高考数学新课标理科真题及答案

高考数学新课标理科真题及答案

‎1.(2018年新课标Ⅲ理)已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝( )‎ A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}‎ C 【解析】A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1},则A∩B＝{x|x≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝( )‎ A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i D 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.‎ ‎3.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )‎ ‎ ‎ A B C D A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.‎ ‎4.(2018年新课标Ⅲ理)若sin α＝,则cos 2α＝( )‎ A. B. C.－ D.－ B 【解析】cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.‎ ‎5.(2018年新课标Ⅲ理)5的展开式中x4的系数为( )‎ A.10 B.20 C.40 D.80‎ C 【解析】5的展开式的通项为Tr+1＝C(x2)5－rr＝2rCx10－3r.由10－3r＝4,解得r＝2‎ ‎.∴5的展开式中x4的系数为22C＝40.‎ ‎6.(2018年新课标Ⅲ理)直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x－2)2＋y2＝2上,则△ABP面积的取值范围是( )‎ A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]‎ A 【解析】易得A(－2,0),B(0,－2),|AB|＝2.圆的圆心为(2,0),半径r＝.圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2,∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离h的取值范围为[2－r,2＋r],即[,3].又△ABP的面积S＝|AB|·h＝h,∴S的取值范围是[2,6].‎ ‎7.(2018年新课标Ⅲ理)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D D 【解析】函数过定点(0,2),排除A,B；函数的导数y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1),由y′＞0解得x＜－或0＜x＜,此时函数单调递增,排除C.故选D.‎ ‎8.(2018年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX＝2.4,P(X＝4)＜P(X＝6),则p＝( )‎ A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3‎ B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,为独立重复事件,满足X～‎ B(10,p).由P(X＝4)＜P(X＝6),可得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4,解得p＞.因为DX＝2.4,所以10p(1－p)＝2.4,解得p＝0.6或p＝0.4(舍去).‎ ‎9.(2018年新课标Ⅲ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C＝( )‎ A. B. C. D. C 【解析】S△ABC＝absin C＝,则sin C＝＝cos C.因为0＜C＜π,所以C＝.‎ ‎10.(2018年新课标Ⅲ理)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )‎ A.12 B.18 C.24 D.54 B 【解析】由△ABC为等边三角形且面积为9,得S△ABC＝·|AB|2＝9,解得AB＝6.设半径为4的球的球心为O,△ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点处(如图).O′C＝××6＝2,OO′＝＝2,则三棱锥DABC高的最大值为6,则三棱锥DABC体积的最大值为××63＝18.‎ ‎11.(2018年新课标Ⅲ理)设F1,F2是双曲线C:－＝1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|＝|OP|,则C的离心率为( )‎ A. B.2 C. D. C 【解析】双曲线C的一条渐近线方程为y＝x,∴点F2到渐近线的距离d＝＝b,即|PF2|＝b,∴|OP|＝＝＝a,cos∠PF2O＝.∵|PF1|＝|OP|,∴|PF1|＝a.△F1PF2中,‎ 由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2O,即6a2＝b2＋4c2－2×b×2c×＝4c2－3b2＝4c2－3(c2－a2),化简得3a2＝c2,∴e＝＝＝.‎ ‎12.(2018年新课标Ⅲ理)设a＝log0.20.3,b＝log20.3,则( )‎ A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b B 【解析】∵a＝log0.20.3＝,b＝log20.3＝,∴a＋b＝－＝＝,ab＝－·＝.∵lg ＞lg ,＜0,∴ab＜a＋b＜0.故选B.‎ ‎13.(2018年新课标Ⅲ理)已知向量a＝(1,2),b＝(2,－2),c＝(1,λ).若c∥(2a＋b),则λ＝________.‎ 【解析】(2a＋b)＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c∥(2a＋b),得＝,解得λ＝.‎ ‎14.(2018年新课标Ⅲ理)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a＝________.‎ ‎－3 【解析】由y＝(ax＋1)ex,可得y′＝aex＋(ax＋1)ex.∵y′|x＝0＝a＋1,∴a＋1＝－2,解得a＝－3.‎ ‎15.(2018年新课标Ⅲ理)函数f(x)＝cos在[0,π]的零点个数为________.