- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考风向标理科数学集合与函数概念
第一章 集合与函数概念 知识网络 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函数 及其表示 函数基本性质 单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射 映射的概念 集合与函数概念 第一讲 集合 ★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 二： 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 且 子集 A中任意一元素均为B中的元素 或 真子集 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ，（） 三：集合的基本运算 ①两个集合的交集:= ; ②两个集合的并集: =; ③设全集是U,集合,则 交 并 补 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算. ★重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. [错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C； 显然，，故 (3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。 3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即 （2）任何集合都是它本身的子集，即 （3）子集、真子集都有传递性，即若，，则 4．集合的运算性质 （1）交集：①；②；③；④，⑤； （2）并集：①；②；③；④，⑤； （3）交、并、补集的关系 ①； ②； ★热点考点题型探析 考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征 [例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A．0；B．2；C．3；D．6 [解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是 的元素 [解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系 [例2]．数集与之的关系是（ ） A．；B．； C．；D． [解题思路]可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。 [解析] 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能； 同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练] 1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A． B. C. D. [解析] D；因为全集为，而=全集= 2．(2006•山东改编）定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为 [解析]18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 [解析] ；因为，，所以 4．研究集合，，之间的关系 [解析] 与，与都无包含关系，而；因为表示 的定义域，故；表示函数的值域，；表示曲线上的点集，可见，，而与，与都无包含关系 考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合， （1） 若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围若， [解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为， （1）由知，，从而得，即 ，解得或 当时，，满足条件； 当时，，满足条件 所以或 （2）对于集合，由 因为，所以 ①当，即时，，满足条件； ②当，即时，，满足条件； ③当，即时，才能满足条件， 由根与系数的关系得，矛盾 故实数的取值范围是 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6．若集合，，则是（ ） A. ；B. ；C.；D. 有限集 [解析] A；由题意知，集合表示函数的值域，故 集合；表示函数的值域， ，故 7．已知集合，，那么集合为（ ）A. ；B.；C.；D. [解析]D；表示直线与直线的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。 8．集合,,且,求实数的值. [解析] ；先化简B得, .由于,故或. 因此或,解得或. 容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时. 故所求实数的值为. 备选例题1：已知，，则中的元素个数是（ ） A. ；B. ；C.；D.无穷多个 [解析]选A;集合表示函数的值域,是数集,并且,而集合表示满足 的有序实数对的集合,即表示圆上的点,是点集。所以，集合与集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的个数为0 [误区分析]在解答过程中易出现直线与圆有两个交点误选C；或者误认为中，而中，从而有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2：已知集合和集合各有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数： (Ⅰ)，且中含有3个元素； (Ⅱ)（表示空集） [解法一]因为、各有12个元素，含有4个元素， 因此，的元素个数是 故满足条件(Ⅰ)的集合的个数是 上面集合中，还满足的集合的个数是 因此，所求集合的个数是 [解法二]由题目条件可知，属于而不属于的元素个数是 因此，在中只含有中1个元素的所要求的集合的个数为 含有中2个元素的所要求的集合的个数为 含有中3个元素的所要求的集合的个数为 所以，所求集合的个数是 ★抢分频道 U B A 基础巩固训练： 1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集 , 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A．；B．；C．；D． [解析]C；图中阴影部分表示的集合是，而，故 2. （韶关09届高三摸底考）已知 则= A．；B．；C．；D． [解析] A；因为，，所以 3. （苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数为 [解析]8；集合的所有子集个数为 4.（09年无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，若且，则与的关系是 [解析] 或；由子集和交集的定义即可得到结论 5．(2008年天津)设集合，则的取值范围是（ ） A．；B． C．或；D．或 [解析]A；，， 所以，从而得 综合提高训练： 6．, 则下列关系中立的是( ) A．; B．;C．;D． [解析]A；当时，有，即 ；当时，也恒成立，故 ，所以 7.设，，，记 ，，则＝( ) A. ; B.; C. ; D. [解析] A；依题意得，，所以， ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义 ，已知A=，B=， 则A×B等于（ ） A．；B．；C．；D． [解析]D；，∴A=[0，2]，，∴B=（1，＋∞）， ∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝ 第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域 [误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是 [正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围 问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而 ，所以函数的定义域是 [正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是 即本题的实质是由求的范围 即与中含义不同 1． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），； （2）， （3），（n∈N*）； （4），； （5）， [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数. （2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数. （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数. [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数相同的是( ) A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y= [解析] B；因为y = ，所以应选择B 2．(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ） A.；B.；C.； D. [解析] C；根据对数恒等式得，且函数的定义域为，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数的定义域为( ) A.;B.；C. ;D. [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数有意义，必须并且只需 ，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设，则的定义域为（ ） A. ；B. ；C. ；D. [解题思路]要求复合函数的定义域，应先求的定义域。 [解析]由得，的定义域为，故 解得。故的定义域为.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。 题型3；求函数的值域 [例4]已知函数，若恒成立，求的值域 [解题思路]应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，恒成立，则，解得， 所以，从而，，所以的值域是 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 [新题导练] 3.