高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 ‎8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）‎ 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 备用课件 问题探究8‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.（借用柯西不等式）‎ ‎9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）‎ 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 备用课件 问题探究9‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值和最大值.‎ ‎10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）‎ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）‎ 备用课件 设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦点所在直线于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）‎ 备用课件 设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与 ‎∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）‎ 备用课件 问题探究10‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，中垂线交轴于点D，是否存在实常数，使恒成立？‎ ‎11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）‎ 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．‎ 备用课件 双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．‎ 备用课件 抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．‎ 备用课件 问题探究11‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，直线：交轴于点G，点在直线上的射影分别是，设直线的交点为D，是否存在实常数，使恒成立.‎ ‎12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）‎ 实验成果 动态课件 椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线 备用课件 双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线 备用课件 抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线（抛物线的D点在无穷远处）.‎ 备用课件 ‎ ‎ 问题探究12‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点， 分别为椭圆的左、右顶点，动点满足试探究点的轨迹.‎ ‎13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）‎ 实验成果 动态课件 椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则 ‎ 备用课件 双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则 备用课件 抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则（抛物线的D点在无穷远处）‎ 备用课件 问题探究13‎ 已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线交双曲线于A，B两点， 分别为双曲线的左、右顶点，动点满足动点满足试探究是否为定值.‎ ‎14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件 本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），‎ 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 ‎ 备用课件 问题探究14‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，直线：，直线AD交直线于点P，试判断点P、C、B是否三点共线，并证明之.‎ ‎15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）‎ 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分 备用课件 双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分 备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分 ‎ ‎ 备用课件 问题探究15‎ 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，直线：，直线AD交直线于点P，试证明.‎ ‎16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广 实验成果 动态课件 过椭圆长轴上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 备用课件 过双曲线实轴上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 备用课件 过抛物线对称轴上任意一定点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 备用课件 问题探究16‎ 已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线.‎ ‎17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线 及对称轴所分比之和为定值 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.‎ 备用课件 双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.‎ 备用课件 过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.‎ 备用课件 ‎ 问题探究17‎ 已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值.‎ ‎18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值 实验成果 动态课件 过椭圆上任点A作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值．即备用课件 过双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值．即备用课件 ‎（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）‎ 由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即 ‎ 备用课件 问题探究18‎ 已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：.⑴求椭圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值.‎