用。‎ 根据定义法来证明数列是等比数列时，一般是证明 例1（2006年高考理科数学·山东卷）已知，点在函数 的图象上，其中 ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求及数列的通项；‎ ‎（3）记，求数列的前项，并证明 证明：（1）本题要证明是等比数列 根据定义，只要证明 要证明，即要证明 即要证明 由已知得 又因为，所以 所以是等比数列 ‎（2）略 ‎（3）略 ‎ 根据定义法来证明数列是等差数列时，一般是证明或 例2（2005年高考数学·江苏卷22）设数列的前项和为，已知，且 ‎，其中A.B为常数 ‎⑴求A与B的值；‎ ‎⑵证明：数列为等差数列；‎ ‎⑶证明：不等式对任何正整数都成立 解：⑴ （过程略）‎ ‎ ⑵由（Ⅰ）得 ①‎ 所以 ②‎ ‎②-①得 ③‎ 所以 ④‎ ‎④-③得 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ， ‎ 又 ‎ 所以数列为等差数列 ‎⑶答案略 这道题在解题过程稍微复杂，但思路是根据等差数列的定义，证得是等差数列。‎ 由于定义法比较简单，07年之后便少有出现在压轴题里面，但在非压轴题里这种方法还是常常被用到。‎ ‎1.2数学归纳法 有时候，我们无法根据定义来证明一个数列是等差或等比数列也无法根据义把数列通项公式求出来，这时，利用数学归纳法，能起到化难为简的功效。数学归纳法的解题步骤分为以下两步：‎ 第一步：证明n取最小正整数时，等式成立，‎ 第二步：假设n=k(k大于能取得的最小正整数)时等式成立，然后证明n=k+1时等式也成立。‎ 第三步：由第一、第二步的结论我们就可以下结论说，等号对一切满足条件的n都成立 例3（2005年高考理科数学·浙江卷20）设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋ax＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：‎ x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．‎ ‎ (Ⅰ)求x2及C1的方程．‎ ‎ (Ⅱ)证明{}是等差数列．‎ 解：（Ⅰ）（过程略）‎ ‎ （Ⅱ）设点是上任意一点，‎ 则 ‎ 令 则 由题意得 即 又，‎ ‎，‎ 即 通过观察，我们发现时，上式等号成立，于是，‎ 下面用数学归纳法证明确实所要求的等差数列 第一步：证明n取最小正整数时等号成立，在此题中，n可以取一切正整数，因此先证明n=1时等号是否成立。‎ 当时，，等式成立；‎ 第二步：假设当（k>1）时，等式成立，即，下证明n=k+1时等式也成立 当时，由知，‎ 又，‎ ‎，‎ 即时，等式成立 第三步：由第一、第二步知，等式对成立，‎ 故是等差数列 例4（2007年高考理科数学·江西卷22）设正整数数列满足：，且对于任何，有．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求数列的通项．‎ 解：（1），（过程略）‎ ‎（2）由，，，猜想：．‎ 下面用数学归纳法证明．‎ ‎1当，时，由（1）知均成立；‎ ‎2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，‎ 所以．，所以又，‎ 所以．故，即时，成立．‎ 由1，2知，对任意，．‎ 数学归纳法虽然比较好用，但我们要先观察分析题目给出的条件，根据条件进行合理的猜测，然后再用数学归纳法来证明自己的猜测。数学归纳法在08，09年也得到了广泛的应用，有兴趣的东西可以去看看。‎ ‎1.3等比差数列法 等比差数列在高中课本里没专门介绍，但在高考压轴题中常常会遇到，等比差数列有两个特点：1、如果把非数列项去掉的话，数列就变成了等比数列；2、如果把式子中所有数列项的系数都改成1的话，数列就变成了等差数列。我们可以根据这两个特点来判断一个数列是不是等比差数列。常见的等比差数列有以下两种类型：‎ ‎1.3.1‎‎ （p、q为常数）的形式。求此种等比差数列的通项公式时，我们可以按照以下的方法来求解：‎ ‎∵‎ 设存在一个数k，使得，下求k和p、q的关系 由得，所以 因此，这是以p为公比，为通项的等比数列，‎ 根据等比数列的相关知识，可以求出{}的通项公式，进而求出{}的通项公式。‎ 因此求此种等比差数列的通项公式时，通常是把等比差数列转化成的形式，然后根据等比数列的相关知识，把数列的通项公式求解出来。‎ 例5（06年高考理科数学·福建卷22）已知数列满足 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）证明：‎ 解：（I）∴数列为等比差数列 设，解得k=1‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ 即　‎ ‎（II）略 有时候，题目不是直接给出的形式，而是给出了别的能够转化成形式的题目，这是我们就先转化成的形式，然后再利用上述的方法来求解。