专题02 函数与导数理教学案高考数学二轮复习资料解析版

专题02 函数与导数理教学案高考数学二轮复习资料解析版

‎【高效整合篇】‎ ‎ ‎ 一．考场传真 ‎1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )‎ A . B． C． D． ‎2. 【2013年全国高考新课标（I）理科】若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设函数（，为自然对数的底数）。若曲线上存在点使，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） 于是在有解，所以的取值范围就是函数，‎ ‎4. 【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是（ ）‎ ‎ (A) (B) ‎ (C) (D) ‎5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）‎ A． B.是的极小值点 ‎ C. 是的极小值点 D.是的极小值点 ‎ ‎6. 【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）‎ ‎ （A）, f()=0‎ ‎ （B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 ‎ （C）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 ‎ （D）若是f（x）的极值点，则 ()=0‎ ‎7. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线在点处的切线平行于轴,则______.‎ ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ A. B.2 C. D. 二．高考研究 ‎【考纲要求】‎ ‎1．函数 ‎（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.‎ ‎（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.‎ ‎（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.‎ ‎（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.‎ ‎（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.‎ ‎2．指数函数 ‎（1）了解指数函数模型的实际背景.‎ ‎（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.‎ ‎（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．‎ ‎（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎3．对数函数 ‎4．幂函数 ‎　　（1）了解幂函数的概念.‎ ‎　　（2）结合函数 的图像，了解它们的变化情况.‎ ‎5．函数与方程 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.‎ ‎6．函数模型及其应用 ‎（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.‎ ‎（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.‎ ‎7．导数及其应用 ‎　　（1）了解导数概念的实际背景.‎ ‎　　（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义.‎ ‎　　（3） 根据导数的定义求函数 (c为常数)的导数.‎ ‎　　（4） 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. ‎ 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：‎ ‎(C为常数)； , n∈N+； ；; ; (a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1). ‎ 常用的导数运算法则：‎ ‎（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. ‎ ‎（6） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎（7） 会用导数解决某些实际问题..‎ ‎（8） 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.‎ ‎（9） 了解微积分基本定理的含义.‎ ‎【命题规律】‎ 函数是高中数学教学内容的知识主干，是高考考察数学思想、方法、能力和素质的主阵地，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个数学教学的全过程，导数是研究函数的有力工具，高考对函数的考察更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式等，体现出高考的综合热点.‎ 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择、填空又有解答题，而且不同难易程度的题目都有，低档难度题一般只涉及函数本身内容，中、高档难度的题多为综合程度较高的题，或者与其他知识的结合，或者是多种思想方法的渗透，近年来高考强化了函数与其他知识（函数、方程、不等式、数列等）的渗透，加大了以函数为载体的多方法、多能力的综合程度,解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论思想的应用.‎ ‎　‎ 一．基础知识整合 ‎1．函数的奇偶性：‎ ‎2.函数的单调性判断方法：‎ ‎（1）定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的，且，若 在D上单调递增；若在D上单调递减.‎ ‎（2）导数法：若函数在某个区间D可导，如果，那么函数在区间D内单调递增；如果，那么函数在区间D内单调递减.‎ ‎3．函数的图像：‎ ‎（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.‎ ‎（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.‎ ‎ 的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.‎ 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去.‎ 的图象关于对称；的图象关于点对称.‎ 的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.‎ ‎(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象 ‎ 4．周期性：‎ ‎（1）定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.‎ ‎（3）函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.‎ ‎ 例：是奇函数，且最小正周期是2，则，所以关于（1,0）对称.‎ ‎ 是偶函数，且图象关于对称，则，所以周期是2.‎ ‎5．指数函数、对数函数、幂函数的性质：‎ 幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.‎ ‎６.函数与方程 ‎（１）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．‎ ‎（２）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得f (c) = 0，这个c也就是方程f (x) = 0的根 ‎（３）若函数在区间上有，若能找到一个自变量，且或，则函数在区间上有零点.‎ ‎（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.‎ ‎（5）函数的零点就是函数的图象与轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间.‎ ‎7．导数的几何意义 ‎（1）函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，则 ‎（2）函数在点处的切线方程为.‎ ‎ (3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率.‎ ‎8．导数与单调性的关系 ‎ (3)若求单调区间，只需在函数的定义域内解不等式或,或者可以画导函数的图像，通过判断的符号确定单调区间（尤其对于含参数的函数单调性问题可以简化解题过程）.‎ ‎ (4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为或恒成立.‎ ‎9．导数和函数极值、最值的关系 ‎（1）求极值的步骤：‎ ‎ ①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；‎ ‎ ②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.‎ ‎ （2）对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.‎ ‎ （3）设函数在上连续，在内可导，则在上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值.‎ ‎ （4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.‎ ‎10．利用定积分求曲边梯形的面积 ‎ （1）由直线，，轴及一条曲线围成的曲边梯形的面积 ，若，则.‎ ‎（2）推广：由直线，，和（）围成的平面图形的面积为 二．高频考点突破 考点1 函数及其表示 ‎【例1】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数，若，则实数等于（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数的定义域为 （ ）‎ A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]‎ ‎【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数 ‎，则满足的的取值范围是______．