高考二轮复习微专题阿波罗尼斯圆及其应用

高考二轮复习微专题阿波罗尼斯圆及其应用

高考微专题——阿波罗尼斯圆及其应用 在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。‎ 一、背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.‎ 求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.‎ 如图，点为两定点，动点满足，‎ 则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，‎ 后世称之为阿波罗尼斯圆．‎ 证明：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则．‎ 又设，则由得:， ‎ 两边平方并化简整理得:， ‎ 当时，，轨迹为线段的垂直平分线；‎ ‎ y x O T C N ‎ A M B 当时，，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆． ‎ 二、问题呈现 例1、 （2019湖北理14）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．‎ ‎（Ⅰ）圆的标准方程为 ；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．‎ 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）‎ 解析：（Ⅰ）易知半径，所以圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 因为圆心， ‎ 又因为，且为中点，所以 因为 在圆 上，可设， ‎ 所以：‎ 所以：,‎ 同理：，所以：，①正确；‎ ‎, ②正确 ‎，③正确 所以：①、②、③正确 方法一可以改进为：‎ 设为圆C上任意一点，则有：‎ ‎，①正确；‎ 同理，②正确；‎ ‎，③正确.‎ 这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. ‎ 方法二:‎ 如上图所示, 在（Ⅰ）的基础上易得 于是，，所以，‎ ‎，，所以，‎ 所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为的阿波罗尼斯圆,‎ 故：，①正确 ‎, ②正确 ‎，③正确 因此： ①，②，③3个结论都成立.‎ 方法三：先引进一个概念----圆的反演点：己知圆的半径为，从圆心出发任作一射线，在射线上任取两点，，,且，则称，是关于圆的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是的反演点；若在圆内，则连接，过点作的垂线与圆交点处的两切线的交点即为的反演点.‎ 在（Ⅰ）的基础上易得：，，则有，‎ 则点，是圆的一对反演点，‎ 取圆上一点，则有, ‎ 所以圆是以，为反演点，比例系数为的阿波罗尼斯圆.‎ 即对圆上任一点，均有，‎ 故有：，①正确 ‎, ②正确 ‎，③正确.‎ 练习1：（2019江苏卷13）若，则的最大值为 ‎ 解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理 设，‎ 所以：，‎ ‎ 则：，‎ 所以：当时，的最大值为.‎ 该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高.‎ 解法二： 建立平面直角坐标系处理最值问题 以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，‎ 设，由得，‎ 整理得：，∴，‎ 则，所以的最大值是．‎ 解法三： 利用阿波罗尼斯圆 显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则，‎ 因为，得的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：，‎ 设圆心为,，显然当轴时，面积最大，此时 评注：既然存在，说明其轨迹不包括与轴的两个交点，，‎ 现在问：，这两点究竟有什么性质？由于，‎ ‎∴为的内角平分线；同理，为的外角平分线.‎ 这就是说，，分别是线段的内分点和外分点，而正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法：‎ 因为动点 到定点距离之比为, ‎ 则有 ，解得：或，‎ 所以为内分点，为外分点，‎ 圆半径，即为三角形高的最大值，‎ 即高的最大值是，故的面积的最大值是.‎ 阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现。我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理。如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度。但有些问题中，阿氏圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿氏圆的特点.‎ 练习2：（2019江苏卷17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。‎ ‎（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