高考数学二轮复习小题精做系列之数列数学归纳法与极限

高考数学二轮复习小题精做系列之数列数学归纳法与极限

江西省 高考数学二轮复习 小题精做系列之数列、数学归纳法与极限1‎ 一．基础题组 ‎1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列是公差为2的等差数列，若是和的等比中项，则=________.‎ ‎2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列的前项和（），则的值是__________．‎ ‎3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若存在，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在 中，记角、、所对的边分别为、、，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边，则（ ）．‎ ‎ ‎ ‎5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】___________.‎ ‎6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆的圆心到直线（）的距离为，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：圆心为，，．‎ 考点：点到直线距离公式，极限．‎ ‎7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：________．‎ ‎8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列中，，，则=___________.‎ ‎9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列的前n项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则=_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列的公差为，则，，数列是等差数列，则是关于的一次函数（或者是常函数），则，，从而数列的公差是，那么有，‎ ‎（舍去）或，．‎ 考点：等差数列的通项公式．‎ ‎10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：=_________．‎ ‎11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则__ _.‎ ‎12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（‎ 的最高次幂），化为一般可求极限型，即．‎ 考点：“”型极限 ‎13. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()那么共有 项.‎ ‎14. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算： ．‎ ‎15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且 设则数列的前10项和等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：数列到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和表示出来，‎ ‎.‎ 考点：等差数列的通项公式与前和公式.‎ 二．能力题组 ‎1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．‎ 可行，由此我们可得 ‎．‎ 考点：分组求和．‎ ‎2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、级分形图．则级分形图的周长为__________．‎ 图（1）‎ 图（2）‎ 图（3）‎ ‎……‎ ‎3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数，且，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：考虑到是呈周期性的数列，依次取值，故在时要分组求和，又由的定义，知 ‎，‎ ‎，从而 ‎．‎ 考点：周期数列，分组求和．‎ ‎4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小值等于 ．‎ ‎5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列满足，则 .‎ ‎6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数则 ‎（ ）‎ ‎ (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013‎ ‎7. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列中，若，（），则 .‎ ‎8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列的前项和为，若（），则 .‎ ‎【答案】1006‎ ‎【解析】‎ 试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和时，想象应该分组，依次4个为一组，，，‎ ‎，最后还剩下，，所以．‎ 考点：分组求和．‎ ‎9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列满足：，则前6项的和 .（用数字作答）‎ ‎10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列中，，记，则当____时， 取得最大值.‎ ‎11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.‎ ‎12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列具有如下 性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为 （用表示）‎ 三．拔高题组 ‎1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列是递增的等差数列，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和的最小值；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列中，，，.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.‎ ‎（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，‎ 将，，代入上式得……7分 ‎………………8分 化简得，，即，得，解得 所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分 ‎3. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.‎ ‎（1）若，，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，，且，求数列的前项和；‎ ‎（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），或或，．‎ ‎（3）若数列是公比为的等比数列，‎ ‎4. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：‎ ‎①；②.‎ ‎（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；‎ ‎（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；‎ ‎（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：‎ ‎（i）求证：；‎ ‎（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）．或；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．‎ 试题解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分 若，则由①=0，得，-------------3分 由②得或．‎ 所以，．数列的通项公式是 或------------------------------------4分 记数列的前项和为，‎ 则由（i）知，，‎ ‎，而，‎ ‎，从而，，‎ 又，‎ 则，-------------------------16分 ‎，‎ 与不能同时成立，‎ 所以，对于有穷数列，若存在使，则数列的和数列不能为阶“期待数列”． ----------------------18分 考点：（1）等比数列的前和公式与通项公式；（2）等差数列的前和公式与通项公式；（3）数列综合题．‎ ‎5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列 ‎，满足，，‎ ‎（1）已知，求数列所满足的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的通项公式；‎ ‎（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）这属于数列的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由已知可得，从而当时有结论 ‎，很幸运，此式左边正好是，则此我们得到了数列的相邻两项的差，那么为了求，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有，对要另外求得；（2）有了第（1）小题，那么求就方便多了，因为，这里不再累赘不；（3）在（2）基础上有，我们只有求出才能求出，这里可利用等差数列的性质，其通项公式为的一次函数（当然也可用等差数列的定义）求出，从而得到，那么和的求法大家应该知道是乘公比错位相减法，借助已知极限可求出极限.‎ ‎∴.‎ ‎（说明：这里也可利用，依据递推，得 ‎　　　　）‎ ‎6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.‎ ‎（1）若函数确定数列的反数列为，求；‎ ‎（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.‎ ‎（3）当为奇数时，，. …………11分 由，则，‎ 即，因此， …………13分 所以 …………14分 当为偶数时，，. …………15分 由得，即，因此， …………17分 所以 …………18分 考点：（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．‎ ‎7. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，‎ ‎，最后用分组求和法求出，‎ 根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．‎ ‎（3）当时，，，‎ ‎8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、. 已知集合=.‎ ‎（1）已知，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；‎ ‎（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎ 6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16, 10,8,14；12,6,2,4 …………………8分 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 此时不存在. 故数列对（，）不存在. ………………………………10分 另证：‎ 当时，‎ ‎9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，‎ ‎；当为奇数时，.‎ ‎（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；‎ ‎（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；‎ ‎（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.‎ 故对于给定的，的最大值为 ‎，所以． （6分）‎ ‎10. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数) ．‎ ‎（1）当，，时，求；‎ ‎（2）当，，时，‎ ‎①若，，求数列的通项公式；‎ ‎②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.‎ 如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有 ‎，且．若存在，求数列的首项的所 有取值构成的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎（2）当，，时，‎ ‎， ③‎ 用去代得，， ④ ‎ ‎ ‎ 又，∴或或或 …….17分 所以，首项的所有取值构成的集合为 …… 18分 ‎（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）‎ 考点：(1)已知与的关系，求和；(2)等差数列的通项公式，前项和.‎ ‎ ‎