四川高考数学试卷理科含答案解析

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四川高考数学试卷理科含答案解析

‎2014年四川省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•四川)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎{﹣1,0,1,2}‎ B.‎ ‎{﹣2,﹣1,0,1}‎ C.‎ ‎{0,1}‎ D.‎ ‎{﹣1,0}‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•四川)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎30‎ B.‎ ‎20‎ C.‎ ‎15‎ D.‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 向左平行移动个单位长度 B.‎ 向右平行移动个单位长度 ‎ ‎ C.‎ 向左平行移动1个单位长度 D.‎ 向右平行一定1个单位长度 ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎>‎ B.‎ ‎<‎ C.‎ ‎>‎ D.‎ ‎<‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•四川)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎0‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎192种 B.‎ ‎216种 C.‎ ‎240种 D.‎ ‎288种 ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2‎ B.‎ ‎﹣1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎[,1]‎ B.‎ ‎[,1]‎ C.‎ ‎[,]‎ D.‎ ‎[,1]‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•四川)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:‎ ‎①f(﹣x)=﹣f(x);‎ ‎②f()=2f(x)‎ ‎③|f(x)|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②③‎ B.‎ ‎②③‎ C.‎ ‎①③‎ D.‎ ‎①②‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎3‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(2014•四川)复数= _________ .‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= _________ .‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 _________ m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 _________ .‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2014•四川)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•四川)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明:P是线段BC的中点;‎ ‎(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•四川)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎②当最小时,求点T的坐标.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年四川省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•四川)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎{﹣1,0,1,2}‎ B.‎ ‎{﹣2,﹣1,0,1}‎ C.‎ ‎{0,1}‎ D.‎ ‎{﹣1,0}‎ 考点:‎ 交集及其运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.‎ 解答:‎ 解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,‎ ‎∴A∩B={﹣1,0,1,2}.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•四川)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎30‎ B.‎ ‎20‎ C.‎ ‎15‎ D.‎ ‎10‎ 考点:‎ 二项式系数的性质.菁优网版权所有 专题:‎ 二项式定理.‎ 分析:‎ 利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.‎ 解答:‎ 解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,‎ 令r=2可得,T3=C62x2=15x2,‎ ‎∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,‎ 在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 向左平行移动个单位长度 B.‎ 向右平行移动个单位长度 ‎ ‎ C.‎ 向左平行移动1个单位长度 D.‎ 向右平行一定1个单位长度 考点:‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 专题:‎ 三角函数的图像与性质.‎ 分析:‎ 根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.‎ 解答:‎ 解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,‎ 即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎>‎ B.‎ ‎<‎ C.‎ ‎>‎ D.‎ ‎<‎ 考点:‎ 不等式比较大小;不等关系与不等式.菁优网版权所有 专题:‎ 不等式的解法及应用.‎ 分析:‎ 利用特例法,判断选项即可.‎ 解答:‎ 解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,‎ 则,,∴A、B不正确;‎ ‎,=﹣,‎ ‎∴C不正确,D正确.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•四川)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎0‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 程序框图.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;算法和程序框图.‎ 分析:‎ 算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,求出最大值.‎ 解答:‎ 解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,‎ 画出可行域如图:‎ 当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎192种 B.‎ ‎216种 C.‎ ‎240种 D.‎ ‎288种 考点:‎ 排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 专题:‎ 应用题;排列组合.‎ 分析:‎ 分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.‎ 解答:‎ 解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,‎ 根据加法原理可得,共有120+96=216种.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2‎ B.‎ ‎﹣1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎2‎ 考点:‎ 数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.‎ 解答:‎ 解:∵向量=(1,2),=(4,2),‎ ‎∴=m+=(m+4,2m+2),‎ 又∵与的夹角等于与的夹角,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 解得m=2,‎ 故选:D 点评:‎ 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎[,1]‎ B.‎ ‎[,1]‎ C.‎ ‎[,]‎ D.‎ ‎[,1]‎ 考点:‎ 直线与平面所成的角.菁优网版权所有 专题:‎ 空间角.‎ 分析:‎ 由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.‎ 解答:‎ 解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.‎ 不妨取AB=2.‎ 在Rt△AOA1中,==.‎ sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,‎ ‎=1.‎ ‎∴sinα的取值范围是.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•四川)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:‎ ‎①f(﹣x)=﹣f(x);‎ ‎②f()=2f(x)‎ ‎③|f(x)|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②③‎ B.‎ ‎②③‎ C.‎ ‎①③‎ D.