‎ 例6（2008年高考理科数学·陕西卷22题）已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ 是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ）略 ‎（Ⅲ）略 同种类型的题目也见于2007年的高考理科数学·全国1卷中。‎ ‎1.3.2‎‎（p是常数）的形式。此种类型的等比差数列比第一种类型复杂了点，但解题方法没变，仍是想方设法把转化成（p是常数）的形式，再利用等比数列的相关知识来求解 例7（2006年高考理科数学·全国1卷）设数列的前项的和，n=1，2，3… ‎ ‎（Ⅰ）求首项与通项；‎ ‎（Ⅱ）设，n=1,2,3…证明：‎ 解：（Ⅰ）由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.‎ 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…‎ 将①和②相减得: an=Sn－Sn-1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, … ‎ 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , ‎ 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,‎ 即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, ‎ 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,‎ ‎（Ⅱ）略 ‎1.4由递推公式求出数列通项公式 很多时候，试题为了增加难度，只是给出一个看似毫无规律的递推公式，让我们从递推公式中找出数列的通项公式。遇到这种题目，我们一般的解题方法是：或者利用 把问题转化，或者是把问题转化成的关系，又或者把问题转化成的关系 例8（2007年高考理科数学·陕西卷22）已知各项全不为零的数列‎{ak}‎的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.ZXXK.COM ‎(Ⅰ)求数列‎{ak}‎的通项公式;ZXXK.COM ‎(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列‎{bk}‎满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.ZX求b1+b2+…+bn.ZXXK.COM 解：（Ⅰ）当，由及，得．‎ 当时，由，得．‎ 因为，所以．‎ 从而．，．‎ 故．‎ ‎(Ⅱ)略 在这道题当中，题目只是给出了Sk＝N*)这个递推关系式，于是，我们可以利用把问题转化成，最后得到答案这样，我们就吧一个看似陌生的问题转化成我们熟悉的问题来解答。‎ 例9（2009年高考理科数学·江西卷）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有 ‎（1）当时，求通项 ‎ ‎（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 解：（1）由得 将代入化简得 ‎ 所以 ‎ 故数列为等比数列，从而即 可验证，满足题设条件.‎ 在这道当中，题目只是给出了这个递推公式，通过变换，我们可以把问题转化成,这时候，再用上面的递推结构法便能很好的得到了答案。‎ 利用递推公式来求解通项公式的方法要求考生要有比较强的推理能力，因此近两年也比较受出题者的喜爱。当然，处理上述几种方法可求得数列通项公式外，还有一个不常用的方法偶尔也在试卷中出现，这里不一一介绍了。‎ ‎2.数列不等式 从这五年的高考题来看，凡是涉及到数列不等式的问题，大部分是以证明题的形式出现。要验证这些证明题，高考中往往用到了下面几种方法:‎ ‎2.1数学归纳法 这种方法在高考中出现的频率很高，从2006年到2009年，很多涉及到不等式的证明题都可以用数学归纳法来证明。考生只要严格按照数学归纳法的三个步骤，进行严谨地运算，便能很好地得到了答案。‎ 例10（2005年高考数学·重庆卷22数列）{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：；‎ ‎（Ⅱ）已知不等式，其中无理数 e=2.71828….‎ 解：（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.‎ ‎（2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立 根据（1）、（2）可知：成立.‎ ‎（Ⅱ）略 ‎2.2分析法 所谓分析法，就是先假设结论成立，由此出发，利用不等式的有关性质，推出已知条件或绝对不等式，然后再倒推回去得出结论。