（2008安徽文、理）函数的定义域为 ． [解析] ；由解得 4．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( ) A．；B．；C．；D．无法确定 [解析] B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的 5．(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是 [解析] ；因为的定义域为，所以对，但故 6．(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域 是 [解析] ；可以视为以为变量的函数，令，则 ，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2 考点三：映射的概念 [例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ） A．；B．；C．；D． [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时， 有，解得，解密得到的明文为C． 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A 的对应关系一般是不同的； （3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征； （4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象. [新题导练] 7．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________. [解析] 9 , 8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射. 8．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B. [解析] a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}； ∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） ∵a∈N，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5. ∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}. 备选例题：（03年上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。 （1）函数是否属于集合？说明理由； （2）设函数的图象与的图象有公共点，证明： [解析]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= （2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， 所以方程组：有解，消去y得ax=x, 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M. ★抢分频道 基础巩固训练： 1．(2007·广东改编) 已知函数的定义域为，的定义域为，则 [解析] ；因为,故 2．函数的定义域是 [解析] ；由得到 3．函数的值域是 [解析]；由知，从而得，而，所以，即 4．（广东从化中学09届月考）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是( ) A．B中某一元素的原象可能不只一个；B．A中某一元素的象可能不只一个 C．A中两个不同元素的象必不相同； D．B中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A；根据映射的定义知可排除B、C、D 5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则中，构成从集合A到集合的映射是（ ） A． B． C． D． [解析]D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合的映射是D 6．（09年执信中学）若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ） A．；B．； C．；D． [解析]B；因为函数即为，其图象的对称轴为直线， 其最小值为，并且当及时，，若定义域为，值域为，则 综合提高训练： 8．（05天津改）设函数，则函数的定义域是 [解析] ；由得，的定义域为。故 解得或。 9．设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有 个整数 [解析]；因为，可见，在(是正整数)上是增函数，又 所以，在的值域中共有个整数 第3讲 函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ★重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数满足，求 方法一：换元法 令，则，从而 所以 方法二：配凑法 因为 所以 方法三：待定系数法 因为是二次函数，故可设，从而由可求出 ，所以 （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 问题2：已知函数满足，求 因为① 以代得② 由①②联立消去得 ★热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数 [例1] （09年广东南海中学）一水池有个进水口, 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天点到点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）点到点只进水不出水；（2）点到点不进水只出水；（3）点到点不进水不出水． 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。 [解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确的论断是（2） 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。 [新题导练] 1．(05辽宁改)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ） A B C D [解析] A.；令，则等价于，是由点组 成，而又知道，所以每各点都在y=x的上方。 2．(2005·湖北)函数的图象大致是( ) [解析] D；当时，，可以排除A和C；又当时，，可以排除B 考点2：用列表法表示函数 [例2] （07年北京）已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 [解析]由表中对应值知=； 当时，，不满足条件 当时，，满足条件， 当时，，不满足条件， ∴满足的的值是 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 [新题导练] 3．（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f的对应法则是表1 原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 映射g的对应法则是表2 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2 则与相同的是（ ） A．；B．；C．；D． [解析] A；根据表中的对应关系得，， 4．（04年江苏改编）二次函数（∈R）的部分对应值如下表： －3 －2 －1 0 1 2 3 4 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式的解集是 [解析] ；由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为－2和3，又根据且可知，所以不等式 的解集是 考点3：用解析法表示函数 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例3] （04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令，则，∴ .∴. 故应填 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。 题型2：求二次函数的解析式 [例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且 。 ⑴求的解析式； ⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。 [解题思路]（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。 [解析]⑴设，则 与已知条件比较得：解之得，又， ⑵由题意得：即对恒成立， 易得 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。 [新题导练] 5．（06全国卷二改编）若，则 [解析] ； 所以,因此 6．（09年潮州金山中学）设是一次函数，若且成 等比数列，则 ； [解析]；设，由得，从而 又由成等比数列得，解得 所以， 7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设 ，又记 则 （ ） A．；B．；C．；D．； [解析] C；由已知条件得到， ，， 可见，是以4为周期的函数，而，所以， 8．设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求的解析式。 [解析] ；设f(x)=ax2+bx+c， 由f(x)满足f(x－2)=f(－x－2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=－2，所以 由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得，即c=1 由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为，可得 所以联立方程组，可解得 所以f(x)=. 