高考数学二十一解三角形常见题型

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高考数学二十一解三角形常见题型

高考数学二十一---解三角形常见题型 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。‎ 题型之一:求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.‎ ‎1. 在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎2.(1)在中,已知,,cm,解三角形;‎ ‎(2)在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。‎ ‎3.(1)在ABC中,已知,,,求b及A;‎ ‎(2)在ABC中,已知,,,解三角形 ‎4(2005年全国高考江苏卷) 中,,BC=3,则的周长为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析:由正弦定理,求出b及c,或整体求出b+c,则周长为3+b+c而得到结果.选(D).‎ ‎5 (2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中,已知,AC边上的中线BD=,求sinA的值.‎ 分析:本题关键是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA.‎ 解:设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且,设BE=x 在ΔBDE中利用余弦定理可得:,‎ ‎,解得,(舍去)‎ 故BC=2,从而,即又,‎ 故,‎ 在△ABC中,已知a=2,b=,C=15°,求A。‎ 答案:‎ 题型之二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.‎ ‎1. (2005年北京春季高考题)在中,已知,那么一定是( )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解法1:由=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ 即sinAcosB-cosAsinB=0,得sin(A-B)=0,得A=B.故选(B).‎ 解法2:由题意,得cosB=,再由余弦定理,得cosB=.‎ ‎∴ =,即a2=b2,得a=b,故选(B).‎ 评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法1),⑵统一化为边,再判断(如解法2).‎ ‎2.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,‎ ‎∴sin(A-B)=0,∴A=B ‎3.在△ABC中,若,试判断△ABC的形状。‎ 答案:故△ABC为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎4. 在△ABC中,,判断△ABC的形状。‎ 答案:△ABC为等腰三角形或直角三角形。‎ 题型之三:解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.‎ ‎1. (2005年全国高考上海卷) 在中,若,,,‎ 则的面积S=_________‎ ‎2.在中,,,,求的值和 的面积。‎ 答案:‎ ‎3. (07浙江理18)已知的周长为,且.‎ ‎(I)求边的长;‎ ‎(II)若的面积为,求角的度数.‎ 解:(I)由题意及正弦定理,得,,‎ 两式相减,得.‎ ‎(II)由的面积,得,‎ 由余弦定理,得,‎ 所以.‎ 题型之四:三角形中求值问题 ‎1. (2005年全国高考天津卷) 在中,所对的边长分别为,‎ 设满足条件和,求和的值.‎ 分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理.‎ 解:由余弦定理,因此, ‎ 在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=120°-∠B.‎ ‎ 由已知条件,应用正弦定理 解得从而 ‎2.的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。‎ 解析:由A+B+C=π,得=-,所以有cos =sin。‎ cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin=-2(sin - )2+ ;‎ 当sin = ,即A=时, cosA+2cos取得最大值为。‎ ‎3.在锐角中,角所对的边分别为,已知,(1)求的值;(2)若,,求的值。‎ 解析:(1)因为锐角△ABC中,A+B+C=p,,所以cosA=,‎ 则 ‎(2),则bc=3。‎ 将a=2,cosA=,c=代入余弦定理:中,‎ 得解得b=。‎ 点评:知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。‎ ‎4.在中,内角对边的边长分别是,已知,.‎ ‎(Ⅰ)若的面积等于,求;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ 本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,,‎ 又因为的面积等于,所以,得. 4分 联立方程组解得,. 6分 ‎(Ⅱ)由题意得,‎ 即, 8分 当时,,,,,‎ 当时,得,由正弦定理得,‎ 联立方程组解得,.‎ 所以的面积. 12分 题型之五:正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下:‎ ‎(一.)测量问题 图1‎ A B C D ‎1. 如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。‎ 分析:求河的宽度,就是求△ABC在AB边上的高,而在河的一边,已测出AB长、∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。‎ 解析:由正弦定理得,∴AC=AB=120m,又∵,解得CD=60m。‎ 点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。‎ ‎(二.)遇险问题 ‎2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?‎ 西 北 南 东 A B C ‎30°‎ ‎15°‎ 图2‎ 解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上;舰艇航行半小时后到达B点,测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中,可知AB=30×0.5=15,∠ABS=150°,∠ASB=15°,由正弦定理得BS=AB=15,过点S作SC⊥直线AB,垂足为C,则SC=15sin30°=7.5。‎ 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁的危险。‎ 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是:(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。‎ ‎(三.)追击问题 图3‎ A B C 北 ‎45°‎ ‎15°‎ ‎3 如图3,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45° ‎ 方向,距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南  ‎ 偏西15°方向航行,若甲船以28n mile/h的速度航 行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船? ‎ 解析:设用t h,甲船能追上乙船,且在C处相遇。‎ 在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,‎ 设∠ABC=α,∠BAC=β。‎ ‎∴α=180°-45°-15°=120°。根据余弦定理,‎ ‎,,(4t-3)(32t+9)=0,解得t=,t=(舍)‎ ‎∴AC=28×=21 n mile,BC=20×=15 n mile。‎ 根据正弦定理,得,又∵α=120°,∴β为锐角,β=arcsin,又<<,∴arcsin<,‎ ‎∴甲船沿南偏东-arcsin的方向用h可以追上乙船。‎ 点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB边已知,另两边未知,但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理,可列出关于t的一元二次方程,解出t的值。‎ ‎4.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?‎ 解析:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.‎ 北 ‎20‎ ‎10‎ A B ‎•‎ ‎•C 于是,BC=10。 ∵,∴sin∠ACB=,‎ ‎ ∵∠ACB<90°,∴∠ACB=41°。‎ ‎∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援。‎
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