‎ ‎①②‎ 考点:‎ 命题的真假判断与应用.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用.‎ 分析:‎ 根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.‎ 解答:‎ 解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),‎ ‎∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;‎ f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;‎ 当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))‎ ‎∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g(0)=0,‎ 又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以丨f(x)丨≥2丨x丨成立,故③正确;‎ 故正确的命题有①②③,‎ 故选:A 点评:‎ 本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎3‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ 分析:‎ 可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.‎ 解答:‎ 解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M((0,m),‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,‎ ‎∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,从而,‎ ‎∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.‎ 不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,‎ ‎∴S△ABO+S△AFO==.‎ 当且仅当,即时,取“=”号,‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.‎ 点评:‎ 求解本题时,应考虑以下几个要点:‎ ‎1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.‎ ‎2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.‎ ‎3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(2014•四川)复数= ﹣2i .‎ 考点:‎ 复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 专题:‎ 数系的扩充和复数.‎ 分析:‎ 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.‎ 解答:‎ 解:复数===﹣2i,‎ 故答案为:﹣2i.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .‎ 考点:‎ 函数的值.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.‎ 解答:‎ 解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,‎ ‎∴=1.‎ 故答案为:1.‎ 点评:‎ 本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在高考中,属于“送分题”.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)‎ 考点:‎ 余弦定理的应用;正弦定理;正弦定理的应用.菁优网版权所有 专题:‎ 应用题;解三角形.‎ 分析:‎ 过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.‎ 解答:‎ 解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,‎ 则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m ‎∴CD==46≈79.58m.‎ 又∵Rt△ABD中,∠ABD=67°,可得BD==≈19.5m ‎∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为:60m 点评:‎ 本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 5 .‎ 考点:‎ 点到直线的距离公式.菁优网版权所有 专题:‎ 直线与圆.‎ 分析:‎ 先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.‎ 解答:‎ 解:有题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),‎ 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,‎ 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.‎ 故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”)‎ 故答案为:5‎ 点评:‎ 本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号)‎ 考点:‎ 命题的真假判断与应用;充要条件;函数的值域.菁优网版权所有 专题:‎ 新定义;极限思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.‎ 分析:‎ 根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.‎ 解答:‎ 解:(1)对于命题①‎ ‎“f(x)∈A”即函数f(x)值域为R,‎ ‎“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”表示的是函数可以在R中任意取值,‎ 故有:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”‎ ‎∴命题①是真命题;‎ ‎ (2)对于命题②‎ 若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].‎ ‎∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值.‎ ‎∴命题②“函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值.”是假命题;‎ ‎ (3)对于命题③‎ 若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,‎ 则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),‎ 并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.‎ ‎∴f(x)+g(x)∈R.‎ 则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎∴命题③是真命题.‎ ‎ (4)对于命题④‎ ‎∵函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,‎ ‎∴假设a>0,当x→+∞时,→0,ln(x+2)→+∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.与题意不符;‎ ‎ 假设a<0,当x→﹣2时,→,ln(x+2)→﹣∞,∴aln(x+2)→+∞,则f(x)→+∞.与题意不符.‎ ‎∴a=0.‎ 即函数f(x)=(x>﹣2)‎ 当x>0时,,∴,即;‎ 当x=0时,f(x)=0;‎ 当x<0时,,∴,即.‎ ‎∴.即f(x)∈B.‎ 故命题④是真命题.‎ 故答案为①③④.‎ 点评:‎ 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件,还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2014•四川)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ 考点:‎ 两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性.菁优网版权所有 专题:‎ 三角函数的求值.‎ 分析:‎ ‎(1)令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.‎ 解答:‎ 解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,‎ 求得 ﹣≤x≤+,故函数的增区间为[﹣,+],k∈z.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,‎ ‎∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α),‎ ‎∴sinαcos+cosαsin=(cos2α﹣sin2α)(sinα+cosα).‎ 又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,‎ 当sinα+cosα=0时,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣.‎ 点评:‎ 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ 考点:‎ 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 专题:‎ 概率与统计.‎ 分析:‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求出对应的概率,即可求X的分布列;‎ ‎(2)求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论.