‎ ‎3 【解析】令f(x)＝cos＝0,得3x＋＝＋kπ(k∈Z),解得x＝＋(k∈Z).当k＝0时,x＝；当k＝1时,x＝；当k＝2时,x＝；当k＝3时,x＝.∵x∈[0,π],∴x＝,或x＝,或x＝.∴f(x)的零点的个数为3.‎ ‎16.(2018年新课标Ⅲ理)已知点M(－1,1)和抛物线C:y2＝4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB＝90°,则k＝________.‎ ‎2 【解析】∵抛物线的焦点为F(1,0),∴过A,B两点的直线方程为y＝k(x－1).联立化简得k2x2－2(2＋k2)x＋k2＝0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,x1x2＝1.‎ ‎∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝,y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－4.∵M(－1,1),∴＝(x1＋1,y1－1),＝(x2＋1,y2－1).∵∠AMB＝90°＝0,∴·＝0,即(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0,整理得x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0,∴1＋2＋－4－＋2＝0,即k2－4k＋4＝0,解得k＝2.‎ ‎17.(2018年新课标Ⅲ理)等比数列{an}中,a1＝1,a5＝4a3.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63,求m.‎ ‎【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q.‎ 由a1＝1,a5＝4a3,得1×q4＝4×(1×q2),解得q＝±2.‎ 当q＝2时,an＝2n－1；‎ 当q＝－2时,an＝(－2)n－1.‎ ‎（2）当q＝－2时,Sn＝＝.由Sm＝63,得＝63,m∈N,无解；‎ 当q＝2时,Sn＝＝2n－1.由Sm＝63,得2m－1＝63,解得m＝6.‎ ‎18.(2018年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:‎ 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?‎ 附:K2＝ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间,‎ ‎∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.‎ ‎（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,m＝＝80.‎ 由此填写列联表如下:‎ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（3）K2＝＝10＞6.635,‎ ‎∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.‎ ‎19.(2018年新课标Ⅲ文)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.‎ ‎（1）求证:平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）证明:在半圆中,DM⊥MC.‎ ‎∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,∴AD⊥平面DCM.‎ 又MC⊂平面DCM,∴AD⊥MC.‎ 又AD∩DM＝D,∴MC⊥平面ADM.‎ ‎∵MC⊂平面MBC,∴平面AMD⊥平面BMC.‎ ‎（2）∵△ABC的面积为定值,∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点.‎ 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,－1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的一个法向量为m＝(1,0,0).‎ 设平面MAB的一个法向量为n＝(x,y,z),则＝(0,2,0),＝(－2,1,1).‎ ‎∴ 令x＝1,则y＝0,z＝2,∴n＝(1,0,2).‎ ‎∴cos〈m,n〉＝＝＝.‎ 设面MAB与面MCD所成的二面角为α,则sin α＝＝.‎ ‎20.(2018年新课标Ⅲ文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:＋＝1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m＞0).‎ ‎（1）求证:k＜－；‎ ‎（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且＋＋＝0,求证:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ ‎【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵线段AB的中点为M(1,m),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2m.‎ 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入＋＝1中,‎ 化简得3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0,即6(x1－x2)＋8m(y1－y2)＝0,‎ ‎∴k＝＝－＝－.‎ 点M(1,m)在椭圆内,即＋＜1(m＞0),解得0＜m＜.‎ ‎∴k＝－＜－.‎ ‎（2）证明:设(x3,y3),可得x1＋x2＝2.‎ ‎∵＋＋＝0,F(1,0),∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0,y1＋y2＋y3＝0.‎ ‎∴x3＝1,y3＝－(y1＋y2)＝－2m.‎ ‎∵m＞0,∴P在第四象限.‎ ‎∴y3＝－,m＝,k＝－1.‎ ‎∵|FA|＝2－x1,|FB|＝2－x2,|FP|＝2－x3＝,‎ 则|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.‎ ‎∴2||＝||＋||.