‎ 例11（2005年高考数学·江苏卷23）设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数 ‎⑴求A与B的值；‎ ‎⑵证明：数列为等差数列；‎ ‎⑶证明：不等式对任何正整数都成立 解:⑴‎ ‎⑵略 ‎⑶要证明对任何正整数m、n都成立，由分析法知，‎ 要证 ‎ 只要证 ，‎ 由(2) 可知，，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 故只要证 ，即要证明 所以结论成立。‎ 用分析法证明不等式时，一定要注意推理过程必须是可逆的。否则推理过程不一定成立 ‎2.3反证法 反证法也是证明数列不等式的重要方法，它是在假设结论不成立的条件下，通过正确的逻辑推理，推出与已知条件或与已知的正确结论相矛盾的结果，从而说明假设不对，故应肯定原结论成立。‎ 例12（2009年高考理科数学·重庆卷21）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： ‎ 解：（Ⅰ）（过程略）‎ ‎（Ⅱ）由题意得 由①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明： ‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得，‎ 得由②得而 由④及⑥可推得（）与题设矛盾，‎ 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 ‎2.4放缩法 在不等式的证明中，常常用舍掉一些正（负）项，或在分式中放大（或缩小）分母或分子，最终达到证明不等式的目的，这种证明方法，通常成为放缩法。‎ 常用的放缩法关系式有（n为自然数）：‎ 或；或 ‎；或；‎ 或。‎ 例13（2009年高考理科数学·广东卷21）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：‎ 解：（1），（过程略）‎ ‎ （2）证明：∵‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，‎ 则，令，得，给定区间，则有 则函数在上单调递减，‎ ‎∴，即在恒成立，‎ 又，‎ 则有，即 一般地说，证明时如果从出发，就用缩小法，如果从出发，则用放大法，不论用放大法还是用缩小法，其目的一是把数列放大或缩小成等比数列或等差数列，二是放大或缩小后通过合并化成简单的式子。本例利用放大法把式子合并化成简单式子同种类型的题目在2006年高考数学福建卷和江西卷也有出现，有兴趣的朋友也可以去看看。‎ 小结 本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究。在数列通项公式方面，得到了以下四点常见的解题方法：‎ ‎1.1定义法 ‎1.2数学归纳法 ‎1.3等比差数列法 ‎1.3.1‎‎（p、q为常数）的形式转化成的形式 ‎1.3.2‎‎（p是常数）的形式转化成（p是常数）的形式 ‎1.4由递推公式求出数列通项公式 在数列不等式方面也得到了以下的四点解题方法：‎ ‎2.1数学归纳法 ‎2.2分析法 ‎2.3反正法 ‎2.4放缩法 为了让读者能够更好地理解每一种方法，本文在每一种方法后都给出了说明，而且在每一种方法后还给出了相应的例题。‎ 结束语 从近五年的试题来看，每一年所考的方法变化并不大，但试题的题目一年比一年的要长，而且一年比一年的要难读懂，考生如果想在数列压轴题上面多拿点分数，除了要熟悉上面解题方法外，还需要点耐心。‎ 在上面的几种方法中，数学归纳法、等比差数列法以及放缩法在数列通项公式以及数列不等式方面频繁被用到，我想，在2010年的高考中，这三种方法出现的机率也很多。‎ 本文之前，尚没有人系统地对近五年高考理科数列压轴题解题方法进行了研究，因此本文在一定程度上弥补了这方面的不足。文中在 数列不等式和数列通项公式这两方面的内容分别得出了常见的四种解题方法对学生复习和教师教学一定会有不少的帮助。‎ 参考文献 ‎[1] 田彦武，周长林，用构造法巧求2006年高考数列通项公式[J]，中学数学杂志（高中）,2006年第6期.‎ ‎[2] 黄广新，冯华，常见求和数列不等式的证明策略[J]，中学数学教学，2007年第2期.‎ ‎[3] 刘兴明，2007年高考数列通项公式的题型及求法[J]，中学数学杂志（高中），2007年第6期.‎ ‎[4] 钱士明，杨利刚，递推、构造[J]，数学教学通讯总第266期.‎ ‎[5] 祝志强，剖析2009年高考数列题[J]，考试周刊2009年第36期（下卷）.‎ ‎[6] 刘佛清，数列方法与技巧[M]，华中工学院出版社，1986,12.‎ 致谢词 ‎ 感谢我的导师吴跃忠教授，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢我的室友们，从遥远的家来到这个陌生的城市里，是你们和我共同维系着彼此之间兄弟般的感情，维系着寝室那份家的融洽。四年了，仿佛就在昨天。四年里，我们没有红过脸，没有吵过嘴，没有发生上大学前所担心的任何不开心的事情。只是今后大家就难得再聚在一起吃每年元旦那顿饭了吧，没关系，各奔前程，大家珍重。我们在一起的日子，我会记一辈子的。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！‎