考点4：分段函数 题型1：根据分段函数的图象写解析式 [例5] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ； （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。 [思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（Ⅱ） [解析] （Ⅰ）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过 所以，即，所以 （Ⅰ），所以至少需要经过小时 【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型2：由分段函数的解析式画出它的图象 例6] (2006·上海)设函数，在区间上画出函数的图像。 [思路点拨]需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。 [解析] ,如右上图. 【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。 [新题导练] 9．（09年潮州金山中学）已知函数，则 [解析] 2；由已知得到 10．（06山东改编）设则不等式的解集为 [解析] ；当时，由得，得 当时，由得，得 备选例题1： (2005·江西)已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式； [解析]（1）将得 （2）不等式即为 即 ①当 ②当 ③. 备选例题2：（06重庆）已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 ★抢分频道 基础巩固训练： 1．（09年广州高三年级第一学期中段考）函数的图象如图2所示.观察图象可知 函数的定义域、值域分别是（ ） O -5 2 6 2 5 图2 A.,；B. C.,；D. [解析] C；由图象可以看出，应选择C 2．（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是： 前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的 产量与时间的函数图像可能是（ ） 4 8 y o t 4 8 y o t 4 8 y o t 4 8 y o t [解析] B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，∴选B． 3．（2004·湖南改编）设函数若,,则关于的方程的解的个数为 [解析] 3；由,可得，从而方程等价于 或，解得到或，从而得方程的解的个数为3 4．（05江苏）已知为常数，若， ，则= [解析] 2；因为，所以 又，所以， 解得或，所以 5．对记，函数 的最小值是（ ） A.；B. ；C.；D. [解析] C；作出和的图象即可得到函数 的最小值是 6．（中山市09届高三统测）已知函数 其中 ， 。作出函数的图象； [解析] 函数图象如下： 说明：图象过、、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间 上的图象为直线段 综合提高训练： 7．（09年惠州第二次调研考）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ） A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O [解析] B；过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大 8．（06重庆）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ） [解析] D；如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D. 9．（06福建）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 [解析]（I）是二次函数，且的解集是 可设 在区间上的最大值是，由已知，得 （II）方程等价于方程 设则 当时，是减函数； 当时，是增函数。 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根， 所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。 第4讲 函数的单调性与最值 ★知识梳理 函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 如果用导数的语言来，那就是： 设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数； 如果在某区间上，那么为区间上的减函数； 1． 函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★重、难点突破 重点：掌握求函数的单调性与最值的方法 难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解 （1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即 ；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上（）仅是为区间上的增函数（减函数）的充分不必要条件。 （4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单 调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。 （5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和 （6）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增” 2．函数的最值的求法 （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法 （5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 题型1：讨论函数的单调性 [例1] (2008广东)设,函数. 试讨论函数的单调性. [解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。 [解析]: 因为,所以. (1)当x<1时，1-x>0， ①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增； ②当时，令，解得， 且当时，；当时， 故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增； (2)当x>1时， x-1>0， ①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减； ②当时，令，解得， 且当时，；当时， 故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增； 综上得，①当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减； ②当k<0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间 上单调递增；③当时，F(x)在区间上单调递减,在区间 上单调递增,在区间上单调递减. 【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理. 题型2：研究抽象函数的单调性 [例2] 定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围. [解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）. 又f（0）≠0，∴f（0）=1. （2）证明：当x＜0时，－x＞0， ∴f（0）=f（x）·f（－x）=1. ∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0， ∴x∈R时，恒有f（x）＞0. （3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0. ∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1. 又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数. （4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数， ∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. [新题导练] 1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（ ） A．; B．; C．; D． [解析] C；由得，又由知函数在上是减函数，根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是 2．（东皖高级中学09届高三月考）函数的单调增区间为（ ） A．；B．；C．；D． [解析] D；由得或，又函数 在上是减函数，在上是减函数，所以函数 的单调增区间为 3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． [解析] （1）；（2） （1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增， 递减，递增 （2），且解得： 考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值 [例3] （2000年上海）已知函数 当时，求函数的最小值； [解题思路]当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数； [解析]当时， ，。在区间上为增函数。 在区间上的最小值为。 【名师指引】对于函数若 ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到 而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型2：利用函数的最值求参数的取值范围 [例4] （2000年上海）已知函数 若对任意恒成立,试求实数的取值范围。 [解题思路] 欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。 [解析]在区间上恒成立； 在区间上恒成立； 在区间上恒成立； 函数在区间上的最小值为3， 即 【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。 题型3：求三次多项式函数的最值 [例5]（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。 [解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。 [解析]∵， ……………………3分 ……………………4分 得： 当 ……………………5分 当 ……………………6分 因此，在区间内单调递减，而在内单调递减， 且 又 ， ，………………10分 【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。 [新题导练] 4.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m = [解析] 6；由知在上是增函数 又因为函数是奇函数，所以函数是增函数，故M+m= 5.（高州中学09届模拟）已知函数。 （Ⅰ）若为奇函数，求的值； （Ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。 [解析]（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为 （Ⅰ）的定义域关于原点对称 若为奇函数，则 ∴ （Ⅱ） ∴在上∴在上单调递增 ∴在上恒大于0只要大于0即可, ∴ 若在上恒大于0，的取值范围为 备选例题：（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； [解析]（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即 又由知 （Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得： ．即对一切有：， 从而判别式 [解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ， 即， 整理得 上式对一切均成立，从而判别式 ★抢分频道 基础巩固训练： 1．（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间 上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A.；B.；C.；D. [解析] C；因为，由其图象知，若函数在区间上为减函数，则应有 2．（普宁市城东中学09）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A．；B．； C．；D． [解析] A；若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是 3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ） A．；B．；C．；D． [解析] C；显然在上是增函数，在上也是增函数 而对求导得，对于， ，所以在区间上为增函数，从而应选择C 4．（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ ） A．1；B．2；C．3；D．4 [解析] D；依题意，应将函数向右平行移动得到的图象，为了使得在上，的图象都在直线的下方，并且让取得最大，则应取，这时取得最大值4 5．（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取值范围是 [解析] ；要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以 6．（2008浙江理）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2， 则 [解析]1；显然函数的最大值只能在或时取到， 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去）； 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去） 所以 综合提高训练： 7.（06陕西改编）已知函数若 则与的大小关系为 [解析] ；函数的图象开口向上，对称轴为，因，故，从而，又 ，所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离，故 8．已知函数，求的值 [解析] ；为， 令，则 ， 从而 所以 9．（09年汕头金中）对于函数成立的所有常数M中，我 们把M的最大值－1叫做， 的下确界为（ ） A．；B．2；C．；D．4 [解析] A；因为， 故的下确界为 10．（08年湖南）设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N*,定义, 求当时，函数的值域 [解析] ；当时，，，因为函数在上是减函数，得；当时，，，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是 第5讲 函数的奇偶性和周期性 ★知识梳理 1．函数的奇偶性的定义： ①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 1． 函数的周期性命定义： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 ★重、难点突破 重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用 难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；②若是奇函数且在处有定义，则③若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。 2．奇偶函数图象的对称性 （1） 若是偶函数，则的图象关于直线对称； （2） 若是偶函数，则 的图象关于点中心对称； 3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况： （1）函数值之和等于零型，即函数 对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是 （2）函数图象有，两条对称轴型 函数图象有，两条对称轴，即， ，从而得， 故函数的周期是 （1） 两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型 若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是 （2） 分式递推型，即函数满足 由得，进而得 ，由前面的结论得的周期是 ★热点考点题型探析 考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·； （3）；（4） [思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 [解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0. 从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x） 故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性 [例2] （09年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的， 都有. 求证f (x)为奇函数； [思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理 “赋值” [解析]令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0 令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1) ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0 ∴ f (－x) =－f (x) ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数 【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) [新题导练] 1．（09广东电白一中）设函数为奇函数，则___________。 [解析]0；由函数为奇函数得到，即 所以 2．（高州中学09届训练题）已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ） A．0；B．；C．1；D． [解析]B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是0 3．定义两种运算：，，则 是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个） [解析]奇；依和得 ，其定义域为，所以 ，可见，是奇函数 4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值. [解析]；由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）. ∴c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）＜3，得＜3， 解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0. 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用 [例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 [思路点拨]欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从 出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。 [解析] 是定义在上奇函数 对任意有 由条件得= 是定义在上减函数 ，解得 实数的取值范围是 【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式 [例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)查看更多
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