‎ 联立化简得28x2－56x＋1＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝2,x1x2＝.‎ ‎∴|x1－x2|＝＝.‎ ‎∴该数列的公差d满足2d＝±|x1－x2|＝±.‎ ‎∴该数列的公差为±.‎ ‎21.(2018年新课标Ⅲ理)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.‎ ‎（1）若a＝0,求证:当－1＜x＜0时,f(x)＜0；当x＞0时,f(x)＞0；‎ ‎（2）若x＝0是f(x)的极大值点,求a.‎ ‎【解析】（1）证明:当a＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x(x＞－1),则f′(x)＝ln(1＋x)－.‎ 令g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－,则g′(x)＝.‎ 当x∈(－1,0)时,g′(x)≤0；当x∈(0,＋∞)时,g′(x)≥0.‎ ‎∴f′(x)在(－1,0)递减,在(0,＋∞)递增.‎ ‎∴f′(x)≥f′(0)＝0.‎ ‎∴f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x在(－1,＋∞)上单调递增.‎ 又f(0)＝0,∴当－1＜x＜0时,f(x)＜0；当x＞0时,f(x)＞0.‎ ‎（2）由f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x,‎ 得f′(x)＝(1＋2ax)ln(1＋x)＋－2＝.‎ 令h(x)＝ax2－x＋(1＋2ax)(1＋x)ln(1＋x),‎ 则h′(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(1＋x).‎ 当a≥0,x＞0时,h′(x)＞0,h(x)单调递增.‎ ‎∴h(x)＞h(0)＝0,即f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴x＝0不是f(x)的极大值点,不合题意.‎ 当a＜0时,令u(x)＝h′(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(1＋x),‎ 则u′(x)＝8a＋4aln(1＋x)＋,显然u′(x)单调递减.‎ ‎①令u′(x)＝0,解得a＝－.‎ ‎∴当－1＜x＜0时,u′(x)＞0；当x＞0时,u′(x)＜0.‎ ‎∴h′(x)在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.‎ ‎∴h′(x)≤h′(0)＝0,则h(x)在(0,＋∞)上单调递减.‎ 又h(0)＝0,∴当－1＜x＜0时,h(x)＞0,即f′(x)＞0；当x＞0时,h(x)＜0,即f′(x)＜0.‎ ‎∴f(x)在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.‎ ‎∴x＝0是f(x)的极大值点,符合题意.‎ ‎②若－＜a＜0,则u′(x)＝1＋6a＞0,u′＝(2a－1)(1－e)＜0,‎ ‎∴u′(x)＝0在(0,＋∞)上有唯一一个零点,设为x0.‎ ‎∴当0＜x＜x0时,u′(x)＞0,h′(x)单调递增,h′(x)＞h′(0)＝0,即f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不合题意；‎ ‎③若a＜－,则u′(x)＝1＋6a＜0,u′＝(1－2a)e2＞0,‎ ‎∴u′(x)＝0在(－1,0)上有唯一一个零点,设为x1.‎ ‎∴当x1＜x＜0时,u′(x)＜0,h′(x)单调递减,h′(x)＞h′(0)＝0,h(x)单调递增,h(x)＜h(0)＝0,即f′(x)＜0.‎ ‎∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不合题意.‎ 综上,a＝－.‎ ‎22.(2018年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎（1）求α的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎【解析】（1）将⊙O的参数方程化为普通方程,得为x2＋y2＝1,圆心为O(0,0),半径r＝1.‎ 当α＝时,过点(0,－)且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0,成立；‎ 当α≠时,过点(0,－)且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tan α·x＋.‎ ‎∵直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O(0,0)到直线l的距离d＝＜1.‎ ‎∴tan2α＞1,解得tan α＞1或tan α＜－1.‎ ‎∴＜α＜或＜α＜.‎ 综上,α的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x＝m(y＋).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3).‎ 联立化简得(m2＋1)y2＋2m2y＋2m2－1＝0.‎ ‎∴y1＋y2＝－,y1y2＝.‎ ‎∴x1＋x2＝m(y1＋)＋m(y2＋)＝－＋2m,‎ x3＝＝,y3＝＝.‎ ‎∴AB中点P的轨迹的参数方程为(m为参数),(－1＜m＜1).‎ ‎23.(2018年新课标Ⅲ理)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎（1）画出y＝f(x)的图象；‎ ‎（2）当x∈[0,＋∞)时,f(x)≤ax＋b,求a＋b的最小值.‎ ‎【解析】（1）当x≤－时,f(x)＝－(2x＋1)－(x－1)＝－3x；‎ 当－＜x＜1,f(x)＝(2x＋1)－(x－1)＝x＋2；‎ 当x≥1时,f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x.‎ ‎∴f(x)＝ 对应的图象如图所示.‎ ‎（2）当x∈[0,＋∞)时,f(x)≤ax＋b.‎ 当x＝0时,f(0)＝2≤0·a＋b,∴b≥2；‎ 当x＞0时,要使f(x)≤ax＋b恒成立,则f(x)的图象恒在直线y＝ax＋b的下方或在直线上.‎ ‎∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,‎ ‎∴当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax＋b在[0,＋∞)上成立,‎ ‎∴a＋b的最小值为5.‎