‎ ‎【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.‎ ‎2、对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.‎ ‎3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.‎ ‎【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】设满足，则=( )‎ ‎ A． B． C．1 D． .‎ 考点2 函数的图象 ‎【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知函数（）的图象如下面左图所示，则函数的图象是（ ）‎ ‎【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数的图象大致为 ‎【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）‎ A. B. C. D. ‎【规律方法】1.正确的作图必须做到：①‎ 熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如的函数图象；②掌握图象变换的方法来简化作图过程.‎ ‎2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】.函数的图象只可能是（ ）‎ 考点3 函数的性质 ‎【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为______.‎ ‎【例2】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数 是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为 （ ）‎ ‎【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数的定义域为，对定义域中任意的，都有，且当时，，那么当时，的递增区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【广东省佛山市一中2014届高三10月段考（理）】已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则方程 的根的个数为_________.‎ 考点4 指数函数、对数函数、幂函数 ‎【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数 若，则实数x的取值范围是（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射，其中，，对应法则是，对于实数，在集合中不存在元素与之对应，则的取值范围是 .‎ ‎【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数，若存在实数、、、，满足 ，其中，则的取值范围是 .‎ ‎【规律方法】1.对数函数的定义域为，指数函数的值域.‎ ‎2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.‎ ‎3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】在平面直角坐标系中，若两点满足条件：‎ ‎①都在函数的图像上；‎ ‎②两点关于直线对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”.‎ ‎（注：点对于看作同一对“和谐点对”）‎ 已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ）‎ A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 考点5 函数的零点 ‎【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】函数的零点所在的一个区间是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【例3】【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知函数，若方程有两个实数根，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎【规律方法】1、确定函数的零点所在的区间：第一种方法是解方程的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.‎ ‎2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.‎ ‎3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围（ ）‎ A． B. C. D. ‎ 考点6 函数模型及其应用 ‎【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）‎ ‎ (A) [15,20] (B) [12,25]‎ ‎ (C) [10,30] (D) [20,30]‎ ‎【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.‎ ‎【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题建模求解反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】（本小题满分13分）预计某地区明年从年初开始的前个月内，对某种商品的需求总量 （万件）近似满足：N*，且）‎ ‎（1）写出明年第 个月的需求量（万件）与月份 ‎ 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过万件；‎ ‎（2）如果将该商品每月都投放到该地区万件（不包含积压商品），要保证每月都满足供应， 应至少为多少万件？（积压商品转入下月继续销售）‎ ‎ ‎ 考点7 导数的运算及其意义 ‎【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( )‎ ‎ A. B. C.6 D.9‎ ‎【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【例3】【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】已知点和点在曲线（为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则_________．‎ ‎【规律方法】1.导数的几何意义是.‎ ‎2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上.‎ ‎【举一反三】‎ 已知点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）‎ ‎【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数的导函数为，对任意都有成立，则（　　）‎ A． B. C. D. 与的大小不确定 ‎【例2】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【例3】【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】已知函数 ‎(1)若求在处的切线方程;‎ ‎(2)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解解不等式和定义域求交集得单调递增区间；解不等式和定义域求交集得单调递减区间.‎ ‎2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.‎ ‎3、求函数的极值，先求的根，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.‎ ‎4、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】已知函数 ‎（1）当时，求在上的最小值；‎ ‎（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．‎ 增函数 考点9 定积分的计算及应用 ‎【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情 况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶 的距离（单位：m）是（ ）‎ B． C． D． ‎ ‎【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若 .‎ ‎【例3】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎【规律方法】1、求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.‎ ‎2、定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.‎ ‎【举一反三】‎ ‎【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从 处运动到 (单位：)处,则力做的功为 焦．‎ 三．错混辨析 ‎1.忽视函数的定义域出错 ‎【例1】函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎2.概念不清致误 ‎【例2】已知在处有极值为10，则的值=__________.‎ ‎3.导数和单调性关系理解不清 ‎【例3】已知区间是增函数，求实数a的取值范围.‎ 一．原创预测 ‎1.【高考改编题】设是定义域为的函数，且满足，在区间上，，其中且，若，则______.‎ ‎2.设函数(其中).‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间和极值；‎ ‎(2) 证明：当时，函数在上有且只有一个零点．‎ ‎3.已知函数 （1） 若在x=2时取得极值，求a的值；‎ （2） 求的单调区间；‎ （3） 求证：当时，.‎