‎ ‎(3)计算出随机变量的期望,根据统计与概率的知识进行分析即可.‎ 解答:‎ 解:(1)X可能取值有﹣200,10,20,100.‎ 则P(X=﹣200)=,‎ P(X=10)==‎ P(X=20)==,‎ P(X=100)==,‎ 故分布列为:‎ ‎ X ‎﹣200‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎100 ‎ ‎ P 由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=,‎ 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.‎ 由(1)知,每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)×+10×+20××100=﹣=.‎ 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.‎ 点评:‎ 本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•四川)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明:P是线段BC的中点;‎ ‎(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ 考点:‎ 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角.菁优网版权所有 专题:‎ 空间向量及应用.‎ 分析:‎ ‎(1)用线面垂直的性质和反证法推出结论,‎ ‎(2)先建空间直角坐标系,再求平面的法向量,即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ 解答:‎ 解:(1)由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A﹣BCD中:‎ 平面ABD⊥平面CBD,AB=AD=BD=CD=CB=2‎ 设O为BD的中点,连接OA,OC 于是OA⊥BD,OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M,N分别为线段AD,AB的中点,所以MN∥BD,MN∥NP,故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点,则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC,这与∠DBC=60°矛盾,所以P为线段BC的中点 ‎(2)以O为坐标原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,),M(,O,),N(,0,),P(,,0)‎ 于是,,‎ 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由,则,设z1=1,则 由,则,设z2=1,则 cos===‎ 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 点评:‎ 本题考查线线的位置关系,考查二面角知识的应用,解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.‎ 考点:‎ 数列的求和;数列与函数的综合.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用;等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ ‎(1)由于点(a8,4b7)在函数f(x)=2x的图象上,可得,又等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点 ‎(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,可得=b8,进而得到=4=2d,解得d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎(2)利用导数的几何意义可得函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程,即可解得a2.进而得到an,bn.再利用“错位相减法”即可得出.‎ 解答:‎ 解:(1)∵点(a8,4b7)在函数f(x)=2x的图象上,‎ ‎∴,‎ 又等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∴==2d,‎ ‎∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,‎ ‎∴=b8,‎ ‎∴=4=2d,解得d=2.‎ 又a1=﹣2,∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.‎ ‎(2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2,‎ ‎∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为,‎ 又,令y=0可得x=,‎ ‎∴,解得a2=2.‎ ‎∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n,‎ ‎∴bn=2n.‎ ‎∴.‎ ‎∴Tn=+…++,‎ ‎∴2Tn=1+++…+,‎ 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣‎ ‎=‎ ‎=.‎ 点评:‎ 本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•四川)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎②当最小时,求点T的坐标.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ 分析:‎ 第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2,b2;‎ 第(2)问中,先设点的坐标及直线PQ的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点T的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设T(﹣3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x0,y0),‎ ‎①证明:由F(﹣2,0),可设直线PQ的方程为x=my﹣2,‎ 由⇒(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,‎ 所以 于是,从而,‎ 即,则,‎ 所以O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,故得证.‎ ‎②由两点间距离公式得,‎ 由弦长公式得==,‎ 所以,‎ 令,则(当且仅当x2=2时,取“=”号),‎ 所以当 最小时,由x2=2=m2+1,得m=1或m=﹣1,此时点T的坐标为(﹣3,1)或(﹣3,﹣1).‎ 点评:‎ 本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面:‎ ‎1、设交点坐标,设直线方程;‎ ‎2、联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到一个关于x或y一元二次方程,利用韦达定理;‎ ‎3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ 考点:‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点.菁优网版权所有 专题:‎ 导数的综合应用.‎ 分析:‎ ‎(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;‎ ‎(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.‎ 解答:‎ 解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,‎ 又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,‎ ‎∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;‎ ‎②当,则1<2a<e,‎ ‎∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,‎ g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;‎ ‎③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,‎ 综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为;‎ ‎(2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,‎ 若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,‎ 由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.‎ 若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1‎ 令h(x)= (1<x<e)‎ 则.由>0⇒x<‎ ‎∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,‎ ‎=+<0,即gmin(x)<0 恒成立,‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,‎ 又,所以e﹣2<a<1,‎ 综上得:e﹣2<a<1.‎ 点评:‎ 本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:任老师;王老师;孙佑中;刘长柏;qiss;尹伟云;翔宇老师;szjzl;caoqz;清风慕竹;静定禅心;maths(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2014年6月24日
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