高考数学试题山东卷文科

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高考数学试题山东卷文科

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 ‎(山东卷)文科数学全解全析 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,‎ 选择一个符合题目要求的选项.‎ ‎1.复数的实部是( )‎ A. B. C.3 D.‎ ‎【答案】:B【分析】:将原式,所以复数的实部为2。‎ ‎2.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:C【分析】:求。‎ ‎3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ D.②④‎ ‎【答案】D【分析】: 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为D。‎ ‎4.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )‎ A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 ‎【答案】A【分析】: 本题看似简单,必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名,而,故应选A。‎ ‎5.已知向量,若与垂直,则( )‎ A. B. C. D.4‎ ‎【答案】:C【分析】:,由与垂直可得:‎ ‎, 。‎ ‎6.给出下列三个等式:,‎ ‎.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:B【分析】:依据指、对数函数的性质可以发现A满足,‎ C满足,而D满足,‎ B不满足其中任何一个等式.‎ ‎7.命题“对任意的”的否定是( )‎ A.不存在 B.存在 C.存在 D.对任意的 ‎【答案】C【分析】注意两点:(1)全称命题变为特称命题;(2)只对结论进行否定。‎‎0‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 秒 频率/组距 ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.18‎ ‎0.34‎ ‎0.36‎ ‎8.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介 于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六 组:每一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二 组,成绩大于等于14秒且小于15秒;……第六组,‎ 成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为,成绩大于等于 ‎15秒且小于17秒的学生人数为,则从频率分布直方 图中可以分析出和分别为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】 A【分析】:从频率分布直方图上可以看出,‎ ‎.‎ 开始 输入 结束 输出S,T 否 是 ‎9.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,‎ 与轴正向的夹角为,则为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B【分析】:(利用圆锥曲线的第二定义)‎ 过A 作轴于D,令,‎ 则,,。‎ ‎10.阅读右边的程序框图,若输入的是100,则输出的 变量和的值依次是( )‎ A.2550,2500 ‎ B.2550,2550 ‎ C.2500,2500 ‎ D.2500,2550‎ ‎【答案】A.【试题分析】:依据框图可得,。‎ ‎11.设函数与的图象的交点为,‎ 则所在的区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B.【试题分析】令,可求得:‎ ‎。易知函数的零点所在区间为。‎ ‎12.设集合,分别从集合和中随机取一个数和,确定 平面上的一个点,记“点落在直线上”为事件 ‎,若事件的概率最大,则的所有可能值为( )‎ A.3 B.‎4 ‎ C.2和5 D.3和4‎ ‎【答案】D【试题分析】事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时 的基本事件个数即可。‎ 当n=2时,落在直线上的点为(1,1);‎ 当n=3时,落在直线上的点为(1,2)、(2,1);‎ 当n=4时,落在直线上的点为(1,3)、(2,2);‎ 当n=5时,落在直线上的点为(2,3);‎ 显然当n=3,4时,事件的概率最大为。‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案须填在题中横线上.‎ ‎13.设函数则 .‎ ‎【答案】【分析】:‎ ‎。‎ ‎14.函数的图象恒过定点,若点在直线 上,则的最小值为 .‎ ‎【答案】:4【分析】:函数的图象恒过定点,‎ ‎,,,‎ ‎(方法一):, .‎ ‎(方法二):‎ ‎15.当时,不等式恒成立,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】【分析】:构造函数:。由于当时,‎ 不等式恒成立。则,即 ‎。解得:。‎ ‎16.与直线和曲线都相切的 半径最小的圆的标准方程是 .‎ ‎【答案】:. ‎ ‎【分析】:曲线化为,其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上,其到直线的距离为,圆心坐标为标准方程为。‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,角的对边分别为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,且,求.‎ 解:(1)‎ ‎ 又 ‎ 解得.‎ ‎ ,是锐角.‎ ‎ .‎ ‎(2),,.‎ ‎ 又 ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,‎ 且构成等差数列.‎ ‎(1)求数列的等差数列.‎ ‎(2)令求数列的前项和.‎ 解:(1)由已知得 ‎ 解得.‎ ‎ 设数列的公比为,由,可得.‎ 又,可知,‎ 即,‎ 解得.‎ 由题意得.‎ ‎.‎ 故数列的通项为.‎ ‎(2)由于 ‎ 由(1)得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 是等差数列.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ y x l M 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,‎ 由题意得 ‎ 目标函数为.‎ ‎ 二元一次不等式组等价于 ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.‎ ‎ 如图:‎ ‎ 作直线,‎ ‎ 即.‎ ‎ 平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值. ‎ ‎ 联立解得.‎ ‎ 点的坐标为.‎ ‎ (元)‎ 答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,‎ 最大收益是70万元.‎ B C D A ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在直四棱柱中,已知 ‎,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设是上一点,试确定的位置,‎ 使平面,并说明理由.‎ ‎(1)证明:在直四棱柱中,‎ ‎ 连结, ,‎ ‎ 四边形是正方形.‎ ‎ .‎ B C D A ‎ 又,,‎ ‎ 平面,‎ ‎ 平面,‎ ‎ .‎ ‎ 平面,‎ ‎ 且,‎ ‎ 平面,‎ B C D A M E ‎ 又平面,‎ ‎ .‎ ‎(2)连结,连结,‎ ‎ 设,‎ ‎ ,连结,‎ ‎ 平面平面,‎ ‎ 要使平面,‎ ‎ 须使,‎ ‎ 又是的中点.‎ ‎ 是的中点.‎ ‎ 又易知,‎ ‎ .‎ ‎ 即是的中点.‎ ‎ 综上所述,当是的中点时,可使平面.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数,其中.‎ ‎ 证明:当时,函数没有极值点;当时,‎ 函数有且只有一个极值点,并求出极值.‎ 证明:因为,所以的定义域为.‎ ‎ .‎ ‎ 当时,如果在上单调递增;‎ ‎ 如果在上单调递减.‎ ‎ 所以当,函数没有极值点.‎ ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 令,‎ ‎ 得(舍去),,‎ ‎ 当时,随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 从上表可看出,‎ ‎ 函数有且只有一个极小值点,极小值为.‎ ‎ 当时,随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极大值 ‎ 从上表可看出,‎ 函数有且只有一个极大值点,极大值为.‎ ‎ 综上所述,‎ ‎ 当时,函数没有极值点;‎ ‎ 当时,‎ ‎ 若时,函数有且只有一个极小值点,极小值为.‎ ‎ 若时,函数有且只有一个极大值点,极大值为 ‎.‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以 为直径的图过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解:(I)由题意设椭圆的标准方程为,‎ 由已知得:,,‎ ‎,,‎ ‎ 椭圆的标准方程为 ‎ ‎(Ⅱ)设,,‎ 联立 得,‎ 又,‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,‎ ‎,即,‎ ‎,‎ ‎, ‎ 解得:,,且均满足,‎ 当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;‎ 当时,的方程为,直线过定点 ‎ 所以,直线过定点,定点坐标为 ‎
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